高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_4_1 抛物线的标准方程学案 新人教b版选修2-1

2.4.1抛物线的标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点一抛物线的定义思考1平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？思考2平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？思考3到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？梳理(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)距离_的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的_，定直线l叫做抛物线的_(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于11)知识点二抛物线的标准方程思考抛物线的标准方程有何特点？梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y22px(p0)，y22px(p0)，x22py(p0)，x22py(p0)现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(，0)xy22px(p0)(，0)xx22py(p0)(0，)yx22py(p0)(0，)y类型一抛物线的定义及理解例1(1)动点M的坐标满足方程5|3x4y12|，则动点M的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D以上都不对(2)已知点P(x，y)在以原点为圆心的单位圆x2y21上运动，则点Q(xy，xy)的轨迹所在的曲线是_(在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答)反思与感悟抛物线的判断方法(1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离(2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程跟踪训练1平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程类型二抛物线标准方程及求解命题角度1抛物线的焦点坐标或准线方程的求解例2抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.反思与感悟根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程跟踪训练2(1)若抛物线y22px的焦点坐标为(1，0)，则p_；准线方程为_(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程y240x；4x2y；3y25x；6y211x0.命题角度2求解抛物线的标准方程例3根据下列条件分别求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，|AF|5.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值跟踪训练3已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程类型三抛物线在实际生活中的应用例4河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解跟踪训练4喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？1抛物线yx2的准线方程是()Ay1 By2Cx1 Dx22已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A4 B2C4或4 D12或23若抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p_.4若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.5已知M为抛物线y24x上一动点，F为抛物线的焦点，定点N(2，3)，则|MN|MF|的最小值为_1焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点为F(，0)，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点为F(0，)，准线方程为y.2设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x0.3对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题提醒：完成作业第二章2.4.1答案精析问题导学知识点一思考1连接两定点所得线段的垂直平分线思考2一条直线思考3抛物线梳理(1)相等焦点准线知识点二思考(1)以方程的解为坐标的点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于.题型探究例1(1)C(2)抛物线跟踪训练1解方法一设点P的坐标为(x，y)，则有|x|1，两边平方并化简得y22x2|x|.y2即点P的轨迹方程为y2方法二由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1，故当x0)且3，p6，抛物线的方程为y212x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义得5|AF|.又(3)22pm，p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x.跟踪训练3解设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点F，由题意，得解得或故所求的抛物线方程为y28x，m2.抛物线的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x2.例4解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航跟踪训练4解如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y