高中数学 模块综合检测教学案 苏教版选修4-2

模块综合检测(时间：100分钟，总分100分)1(本小题满分10分)曲线9x24y21在伸压变换下变成另一曲线C，求曲线C的方程解：伸压变换矩阵为M，由 ，得即其中点P(x，y)在曲线9x24y21上，所以有92421，即x2y21.故曲线C的方程为x2y21.2(本小题满分10分)二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2,1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：xy40，求l的方程解：(1)设M，则有 ， ，所以且解得所以M.(2)因为 ，且xy40，所以(x2y)(3x4y)40，整理得xy20，所以直线l的方程为xy20.3(本小题满分10分)已知M，N，求二阶方阵X，使MXN.解：设X，据题意有 ，根据矩阵乘法法则有解得所以X.4.(本小题满分10分)变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2.(1)求点P(2,1)在T1作用下的点P的坐标；(2)求曲线2x22xyy21先在T1旋转变换作用下，后在T2变换的作用下所得曲线的方程解：(1)由题意知M1，故M1 ，所以点P(2,1)在T1作用下的点P的坐标是(1,2)(2)由题意得MM2M1，设是变换后的图像上任意一点，与之对应的变换前的点是，则M，也就是即代入2x2x0y0y1，得2y22y(yx)(yx)21，即x2y21.所以所求曲线的方程是x2y21.5(本小题满分10分)在直角坐标系中，已知ABC的顶点坐标为A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积这里M，N.解：在矩阵N的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90得到的图形，在矩阵M的作用下，一个图形变换为与之关于直线yx对称的图形所以ABC在矩阵MN的作用下变换所得到的图形与ABC全等，从而其面积等于ABC的面积，即为211.6(本小题满分10分)已知矩阵A，B.(1)计算AB；(2)若矩阵B把曲线：x2y21变为曲线C，求曲线C的方程解：(1)AB.(2)任取直线l上一点P(x，y)，经矩阵B变换后为点P(x，y)，则 ，代入x2y21，得(x2y)2y21，x24xy3y21.曲线C的方程为x24xy3y21.7(本小题满分10分)已知二阶矩阵A的特征值13及其对应向量1，特征值21及其对应向量2，求矩阵A的逆矩阵A1.解：设二阶矩阵A(a，b，c，dR)，则有 3，且 ，即且解得a1，b2，c2，d1.所以A，从而A1.8(本小题满分10分)给定矩阵M及向量.(1)求矩阵M的特征值及与各自对应的一个特征向量e1，e2；(2)确定实数a，b，使向量可以表示为ae1be2；(3)利用(2)中的表达式计算M3，Mn.解：(1)矩阵M的特征多项式f()(2)(1)30(7)(4)令f()0，解得矩阵M的特征值14，27.易求得属于特征值14的一个特征向量e1，属于特征值27的一个特征向量e2.(2)由(1)可设ab，解得a1，b3，所以e13e2.(3)M3M3(e13e2)M3e13M3e2(4)3373.MnMn(e13e2)Mne13Mne2(4)n37n.9(本小题满分10分)曲线x24xy2y21在二阶矩阵M的作用下变换为曲线x22y21.(1)求a，b的值；(2)求M的逆矩阵解：(1)设P(x，y)为曲线x22y21上任意一点，P(x，y)为曲线x24xy2y21上与P对应的点，则 ，即，代入得(xay)22(bxy)21，即(12b2)x2(2a4b)xy(a22)y21，即为方程x24xy2y21，比较系数得，解得a2，b0.(2)因为det(M)10，故M1.10(本小题满分10分)已知矩阵A(BC)1，其中B，C，求A特征值1，2及对应的特征向量1，2.解：由B，得B1，由C，得C1，所以A(BC)1C1B1 .矩阵A的特征多项式为f()(3)(1)令f()0，得A的特征值为13，21.当13时，由 3，得所以y0，取x1，得到A属于特征值3的一个特征向量为1；当21时，由 ，得取x1，则y4，得到A属于特