高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3_2_2 复数的乘法和除法学案 新人教b版选修1-2

3.2.2复数的乘法和除法明目标、知重点1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.进一步理解共轭复数的概念及性质.1.复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z33.复数的除法法则设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i.情境导学我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律吗？探究点一复数乘除法的运算思考1怎样进行复数的乘法？答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可.思考2复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1.例1计算：(1)(12i)(34i)(2i)；(2)(34i)(34i)；(3)(1i)2.解(1)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i；(2)(34i)(34i)32(4i)29(16)25；(3)(1i)212ii22i.反思与感悟复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等.跟踪训练1计算：(1)(2i)(2i)；(2)(12i)2.解(1)(2i)(2i)4i24(1)5；(2)(12i)214i(2i)214i4i234i.思考3如何理解复数的除法运算法则？答复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).例2计算：(1)；(2)()6.解(1)原式；(2)方法一原式6i61i.方法二(技巧解法)原式6i61i.反思与感悟复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数.跟踪训练2计算：(1)；(2).解(1)1i.(2)13i.探究点二共轭复数及其应用思考1复数abi及其共轭复数之积是实数还是虚数？答复数abi的共轭复数表示为abi，由于 (abi)(abi)a2b2 ，所以两个共轭复数之积为实数.思考2共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称.(2)实数的共轭复数是它本身，即zzR，利用这个性质可证明一个复数为实数.(3)若z0且z0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数.思考3z与|z|2和|2有什么关系？答z|z|2|2.例3已知复数z满足|z|1，且(34i)z是纯虚数，求z的共轭复数.解设zabi(a，bR)，则abi且|z|1，即a2b21.因为(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i，而(34i)z是纯虚数，所以3a4b0，且3b4a0.由联立，解得或所以i，或i.反思与感悟本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点.跟踪训练3已知复数z满足：z2iz86i，求复数z的实部与虚部的和.解设zabi(a，bR)，则za2b2，a2b22i(abi)86i，即a2b22b2ai86i，解得，ab4，复数z的实部与虚部的和是4.1.设复数z满足iz1，其中i为虚数单位，则z等于()A.i B.iC.1 D.1答案A解析zi.2.已知集合M1,2，zi，i为虚数单位，N3,4，MN4，则复数z等于()A.2i B.2iC.4i D.4i答案C解析由MN4得zi4，z4i.3.复数等于()A.i B.iC.i D.i答案A4.复数z(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案D解析因为z，故复数z对应的点在第四象限，选D.呈重点、现规律1.复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.3.复数问题实数化思想.复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a