高中数学 第二单元 圆锥曲线与方程 2_2_2 双曲线的几何性质教学案 新人教b版选修1-1

22.2双曲线的几何性质学习目标1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质知识点一双曲线的几何性质类比椭圆的几何性质，结合图象得到双曲线的几何性质如下表：标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围对称性对称轴：_对称中心：_对称轴：_对称中心：_顶点坐标渐近线yxyx离心率e，e(1，)知识点二双曲线的离心率思考1如何求双曲线的渐近线方程？思考2椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？梳理双曲线的半焦距c与实半轴a的比叫做双曲线的，其取值范围是_e越大，双曲线的开口_类型一已知双曲线的标准方程求其简单性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程反思与感悟由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质跟踪训练1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程类型二由双曲线的几何性质确定标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程反思与感悟(1)求双曲线的标准方程的步骤：确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；设双曲线的标准方程；根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；求出a，b，写出方程(2)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b2a2)与双曲线1具有相同渐近线的双曲线方程可设为(0)渐近线为axby0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0)跟踪训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)双曲线过点(3,9)，离心率e；(3)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)类型三与双曲线有关的离心率问题例3分别求适合下列条件的双曲线的离心率(1)双曲线的渐近线方程为yx；(2)双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c.反思与感悟求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2a2b2，直接求a，c的值而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值在本题的(2)中，要注意条件0a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率类型四直线与双曲线的位置关系例4已知直线yax1与双曲线3x2y21.(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a的取值范围；(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a的取值范围；(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a的取值范围反思与感悟直线与双曲线的位置关系问题的求解要注意常用方法的应用，即将直线方程代入双曲线的标准方程，得到一元二次方程，这个方程的根就是直线与双曲线交点的横(纵)坐标利用根与系数的关系可以解决有关弦长、弦中点、轨迹等问题(1)直线与双曲线的位置的判断方法直线与双曲线位置关系的判定有时通过联立方程组求解，有时也要结合图形进行求解联立消去y，得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20.当b2a2k20时，式为一次方程，仅有一解，此时直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线有一个公共点，相交；当b2a2k20时，若0，直线与双曲线有两个公共点，相交；若0，直线与双曲线有一个公共点，相切；若0)与直线l：xy1相交于不同的两点A，B，求双曲线C的离心率e的取值范围1双曲线2x2y28的实轴长是()A2 B2C4 D42设双曲线1的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A4 B3C2 D13已知双曲线1(a0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于()A. B.C. D.4设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_5若双曲线的顶点在坐标轴上，两顶点的距离为8，离心率是，求双曲线的标准方程1渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程1(a0，b0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形答案精析问题导学知识点一xa或xaya或ya坐标轴原点坐标轴原点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)知识点二思考1将方程1(a0，b0)右边的“1”换成“0”，即由0得0，如图，作直线0，在双曲线1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫做双曲线的渐近线思考2双曲线1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e，则.当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大梳理离心率(1，)越开阔题型探究例1解将9y24x236变形为1，即1，所以a3，b2，c，因此顶点坐标为(3,0)，(3,0)；焦点坐标为(，0)，(，0)；实轴长是2a6，虚轴长是2b4；离心率e；渐近线方程为yxx.跟踪训练1解把方程9y216x2144化为标准方程1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)；离心率e；渐近线方程为yx.例2解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0)当0时，a24，2a26；当0)，则c210k，b2c2a2k.设所求双曲线方程为1或1.将(3,9)代入，得k161，与k0矛盾，无解；将(3,9)代入，得k9.故所求双曲线方程为1.(3)方法一双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.方法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.例3解(1)若焦点在x轴上，则，e ；若焦点在y轴上，则，即，e .综上可知，双曲线的离心率为或.(2)依题意，直线l：bxayab0.由原点到l的距离为c，得c，即abc2，16a2b23(a2b2)2，即3b410a2b23a40，3()21030.解得或3.又0a0，且3a20，得a且a.故当a或a或a0)中，得(1a2)x22a2x2a20.因为双曲线C与直线l相交于不同两点，所以解得0a且e.当堂训练1C2.A3.C4.yx5解由题设，当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)2a8，a4，由e，得c5，b2c2a2524