高中数学 第二章 参数方程 二 1 椭圆的参数方程教学案 新人教a版选修4-4

1椭圆的参数方程 椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆1的参数方程是(是参数)，规定参数的取值范围是0,2)(2)中心在(h，k)的椭圆普通方程为1，则其参数方程为(是参数)椭圆的参数方程的应用：求最值例1已知实数x，y满足1，求目标函数zx2y的最大值与最小值思路点拨将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题解椭圆1的参数方程为(为参数)代入目标函数得z5cos 8sin cos(0)cos(0)(tan 0)所以目标函数zmin，zmax.利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解1已知椭圆1，点A的坐标为(3,0)在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大解：椭圆的参数方程为(为参数)设P(5cos ，4sin )，则|PA|3cos 5|8，当cos 1时，|PA|最大此时，sin 0，点P的坐标为(5,0).椭圆参数方程的应用：求轨迹方程例2已知A，B分别是椭圆1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求ABC的重心G的轨迹方程思路点拨由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点P坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解解由题意知A(6,0)、B(0,3)由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos ，3sin )，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得即消去参数得到(y1)21.本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便2已知椭圆方程是1，点A(6,6)，P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨迹方程解：设P(4cos ，3sin )，Q(x，y)，则有即(为参数)9(x3)216(y3)236，即为所求3设F1、F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右两个焦点(1)若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a4，即a2.又点A(1，)在椭圆上，因此1，得b23，于是c2a2b21，所以椭圆C的方程为1，焦点坐标为F1(1,0)，F2(1,0)(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos ，sin )，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x，y，所以xcos ，sin .消去，得(x)21.即为线段F1P中点的轨迹方程.椭圆参数方程的应用：证明定值例3已知椭圆y21上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：|OP|OQ|为定值思路点拨利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，MB2的方程，从而得到P、Q两点坐标，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|OQ|的值证明设M(2cos ，sin )，为参数，B1(0，1)，B2(0,1)则MB1的方程：y1x，令y0，则x，即|OP|.MB2的方程：y1x，令y0，则x.|OQ|.|OP|OQ|4.即|OP|OQ|4为定值利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可4曲线(ab0)上一点M与两焦点F1、F2所成角为F1MF2.求证：F1MF2的面积为b2tan.证明：M在椭圆上，由椭圆的定义，得：|MF1|MF2|2a，两边平方，得|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|4a2.在F1MF2中，由余弦定理，得|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos |F1F2|24c2.由两式，得|MF1|MF2|.故SF1MF2|MF1|MF2|sin b2tan.一、选择题1椭圆(为参数)，若0,2，则椭圆上的点(a,0)对应的()AB.C2 D.解析：点(a,0)中xa，aacos ，cos 1，.答案：A2把椭圆的普通方程9x24y236化为参数方程是()A.(为参数) B.(为参数)C.(为参数) D.(为参数)解析：把椭圆的普通方程9x24y236化为1，则b2，a3，其参数方程为(为参数)答案：B3已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为()A. BC2 D2解析：点M的坐标为(1,2)，kOM2.答案：C4两条曲线的参数方程分别是(为参数)和(t为参数)，则其交点个数为()A0 B1C0或1 D2解析：由得xy10(1x0，1y2)，由得1.如图所示，可知两曲线交点有1个答案：B二、填空题5椭圆(为参数)的离心率为_解析：椭圆方程为1，可知a5，b4，c3，e.答案：6实数x，y满足3x24y212，则2xy的最大值是_解析：因为实数x，y满足3x24y212，所以设x2cos ，ysin ，则2xy4cos 3sin 5sin()，其中sin ，cos .当sin()1时，2xy有最大值为5.答案：57(湖南高考)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_.解析：曲线C1的普通方程为2xy3，曲线C2的普通方程为1，直线2xy3与x轴的交点坐标为，故曲线1也经过这个点，代入解得a.答案：三、解答题8已知两曲线参数方程分别为(0)和(tR)，求它们的交点坐标解：将(0)化为普通方程得：y21(0y1，x)，将xt2，yt代入得：t4t210，解得t2，t(yt0)，xt21，交点坐标为(1，)9对于椭圆(为参数)，如果把横坐标缩短为原来的倍，再把纵坐标缩短为原来的倍即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程(为参数)那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系解：设圆的参数方程为(为参数)，如果将该圆看成椭圆，那么在椭圆中对应的数值分别为abr，所以c0，则离心率e0.即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁10椭圆1(ab0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OPAP(O为原点)，求离心率e的取值范围解：设椭圆的参数方程是(为参数)(ab0)，则椭圆上的点P(acos ，bsin )，A(a,0)OPAP，1，即(a2b2)cos2a2cos b20.解