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2011年全国高中数学联合竞赛一试试题(a卷)考试时间:2011年10月16日 8:009:20一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上1.设集合aa1,a2,a3,a4,若a中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为b1,3,5,8,则集合a 解:显然,在a的所有三元子集中,每个元素均出现了3次.所以3(a1a2a3a4)(1)35815.故a1a2a3a45.于是集合a的四个元素分别为5(1)6,532,550,583.因此则集合a3,0,2,6再由不等式中等号成立的条件,得ab1.4.如果cos5sin57( sin3cos3),0,2),那么的取值范围是 解:不等式cos5sin57(sin3cos3)等价于sin3sin5cos3cos5.又f(x)x3x5是(,)上的增函数,5现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲,乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 (用数字作答)解:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形:所以满足题设要求的方案数为36001140015000.6在四面体abcd中,已知adbbdccda60,adbd3,cd2,则四面体abcd的外接球的半径为 解:设四边形abcd的外接球球心为o,则o在过abd的外心n且垂直于平面abd的垂线上.由题设知,abd是正三角形,则点n为abd的中心.设p,m分别为ab,cd的中点,则n在dp上,且ondp,omcd.因为cdacdbadb 7直线x2y10与抛物线y24x交于a,b两点,c为抛物线上的一点,acb90,则点c的坐标为 得y28y40.则y1y28,y1 y24.又x12y11,x22y21,所以x1x22(y1y2)218,x1x24 y1 y22(y1y2)11.即有(t2x1)(t2x2)(2ty1)(2ty2)0.即t4(x1x2)t2x1x24t22(y1y2)ty1 y20.即t414t216t30.即(t24t3)(t24t1)0.显然t24t10.否则t222t10.则点c在直线x2y10上.从而点c与点a或点b重合.所以t24t30.解得t11,t23.故所求点c的坐标为(1,2)或(9,6). 的个数为 .从而6|n4.同理可计算得86!中因数2的个数为82,114!中因数2的个数为110.92!中因数2的个数为88,108!中因数2的个数为105.因此,整数项的个数为14115.二、解答题:本大题共3小题,共56分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤9(本小题满分16分)设函数f(x)|lg(x1)|,实数a,b a1b2或(a1)(b2)1.又ab,a1b2.(a1)(b2)1.4分又由f(a)lg(a1)有意义知0a1.从而0a1b1b2.于是0a11b2.所以(10a6b21)110(a1)6(b2)10(本小题满分20分)已知数列an满足:a12t3(tr且t1,(1)求数列an的通项公式;(2)若t0,试比较an1与an的大小显然在t0(t1)时恒有an1an0.故an1an.20分(1)证明:pab的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若apb60,求pab的面积化简整理得2x26mx9m2360.从而,kpakpb0.又p在直线l的左下方,因此apb的角平分线是平行于y轴的直线.15分20分2011年全国高中数学联合竞赛加试试题(a卷)考试时间:2011年10月16日 9:4012:10一、(本题满分40分)如图,p,q分别是圆内接四边形abcd的对角线ac,bd的中点.若bpadpa,证明:aqbcqb. 证明:延长线段dp与交于另一点e,则cpedpabpa.又q为bd的中点,所以cqbdqf. 又aqbdqf,所以aqbcqb.40分二、(本题满分40分)证明:对任意整数n4,存在一个n次多项式f(x)xnan1xn1a1xa0具有如下性质:(1)a0 ,a1,an1均为正整数;(2)对任意正整数m,及任意k(k2)个互不相同的正整数r1,r2,rk,均有f(m)f(r1)f(r2)f(rk)证明:令f(x)(x1)(x2)(xn)2. 10分将的右边展开即知f(x)是一个首项为1的正整数系数的n次多项式.下面证明f(x)满足性质(2).对任意整数t,由于n4,故连续的n个整数t1,t2,tn中必有一个为4的倍数.从而由知f(t)2(mod 4).20分因此,对任意k(k2)个正整数r1,r2,rk,有f(r1)f(r2)f(rk)2k0(mod 4).但对任意正整数m,有f(m)2(mod4).所以f(x)符合题设要求.40分三、(本题满分50分)设a1,a2,an(n4)是给定的正实数,的三元数组(i,j,k)的个数记为fn(r).的三元数组(i,j,k)的个数记为gj(r).10分注意到,若i,j固定则显然至多有一个k使得成立.因ij,即i有j1种选法.故gj(r)j1.同样地,若j,k固定,则至多有一个i使得成立.因kj,即k有nj种选法.故gj(r)nj.从而gj(r)min j1,nj.30分因此,当n为偶数时,设n2m,则有当n为奇数时,设n2m1,则有四、(本题满分50分)设a是一个39的方格表,在每一个小方格内各填 一个正整数称a中的一个mn(1m3,1n9)方格表为“好矩形”,若它的所有数的和为10的倍数称a中的一个11的小方格为“坏格”,若它不包含于任何一个“好矩形”求a中“坏格”个数的最大值解:首先证明a中“坏格”不多于25个.用反证法.假设结论不成立,则方格表a中至多有1个小方格不是“坏格”.由表格的对称性,不妨假设此时第1行都是“坏格”.设方格表a第i行从上到下填的数依次为ai,bi,ci,i1,2, 10分我们证明:三组数s0,s1,s9;t0,t1,t9及s0t0,st,s9t9都是模10的完全剩余系.事实上,假如存在m,n,0mn9,使smsn(mod10),则一个“好矩形”,与第1行都是“坏格”矛盾.20分又假如存在m,n,0mn9,使tmtn(mod10),则即第2行至第3行,第m1列至第n列组成一个“好矩形”,从而至少有两个小方格不是“坏格”,矛盾.类似地,也不存在m,n,0mn9,使smtmsntn(mod10).30分因此上述断言得证. 故假设不成立,即“坏格”不可能多于25个.40分另一方面,构造如下一个39的方格表,可验证每个不填10的小方格都是“坏格”,此时有25个“坏格”.11121111101111111111111011112综上所述,“坏格”个数的最大值是25.50分 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