材料力学11压杆稳定.ppt

11 压杆稳定 1 11 压杆稳定 11.1 压杆稳定的概念 11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式 11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式 11.4 临界应力 欧拉公式的应用范围 11.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力总图 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施 2 11.1 压杆稳定性的概念 不稳定平衡 稳定平衡 微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置 微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 可靠地工作。压杆的承载能力不仅取决于构件的强度和刚度， 还与其稳定性有关。 3 理想弹性压杆（材料均匀、杆轴为直线、压力沿轴线） 作用压力P，给一横向干扰力，出现类似现象： （1） 干扰力撤消后，直杆能 回到原有的直线状态 （图 a）,类 似凹面作用稳定平衡； （2） 干扰力撤消后，直杆不 能回到原有直线状态（图 c），类 似凸面作用不稳定平衡； （3） 干扰力撤消后， 直杆不 再恢复到原来直线平衡状态，而是 仍处于微弯的平衡状态（图b） 临界平衡状态，此时的压力Pcr称 为压杆的临界力 。 11.1 压杆稳定性的概念 4 从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解 为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。 显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的 一种抽象。 实际的受压杆件由于: 1. 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲， 2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心， 1. 3. 材料性质并非绝对均匀， 2.因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此 引起的侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。 11.1 压杆稳定性的概念 5 11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式 思路：假设压杆在某个压力Pcr作用下在曲线状态平衡， 然后设法去求挠曲函数。若： (1)求得的挠曲函数0，说明只有直线平衡状态 ； (2)求得不为零的挠曲函数，说明压杆的确能够在 曲线状态下平衡，即出现失稳现象。 6 本节以两端球形铰支(简称两端铰支 )的细长中心受压杆件(图a)为例，按照 对于理想中心压杆来说临界力就是杆能 保持微弯状态时的轴向压力这一概念， 来导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。 y (a) x l x y mm O y y Pcr y 11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式 7 挠曲线近似微分方程： 欧拉公式 临界力为最小压力： 2 2 l EI Pcr p = M (x) =Pcrv x l x y mm O y y O y x Pcr Pcr (a) (b) Fcr x y y 设压杆微弯挠曲线的表达式为： ，则令 其通解为： 式中A，B为待定常数。 杆的边界条件： 代入通解得： 11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式 8 在确定的约束条件下，欧拉临界力Pcr： 有关， (1)仅与材料（E）、长度(l)和截面尺寸(A) (2)是压杆的自身的一种力学性质指标，反映 承载能力的强弱， (3)与外部轴向压力的大小无关。 材料的E越大，截面越粗， 短， 杆件越 临界力Pcr越高； 临界力Pcr越高， 越好， 稳定性 承载能力越强； 11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式 9 此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取 klp，压杆的挠曲线表达式可写成 注意到当x= l /2 时 v=d，故有 A=d。从而知，对应于klp， 亦即对应于Pcr=p2EI/l 2，挠曲线方程为 可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。 11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式 10 11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式 支承情况两端铰支 一端固定 另端铰支 两端固定 一端固定 另端自由 失稳时挠曲线形状 Pcr A B l 临界力Pcr 欧拉公式 长度系数=10.7 =0.5=2=1 Pcr A B l 0.7l C C 挠曲 线拐点 l 0.5l Pcr A B C D C、D 挠 曲线拐点 Pcr l 2l 0.5l Pcr l 两端固定但可沿 横向相对移动 11 表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长 中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆 的临界力也就越高。 表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式： 式中，m 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关；m l 称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束 情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为m l 的两端 铰支压杆的临界力。上表的图中从几何意义上标出了各种杆端 约束情况下的相当长度m l。 11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式 12 运用欧拉公式计算临界力时需要注意： (1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧 拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形心主惯性矩 Imin。 (2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的 I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。 11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式 13 例1 求下列细长压杆的临界力 解：图(a) 图(b) 图(a) 30 10 P l 图(b) P l (4545 6) 等边角钢 y z 11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式 14 11.4 临界应力 欧拉公式的应用范围 在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料 在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公 式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限p 的情况。 按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力Pcr作用时可 在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可 按crPcr /A来计算，亦即 15 式中，cr称为临界应力； 为压杆横截面对于失稳 时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；ml /i为压杆的相当 长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比 (slenderness)或柔度，记作l，即 根据欧拉公式只可应用于crp的条件，由式(a)知该应 用条件就是 亦即或写作 11.4 临界应力 欧拉公式的应用范围 16 可见 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。 对于Q235钢，按照 E206 GPa，p 200 MPa，有 通常把llp的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力Fcr 的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把ln。 （1）安全因数法 22 式中： sst稳定许用应力； s许用压应力； j1折减系数，与柔度 和材料有关， 可查规范。 (2) 折减因数法 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施 23 例1 确定图示连杆的许用压力Pst。已知连杆横截面面积 A=720 mm2，惯性矩Iz = 6.5104 mm4，Iy=3.8104 mm4，p=240 MPa，E =2.1105 MPa。连杆用硅钢制成，稳定安全系数nst=2.5 。 若在x-y面内失稳，m=1，柔度为： 解：(1)失稳形式判断 若在x-z平面内失稳,m=0.5,柔度为： 所以连杆将在xy平面内失稳，其许用压力应由lz决定。 x 580 y z P P y 700 x z P P l 580 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施 24 (2)确定许用压力 硅钢：s= 353 MPa，计算有关的lp和ls为： 连杆为中柔度杆。a=578 MPa，b=3.744 MPa，其临界载荷为： 由此得连杆的许用压力为： (3)讨论：在此连杆中：lz=73.7，ly=39.9，两者相差较大。 最理想的设计是ly= lz，以达到材尽其用的目的。 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施 25 例2 图示木屋架中AB杆的截面为边长a=110 mm的正方形，杆长l=3.6 m， 承受的轴向压力F=25 kN。木材的树种强度等级为TC15，许用应力=10MPa 。试校核AB杆的稳定性（只考虑在桁架平面内的失稳）。 由于在桁架平面 内AB杆两端为铰支，故=l。AB 杆的柔度为 折减因数为 解: 正方形截面的惯性半径为 II截面 a110 A B I I 稳定校核 满足稳定条件式，故AB杆是稳定的。 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施 26 2.提高压杆稳定性的措施 （1）选择合理的截面形状 当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件 时,压杆将在刚度最小的平面内弯曲.这时如果只增加截面某个 反方向的惯性矩,并不能提高压杆的承载能力,最经济的办法是 将截面设计成空的,且尽量使从而加大截面的惯性矩.并使截面 对各个方向轴的惯性矩均相同.因此,对一定的横截面面积,正 方形截面或圆截面比矩形截面好,空心截面比实心截面好. 当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时,应采 用最大与最小惯性矩不等的截面,并使惯性矩较小的平面内具 有较强刚性的约束. 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施 27 （2）改变压杆的约束条件 增加中间支承、加固杆端约束 支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载 荷越大。如，将两端铰支的细长杆，变成两端固 定约束的情形，临界载荷将呈数倍增加。 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施 28 在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可 以提高细长压杆的承载能力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁 或铝制压杆的临界载荷。但是，