高中数学 第三章 不等式 3_2 基本不等式与最大(小)值学案 北师大版必修5

3.2基本不等式与最大(小)值学习目标1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题知识点一基本不等式及变形思考使用基本不等式证明：(a0，b0)，并说明什么时候等号成立梳理以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件当a0，b0时，有_ ；当且仅当_时，以上三个等号同时成立知识点二用基本不等式求最值思考因为x212x，当且仅当x1时取等号所以当x1时，(x21)min2.以上说法对吗？为什么？梳理基本不等式求最值的注意事项(1)x，y必须是_；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为_；求和xy的最小值时，应看积xy是否为_；(3)等号成立的条件是否满足使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值如果都不是定值，可能出错类型一基本不等式与最值例1(1)若x0，求函数yx的最小值，并求此时x的值；(2)设0x2，求x的最小值；(4)已知x0，y0，且 1，求xy的最小值跟踪训练1(1)已知x0，求f(x)3x的最小值；(2)已知x0，y0，且2x8yxy，求xy的最小值类型二基本不等式在实际问题中的应用命题角度1几何问题的最值例2(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？跟踪训练2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？命题角度2生活中的最优化问题引申探究若受车辆限制，该厂最少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？例3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？跟踪训练3一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要_小时1已知x，则f(x)有()A最大值 B最小值C最大值1 D最小值12将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是()A6.5 m B6.8 mC7 m D7.2 m3设a0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于()A0 B4 C4 D24已知0x0)的单调性求得函数的最值2求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答答案精析问题导学知识点一思考a0，b0，20，即(a0，b0)，当且仅当，即ab时，等号成立梳理ab知识点二思考错显然(x21)min1.x212x，当且仅当x1时取等号仅说明抛物线yx21恒在直线y2x上方，仅在x1时有公共点梳理(1)正数(2)定值定值题型探究例1解(1)当x0时，x2 4，当且仅当x，即x24，x2时取等号函数yx(x0)在x2时取得最小值4.(2)0x0，y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x，即x时，等号成立.函数y4x(32x)(0x2，x20，xx222 26，当且仅当x2，即x4时，等号成立x的最小值为6.(4)方法一x0，y0，1，xy(xy)1061016，当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.方法二由1，得(x1)(y9)9(定值)由1可知x1，y9，xy(x1)(y9)1021016，当且仅当x1y93，即x4，y12时上式取等号，故当x4，y12时，(xy)min16.跟踪训练1解(1)x0，f(x)3x212，当且仅当3x，即x2时取等号，f(x)的最小值为12.(2)x3，x30，y0，x80，y，xyxx(x8)102 1018.当且仅当x8，即x12时，等号成立xy的最小值是18.方法二由2x8yxy0及x0，y0，得1.xy(xy)102 1018.当且仅当，即x2y12时等号成立xy的最小值是18.例2解(1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy100，篱笆的长为2(xy) m.由，可得xy2，2(xy)40.当且仅当xy10时等号成立所以这个矩形的长，宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.(2)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为xy m2.由9，可得xy81，当且仅当xy9时，等号成立所以这个矩形的长，宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.跟踪训练2解设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m.又设水池总造价为y元，根据题意，得y150120(23x23)240 000720240 0007202 297 600(元)，当且仅当x，即x40时，y取得最小值297 600.所以水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元例3解设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨由题意可知，面粉的保管及其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)设平均每天所支付的总费用为y元，则y9x(x1)90061 8009x10 8092 10 80910 989(元)，当且仅当9x，即x10时，等号成立所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少引申探究解设x1，x215，)，且x1x2.则(9x110 809)(9x210 809)9(x1x2)900()(x1x2)(x1x2).15x1x2，x1x20，x1x2225，(x1x2)0，即y9x10 809在15，)上为增函数当x15，即15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少跟踪训练38解析设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t2 8(