高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 3_1 双曲线及其标准方程学案 北师大版选修1-1

31双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题知识点一双曲线的定义思考1如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？思考2已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)|6；(2)6.梳理把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线定点F1，F2叫作_，两个焦点之间的距离叫作_知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？思考2如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使|OB|b吗？类型一双曲线的定义及应用命题角度1双曲线中的焦点三角形问题例1(1)如图，已知双曲线的方程为1(a0，b0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|m，F1为双曲线的左焦点，则ABF1的周长为_引申探究本例(2)中若F1PF290，其他条件不变，求F1PF2的面积(2)已知双曲线1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，则F1PF2的面积为_反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面积(2)方法二：利用公式SPF1F2|F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|间的关系跟踪训练1已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左，右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cos F1PF2等于()A. B. C. D.命题角度2由双曲线定义求轨迹方程例2已知在ABC中，三边长分别为a，b，c，B(1,0)，C(1,0)，求满足sin Csin Bsin A的顶点A的轨迹反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上跟踪训练2已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1(x) B.1C.1 D.1类型二求双曲线的标准方程例3求下列双曲线的标准方程(1)与椭圆1有公共焦点，且过点(2，)；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)过点P(3，)，Q(，5)，且焦点在坐标轴上反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2By21(AB0)；与双曲线1(a0，b0)共焦点的双曲线的标准方程可设为1(b2ka2)(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值(4)结论：写出双曲线的标准方程跟踪训练3根据条件求双曲线的标准方程(1)c，经过点A(5,2)，焦点在x轴上；(2)经过点P(4，2)和点Q(2，2)；(3)已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且过点(，4)类型三由双曲线标准方程求参数例4已知曲线1.(1)当曲线为椭圆时，求m的取值范围，并写出焦点坐标；(2)当曲线为双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标反思与感悟(1)对于方程1，当mn0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0时表示焦点在y轴上的双曲线(2)对于方程1，则当mn0时表示双曲线且当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n1 Bm3 D1m35与椭圆x25y25共焦点且过点(，1)的双曲线的方程为_1双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解答案精析问题导学知识点一思考1曲线上的点满足条件：|MF1|MF2|常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|MF1|常数，可得到另一条曲线思考2(1)|表示点P(x，y)到两定点F1(5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|10，|PF1|PF2|6|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线(2)表示点P(x，y)到两定点F1(4,0)、F2(4，0)的距离之差，|F1F2|8，|PF1|PF2|6|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支梳理双曲线的焦点双曲线的焦距知识点二思考1双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关思考2以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B.题型探究例1(1)4a2m(2)16解析(1)由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又|AF2|BF2|AB|，所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|4a2|AB|4a2m.(2)由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理，得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF26416.引申探究解由双曲线方程知a3，b4，c5，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36.在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100.将代入得|PF1|PF2|32，所以SF1PF2|PF1|PF2|16.跟踪训练1C由双曲线的定义得|PF1|PF2|2，又|PF1|2|PF2|，|PF2|2，|PF1|4，|F1F2|4，在F1PF2中由余弦定理：cos F1PF2.例2解如图所示，sin Csin Bsin A，根据正弦定理，得cba21，即|AB|AC|1|BC|.点A的轨迹符合双曲线的定义点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(不包括点A在BC上的情况)跟踪训练2A设动圆M的半径为r，则由已知得|MC1|r，|MC2|r，所以|MC1|MC2|2.又C1(4,0)，C2(4,0)，所以|C1C2|8，所以20，b0)，则有解得故所求双曲线的方程为1.方法二由椭圆方程1知焦点在y轴上，设所求双曲线方程为1(1625)因为双曲线过点(2，)，所以1，解得20或7(舍去)，故所求双曲线的方程为1.(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)，c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍)b21.双曲线的标准方程为y21.(2)设双曲线方程为mx2ny21(mn0)点P(4，2)和点Q(2，2)在双曲线上，解得双曲线的方程为1.(3)椭圆1的焦点坐标为F1(0，3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为1.由题意，知解得故双曲线的方程为1.例4解(1)当曲线为椭圆时，依题意得解得m0，解得0m0时，方程1表示焦点在x轴上的双曲线，a216m，b29m，由c2a2b2，得2