2011年全国高中数学联赛试题参考答案.doc

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2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（a卷）考试时间：2011年10月16日 8：009：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上1.设集合aa1，a2，a3，a4，若a中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为b1，3，5，8，则集合a 解：显然，在a的所有三元子集中，每个元素均出现了3次.所以3（a1a2a3a4）（1）35815.故a1a2a3a45.于是集合a的四个元素分别为5（1）6，532，550，583.因此则集合a3，0，2，6再由不等式中等号成立的条件，得ab1.4.如果cos5sin57（ sin3cos3），0，2），那么的取值范围是 解：不等式cos5sin57（sin3cos3）等价于sin3sin5cos3cos5.又f（x）x3x5是（，）上的增函数，5现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲，乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 （用数字作答）解：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：所以满足题设要求的方案数为36001140015000.6在四面体abcd中，已知adbbdccda60，adbd3，cd2，则四面体abcd的外接球的半径为 解：设四边形abcd的外接球球心为o，则o在过abd的外心n且垂直于平面abd的垂线上.由题设知，abd是正三角形，则点n为abd的中心.设p，m分别为ab，cd的中点，则n在dp上，且ondp，omcd.因为cdacdbadb 7直线x2y10与抛物线y24x交于a，b两点，c为抛物线上的一点，acb90，则点c的坐标为 得y28y40.则y1y28，y1 y24.又x12y11，x22y21，所以x1x22（y1y2）218，x1x24 y1 y22（y1y2）11.即有（t2x1）（t2x2）（2ty1）（2ty2）0.即t4（x1x2）t2x1x24t22（y1y2）ty1 y20.即t414t216t30.即（t24t3）（t24t1）0.显然t24t10.否则t222t10.则点c在直线x2y10上.从而点c与点a或点b重合.所以t24t30.解得t11，t23.故所求点c的坐标为（1，2）或（9，6）. 的个数为 .从而6|n4.同理可计算得86！中因数2的个数为82，114！中因数2的个数为110.92！中因数2的个数为88，108！中因数2的个数为105.因此，整数项的个数为14115.二、解答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤9（本小题满分16分）设函数f（x）|lg（x1）|，实数a，b a1b2或（a1）（b2）1.又ab，a1b2.（a1）（b2）1.4分又由f（a）lg（a1）有意义知0a1.从而0a1b1b2.于是0a11b2.所以（10a6b21）110（a1）6（b2）10（本小题满分20分）已知数列an满足：a12t3（tr且t1，（1）求数列an的通项公式；（2）若t0，试比较an1与an的大小显然在t0（t1）时恒有an1an0.故an1an.20分（1）证明：pab的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若apb60，求pab的面积化简整理得2x26mx9m2360.从而，kpakpb0.又p在直线l的左下方，因此apb的角平分线是平行于y轴的直线.15分20分2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（a卷）考试时间：2011年10月16日 9：4012：10一、（本题满分40分）如图，p，q分别是圆内接四边形abcd的对角线ac，bd的中点.若bpadpa，证明：aqbcqb. 证明：延长线段dp与交于另一点e，则cpedpabpa.又q为bd的中点，所以cqbdqf. 又aqbdqf，所以aqbcqb.40分二、（本题满分40分）证明：对任意整数n4，存在一个n次多项式f（x）xnan1xn1a1xa0具有如下性质：（1）a0 ，a1，an1均为正整数；（2）对任意正整数m，及任意k（k2）个互不相同的正整数r1，r2，rk，均有f（m）f（r1）f（r2）f（rk）证明：令f（x）（x1）（x2）（xn）2. 10分将的右边展开即知f（x）是一个首项为1的正整数系数的n次多项式.下面证明f（x）满足性质（2）.对任意整数t，由于n4，故连续的n个整数t1，t2，tn中必有一个为4的倍数.从而由知f（t）2（mod 4）.20分因此，对任意k（k2）个正整数r1，r2，rk，有f（r1）f（r2）f（rk）2k0（mod 4）.但对任意正整数m，有f（m）2（mod4）.所以f（x）符合题设要求.40分三、（本题满分50分）设a1，a2，an（n4）是给定的正实数，的三元数组（i，j，k）的个数记为fn（r）.的三元数组（i，j，k）的个数记为gj（r）.10分注意到，若i，j固定则显然至多有一个k使得成立.因ij，即i有j1种选法.故gj（r）j1.同样地，若j，k固定，则至多有一个i使得成立.因kj，即k有nj种选法.故gj（r）nj.从而gj（r）min j1，nj.30分因此，当n为偶数时，设n2m，则有当n为奇数时，设n2m1，则有四、（本题满分50分）设a是一个39的方格表，在每一个小方格内各填 一个正整数称a中的一个mn（1m3，1n9）方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数称a中的一个11的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”求a中“坏格”个数的最大值解：首先证明a中“坏格”不多于25个.用反证法.假设结论不成立，则方格表a中至多有1个小方格不是“坏格”.由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”.设方格表a第i行从上到下填的数依次为ai，bi，ci，i1，2， 10分我们证明：三组数s0，s1，s9；t0，t1，t9及s0t0，st，s9t9都是模10的完全剩余系.事实上，假如存在m，n，0mn9，使smsn（mod10），则一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾.20分又假如存在m，n，0mn9，使tmtn（mod10），则即第2行至第3行，第m1列至第n列组成一个“好矩形”，从而至少有两个小方格不是“坏格”，矛盾.类似地，也不存在m，n，0mn9，使smtmsntn（mod10）.30分因此上述断言得证. 故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个.40分另一方面，构造如下一个39的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”.11121111101111111111111011112综上所述，“坏格”个数的最大值是25.50分 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