2010年高考数学试题分类汇编--数列.doc

第 - 1 - 页 共 28 页 数列 2010 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编数列数列 （2010 上海文数）上海文数）21.(21.(本题满分本题满分 1414 分分) )本题共有本题共有 2 2 个小题，第一个小题满分个小题，第一个小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 个小个小 题满分题满分 8 8 分。分。 已知数列的前项和为，且， n an n S585 nn Sna * nN (1)证明：是等比数列；1 n a (2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数. n S 1nn SS n 解析：(1) 当 n1 时，a114；当 n2 时，anSnSn15an5an11，所以， 1 5 1(1) 6 nn aa 又 a11150，所以数列an1是等比数列； (2) 由(1)知：，得，从而 1 5 115 6 n n a 1 5 1 15 6 n n a (nN*)； 1 5 7590 6 n n Sn 由 Sn1Sn，得，最小正整数 n15 1 52 65 n 5 6 2 log114.9 25 n （2010 湖南文数）湖南文数）20.（本小题满分 13 分） 给出下面的数表序列： 其中表 n（n=1,2,3 ）有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5，2n-1，从第 2 行起，每行中的 每个数都等于它肩上的两数之和。 （I）写出表 4，验证表 4 各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广 到表 n（n3） （不要求证明） ； （II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1,4,12，记此数列为 求和： n b 324 1 22 31 n nn bbb bbb bb b 第 - 2 - 页 共 28 页 数列 第 - 3 - 页 共 28 页 数列 （20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （18） （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和 2 () 3n n SnnA （）求lim n n n a S ； （）证明： 12 222 3 12 n n aaa n 【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 1 1 (1) (2) n nn s n a ssn 的运用，数列极限和数列 不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】 第 - 4 - 页 共 28 页 数列 【点评】2010 年高考数学全国 I I、这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不 等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本 方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、 数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续. （20102010 陕西文数）陕西文数）16.（本小题满分 12 分） 已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列. （）求数列an的通项;（）求数列2an的前n项和Sn. 解 （）由题设知公差d0， 由a11，a1，a3，a9成等比数列得， 12 1 d1 8 12 d d 解得d1，d0（舍去） ， 故an的通项an1+（n1）1n. ()由（）知=2n，由等比数列前 n 项和公式得2 m a 第 - 5 - 页 共 28 页 数列 Sm=2+22+23+2n=2n+1-2. 2(1 2 ) 1 2 n （2010 全国卷全国卷 2 文数）文数） （18） （本小题满分 12 分） 已知是各项均为正数的等比数列，且 n a ， 12 12 11 2()aa aa 345 345 111 64()aaa aaa （）求的通项公式； n a （）设，求数列的前项和。 2 1 () nn n ba a n bn n T 【 【解析解析】 】本本题题考考查查了数列通了数列通项项、前、前项项和及方程与方程和及方程与方程组组的基的基础础知知识识。 。 n （ （1） ）设设出公比根据条件列出关于出公比根据条件列出关于与与的方程求得的方程求得与与，可求得数列的通，可求得数列的通项项公式。公式。 1 a d1 a d （ （2）由（）由（1）中求得数列通）中求得数列通项项公式，可求出公式，可求出 BN 的通的通项项公式，由其通公式，由其通项项公式化可知其和可分成两个公式化可知其和可分成两个 等比数列分等比数列分别别求和即可求得。求和即可求得。 （20102010 江西理数）江西理数）22. （本小题满分 14 分） 证明以下命题： （1）对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc)，使得成等差数列。 222 abc， （2）存在无穷多个互不相似的三角形 ，其边长为正整数且 nnnn abc， 成等差数列。 222 nnn abc， 【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （1）考虑到结构要证， ；类似勾股数进行拼凑。 222 2acb 证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取 b=5a，c=7a，对一切正整数 222 1 ,5 ,7 a 均能成立。 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角 形，再证明互不相似，且无穷。 证明：当成等差数列，则， 222 nnn abc， 2222 nnnn bacb 分解得：()()()() nnnnnnnn babacbcb 选取关于 n 的一个多项式，做两种途径的分解 2 4 (1)n n 222 4 (1)(22)(22 )(22 )(22)n nnnnnnn 2 4 (1)n n 对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立， 2 2 2 21 1(4) 21 n n n ann bnn cnn 第 - 6 - 页 共 28 页 数列 考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数 m，n，若m，相似：则三边对应成比例 n ， 222 222 21121 21121 mmmmm nnnnn 由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。 11 11 mm mn nn （2010 安徽文数）安徽文数） （21） （本小题满分 13 分) 设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线 12 , n C CCx 相切，对每一个正整数,圆都与圆相 3 3 yxn n C 1n C 互外切，以表示的半径，已知为递增数列. n r n C n r ()证明：为等比数列； n r （）设，求数列的前项和. 1 1r n n r n 【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括 能力以及推理论证能力. 【解题指导】 （1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得 n C(,0) n 2 nn r ，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中 11 2 nn r n r 与的关系，证明为等比数列；（2）利用（1）的结论求的通项公式，代入数 1n r n r n r n r 列，然后用错位相减法求和. n n r 第 - 7 - 页 共 28 页 数列 n nnnn n n+1n+1n+1nnn+1n+1nn n+1n n n 11 n nn n n 12 331 ,sin, 332 r1 2r 2 2rrr2r2r r3r rq3 n r1q3r3n*3 r 12 . rr x C 解：（1）将直线y=的倾斜角记为, 则有t an = 设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理 ，从而，将代入， 解得 故为公比的等比数列。 （）由于，故，从而， 记S 121 n 121 n 121 n 1 1 , r 12*33*3 *3 1*32*3(1)*3*3 3 1 33.3*3 3 1 333 *3()*3 , 2 22 3 9139(23)*3 ()*3 4224 n n nn nn n nn n n n n n nn n nn n Sn 则有 S S , 得 2S 【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关 于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项 n a 1n a 公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数 列时，通常是利用前 n 项和乘以公比，然后错位相减解决. n S （2010 重庆文数） （16） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分. ） 已知是首项为 19，公差为-2 的等差数列，为的前项和. n a n S n an （）求通项及； n a n S （）设是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列的通项公式及其前 nn ba n b 项和.n n T 第 - 8 - 页 共 28 页 数列 （2010 浙江文数）浙江文数） （19） （本题满分 14 分）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数 列an的前 n 项和为 Sn，满足+15=0。 56 S S （）若=5，求及 a1； 5 S 6 S （）求 d 的取值范围。 （2010 重庆理数）重庆理数） （21） （本小题满分 12 分， （I）小问 5 分， （II）小问 7 分） 在数列中，=1，其中实数。 n a 1 a 1 1 21* n nn acacnnN 0c （I）求的通项公式； n a （II）若对一切有，求 c 的取值范围。*kN 21kzk aa 第 - 9 - 页 共 28 页 数列 第 - 10 - 页 共 28 页 数列 第 - 11 - 页 共 28 页 数列 （2010 山东文数）山东文数） （18） （本小题满分 12 分） 已知等差数列满足：，.的前 n 项和为. n a 3 7a 57 26aa n a n S （）求 及； n a n S （）令（）,求数列的前 n 项和. 2 1 1 n n b a nN n b n T 第 - 12 - 页 共 28 页 数列 （20102010 北京文数）北京文数） （16） （本小题共 13 分） 已知为等差数列，且，。| n a 3 6a 6 0a （）求的通项公式；| n a （）若等差数列满足，求的前 n 项和公式| n b 1 8b 2123 baaa| n b 解：（）设等差数列的公差。 n ad 因为 36 6,0aa 所以 解得 1 1 26 50 ad ad 1 10,2ad 所以10(1) 2212 n ann （）设等比数列的公比为 n bq 因为 2123 24,8baaab 所以 即=3824q q 所以的前项和公式为 n bn 1(1 ) 4(1 3 ) 1 n n n bq S q （20102010 北京理数）北京理数） （20） （本小题共 13 分） 第 - 13 - 页 共 28 页 数列 已知集合对于 121 |( ,),0,1,1,2, (2) nn SX Xx xxxin n ， ，定义 A 与 B 的差为 12 (,) n Aa aa 12 ( ,) nn Bb bbS 1122 (|,|,|); nn ABababab A 与 B 之间的距离为 11 1 ( , )| i d A Bab （）证明：，且;, , nn A B CSABS有(,)( , )d AC BCd A B （）证明：三个数中至少有一个是偶数, , ( , ), ( ,), ( ,) n A B CSd A B d A C d B C () 设 P，P 中有 m(m2)个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为(P). n S d 证明：（P）. d2(1) mn m （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 证明：（I）设， 12 (,.,) n Aa aa 12 ( ,.,) n Bb bb 12 ( ,.,) n Cc cc n S 因为，所以, i a 0,1 i b 0,1 ii ab(1,2,., )in 从而 1122 (|,|,.,|) nnn ABabababS 又 1 (,)| | n iiii i d AC BCacbc 由题意知，. i a i b i c 0,1(1,2,., )in 当时，;0 i c | | iiiiii a cbcab 当时，1 i c | |(1)(1)| | iiiiiiii a cbcabab 所以 1 (,)|( , ) n ii i d AC BCabd A B (II)设， 12 (,.,) n Aa aa 12 ( ,.,) n Bb bb 12 ( ,.,) n Cc cc n S ，.( , )d A Bk( ,)d A Cl( ,)d B Ch 记，由（I）可知(0,0,.,0) n OS 第 - 14 - 页 共 28 页 数列 ( , )(,)( ,)d A Bd AA BAd O BAk ( ,)(,)( ,)d A Cd AA CAd O CAl ( ,)(,)d B Cd BA CAh 所以中 1 的个数为，的 1 的|(1,2,., ) ii baink|(1,2,., ) ii cain 个数为 。l 设 是使成立的 的个数，则t| | 1 iiii bacai2hlkt 由此可知，三个数不可能都是奇数，, ,k l h 即,三个数中至少有一个是偶数。( , )d A B( ,)d A C( ,)d B C （III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和， 2 , 1 ( )( , ) A B P m d Pd A B C , ( , ) A B P d A B P 设种所有元素的第 个位置的数字中共有个 1，个 0Pi i t i mt 则= , ( , ) A B P d A B 1 () n ii i t mt 由于 i t () i mt 2 (1,2,., ) 4 m in 所以 , ( , ) A B P d A B 2 4 nm 从而 2 22 , 1 ( )( , ) 42(1) A B P mm nmmn d Pd A B CCm （2010 四川理数）四川理数） （21） （本小题满分 12 分） 已知数列an满足 a10，a22，且对任意 m、nN*都有 a2m1a2n12amn12(mn)2 （）求 a3，a5； （）设 bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列； （）设 cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前 n 项和 Sn. 本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决 问题的能力. 解：(1)由题意，零 m2,n1,可得 a32a2a126 再令 m3,n1，可得 a52a3a18202 分 (2)当 nN *时，由已知(以 n2 代替 m)可得 第 - 15 - 页 共 28 页 数列 a2n3a2n12a2n18 于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8w_w w. k#s5_u.c o*m 即 bn1bn8 所以bn是公差为 8 的等差数列5 分 (3)由(1)(2)解答可知bn是首项为 b1a3a16,公差为 8 的等差数列 则 bn8n2，即 a2n+=1a2n18n2 另由已知(令 m1)可得 an-(n1)2. 211 2 n aa 那么 an1an2n1w_w w. k#s5_u.c o*m 2121 2 nn aa 2n1 82 2 n 2n 于是 cn2nqn1. 当 q1 时，Sn2462nn(n1) 当 q1 时，Sn2q04q16q22nqn1. 两边同乘以 q，可得 qSn2q14q26q32nqn. 上述两式相减得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqnw_w w. k#s5_u.c o*m 22nqn 1 1 n q q 2 1 1 (1) 1 nn nqnq q 所以 Sn2 1 2 (1)1 (1) nn nqnq q 综上所述，Sn12 分 1 2 (1)(1) (1)1 2(1) (1) nn n nq nqnq q q A （20102010 天津文数）天津文数） （22） （本小题满分 14 分） 在数列中，=0，且对任意 k，成等差数列，其公差为 2k. n a 1 a * N 2k 12k2k+1 a,a,a （）证明成等比数列； 456 a ,a ,a （）求数列的通项公式； n a （）记，证明. 222 23 23 n n n T aaa A A A n 3 2nT2 n 2 （2） 第 - 16 - 页 共 28 页 数列 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基 础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法， 满分 14 分。 （I）证明：由题设可知， 21 22aa 32 24aa 43 48aa ， 54 412aa 。 65 618aa 从而，所以，成等比数列。 65 54 3 2 aa aa 4 a 5 a 6 a （II）解：由题设可得 2121 4 ,* kk aak kN 所以 2112121212331 . kkkkk aaaaaaaa 441.4 1kk .21 ,*k kkN 由，得 ，从而. 1 0a 21 21 k ak k 2 221 22 kk aakk 所以数列的通项公式为或写为，。 n a 2 2 1, 2 , 2 n n n a n n 为奇数 为偶数 2 11 24 n n n a *nN （III）证明：由（II）可知， 21 21 k ak k 2 2 2 k ak 以下分两种情况进行讨论： （1）当 n 为偶数时，设 n=2m*mN 若，则，1m 2 2 22 n k k k n a 若，则2m 22 222 11 2 21111 221 2214441 221 nmmmm kkkkk kkk kkkkkk aaakk k 2 11 11 4411 11 222 212121 mm kk kk mm k kk kkk . 1131 22112 22 mmn mn 第 - 17 - 页 共 28 页 数列 所以，从而 2 2 31 2 2 n k k k n an 2 2 3 22,4,6,8, 2 n k k k nn a （2）当 n 为奇数时，设。21*nmmN 22 22 2 22 21 212131 4 2221 nm kk kkm mmkk m aaamm m 1131 42 22121 mn mn 所以，从而 2 2 31 2 21 n k k k n an 2 2 3 22,3,5,7, 2 n k k k nn a 综合（1）和（2）可知，对任意有2,*,nnN 3 22. 2 n nT （20102010 天津理数）天津理数） （22） （本小题满分 14 分） 在数列中，且对任意.，成等差数列，其公差为。 n a 1 0a * kN 21k a 2k a 21k a k d （）若=，证明，成等比数列（） k d2k 2k a 21k a 22k a * kN （）若对任意，成等比数列，其公比为。 * kN 2k a 21k a 22k a k q 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前 n 项和公式、等比数列的定义、数 列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论 的思想方法。满分 14 分。 （）证明：由题设，可得。 * 4 , 2121 aak kN kk 所以 131 ()().() 2121212123 aaaaaaaa kkkkk =44(1).4 1kk =2k(k+1) 由=0，得 1 a 22 2 (1),22,2(1) . 2122122 ak kaakkak kkkk 从而 于是。 11 21222221 , 221212 aaaa kk kkkk akakaa kkkk 所以 所以成等比数列。 * 2, 22122 k dkkNaaa kkk 时，对任意 第 - 18 - 页 共 28 页 数列 （）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成 2 , 2121 k aaa kk , 22122 aaa kkk 等比数列，得 21211 2,2 22121 221 k aa kk aaaq kkk aaq kkk 当1 时，可知1，k 1 q k q * N 从而 11111 1,1(2) 11 1 1111 21 1 k qqqq kkkk qk 即 所以是等差数列，公差为 1。 1 1qk （）证明：，可得，从而=1.由（）有 1 0a 2 2a 3 4a 1 4 2, 2 q 1 1 1 q *11 11, 1 k k kkqkN qk k 得 所以 2 * 2 22211221 , 2122 aaa kkkkk kN aakak kkk （） 从而 因此， 222 2* 2 222 (1)2 22214 .222 (1), 2212 (1)(2)1 22242 k aaa kk kkk aak aak kkN kk aaakkk kk 以下分两种情况进行讨论： （1）当 n 为偶数时，设 n=2m() * mN 若 m=1,则. 2 2 22 n k k k n a 若 m2，则 + 2222 1 2 2111 221 (2 )(21)4 2 nmmm kkkk kkk kkkk aaak 22 111 111 4414411 11 222 2 (1)2 (1)2 (1)21 1131 22(1)(1)2 22. mmm kkk kkkk mm k kk kk kkk mmn mn 第 - 19 - 页 共 28 页 数列 所以 22 22 313 2,22,4,6,8. 22 nn kk kk kk nnn ana 从而 (2)当 n 为奇数时，设 n=2m+1（） * mN 2 222 2 22 21 (21)31(21) 4 222 (1) nm kk kkm kkmm m aaamm m 1131 42 22(1)21 mn mn 所以从而 2 2 31 2, 21 n k k k n an 2 2 3 22,3,5,7 2 n k k k nn a 综合（1） （2）可知，对任意,有2n nN 2 2 3 22 2 n k k k n a 证法二：（i）证明：由题设，可得 212222 (1), kkkkkkkk daaq aaaq 所以 2 12221222 (1), kkkkkkkkkk daaq aq aa q q 1kkk dq d 232211 1 2 222222 1 111 kkkkkk k kkkkkkk aadddq q aaq aq aq 由可知。可得， 1 1q 1,* k qkN 1 111 1 1111 k kkkk q qqqq 所以是等差数列，公差为 1。 1 1 k q （ii）证明：因为所以。 12 0,2,aa 121 2daa 所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公 321 4aad 3 1 2 2 a q a 1 1 1 1q 1 1 k q 差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。 1 1 k q 11kk 1 k k q k 从而。 1 1 k k k dk q dk 所以，由，可得 12 1121 12 121 kkk kk ddddkk k ddddkk 1 2d 第 - 20 - 页 共 28 页 数列 。2 k dk 于是，由（i）可知 2 212 21 ,2,* kk ak kakkN 以下同证法一。 （20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数） （22）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知数列中， . n a 11 1 1, n n aac a （）设，求数列的通项公式； 51 , 22 n n cb a n b （）求使不等式成立的的取值范围 . 1 3 nn aa c （2010 四川文数）四川文数） （20） （本小题满分 12 分）w_w w. k#s5_u.c o*m 第 - 21 - 页 共 28 页 数列 已知等差数列的前 3 项和为 6，前 8 项和为-4。 n a （）求数列的通项公式；w_w w. k#s5_u.c o*m n a （）设，求数列的前 n 项和 1* (4)(0,) n nn ba qqnN n b n S （20102010 山东理数）山东理数） （18） （本小题满分 12 分） 已知等差数列满足：，的前 n 项和为 n a 3 7a 57 26aa n a n S （）求及； n a n S （）令 bn=(nN*)，求数列的前 n 项和 2 1 1 n a n b n T 【解析】 （）设等差数列的公差为 d，因为，所以有 n a 3 7a 57 26aa ，解得， 1 1 27 21026 ad ad 1 3,2ad 所以；=。321)=2n+1 n an（ n S n(n-1) 3n+2 2 2 n +2n （）由（）知，所以 bn=，2n+1 n a 2 1 1 n a 2 1 = 2n+1)1（ 11 4 n(n+1) 111 (-) 4n n+1 第 - 22 - 页 共 28 页 数列 所以=， n T 111111 (1-+-) 4223n n+1 11 (1-)= 4n+1 n 4(n+1) 即数列的前 n 项和=。 n b n T n 4(n+1) 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟 练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 （2010 湖南理数）湖南理数）21 （本小题满分 13 分） 数列中，是函数的极 * () n anN 3222 11 ( )(3)3 32 nnn fxxanxn a x 小值点 （）当 a=0 时，求通项； n a （）是否存