高中数学 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2_1 柯西不等式学案 新人教b版选修4-5

21柯西不等式读教材填要点1平面上的柯西不等式的代数和向量形式(1)定理1(柯西不等式的代数形式)设a1，a2，b1，b2均为实数，则(aa)(bb)(a1b1a2b2)2.上式等号成立a1b2a2b1.(2)定理2(柯西不等式的向量形式)设，为平面上的两个向量，则|上式中等号成立向量和共线(平行)存在实数0，使得.(3)定理3：设a1，a2，b1，b2为实数，则 等号成立存在非负实数及，使得a1b1，a2b2.(4)定理4(平面三角不等式)设a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则 .等号成立存在非负实数及使得：(a1b1)(b1c1)，(a2b2)(b2c2)(5)定理5：设，为平面向量，则|当，为非零向量时，上面不等式中等号成立存在正常数，使得()向量与同向，即夹角为零2柯西不等式的一般形式定理设a1，a2，an，b1，b2，bn为实数，则(aaa)(bbb)|a1b1a2b2anbn|，其中等号成立(当某bj0时，认为aj0，j1,2，n)小问题大思维1在平面上的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成吗？提示：不可以当a2b20时，柯西不等式成立，但不成立2在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成aibi(i1,2,3，n)，可以吗？提示：不可以，aibi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致3在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为aikbi(i1,2,3，n)，可以吗？提示：不可以若bi0而ai0，则k不存在利用平面上的柯西不等式证明有关不等式例1已知a，b，c为正数，且满足acos2bsin2 c，求证：cos2sin2 .思路点拨由柯西不等式直接证明即可精解详析由柯西不等式，得cos2sin2(cos )2(sin )2(cos2sin2)(acos2bsin2).cos sin2.思路点拨本题考查三维形式的柯西不等式的应用解答本题需要构造两组数据，；，然后利用柯西不等式解决精解详析构造两组数，；，则由柯西不等式得(abbcca)(111)2，即2(abc)9，于是.由柯西不等式知，中有等号成立abbccaabc.因题设，a，b，c不全相等，故中等号不成立，于是.柯西不等式的结构特征可以记为(a1a2an)(b1b2bn)()2，其中ai，bi均为正实数(i1,2，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键2设a，b，c为正数，求证：abc.证明：(abc)()2()2()22(abc)2，即(abc)(abc)2，又a，b，c为正实数，abc0.abc.利用柯西不等式求最值例3设2x3y5z29，求函数u 的最大值思路点拨本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号精解详析根据柯西不等式1203(2x1)(3y4)(5z6)(111)2，故2.当且仅当2x13y45z6，即x，y，z时等号成立，此时umax2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件3设x，y，zR，且满足：x2y2z21，x2y3z，则xyz_.解析：根据柯西不等式可得，(x2y2z2)(122232)(x2y3z)214，所以要取到等号，必须满足，结合x2y3z，可得xyz.答案：对应学生用书P30 一、选择题1若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围是()A2，2B2，2C， D(，解析：a2b210，(a2b2)(1212)(ab)2，即20(ab)2，2ab2.答案：A2已知x，yR，且xy1，则的最小值为()A4 B2C1 D解析：24，故选A.答案：A3已知4x25y21，则2xy的最大值是()A. B1C3 D9解析：2xy2x1y1.2xy的最大值为.答案：A4设a1，a2，an为实数，P，Q，则P与Q的大小关系为()APQ BPQCPQ D不确定解析：由柯西不等式知(aaa) a1a2an， a1a2an.即得 ，PQ.答案：B二、填空题5设a，b，c，d，m，n都是正实数，P，Q，则P与Q的大小_解析：由柯西不等式，得P Q.答案：PQ6(陕西高考)设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则 的最小值为_解析：由柯西不等式得(manb)2(m2n2)(a2b2)，即m2n25，当且仅当时等号成立，所求最小值为.答案：7函数y2cos x3的最大值为_解析：y2cos x32cos x3.当且仅当，即tan x时，函数有最大值.答案：8已知x，y，z均为正实数，且xyz1，则的最小值为_解析：利用柯西不等式由于(xyz)236，所以36.当且仅当x2y2z2，即x，y，z时，等号成立的最小值为36.答案：36三、解答题9已知实数a、b、c满足a2bc1，a2b2c21.求证：c1.证明：因为a2bc1，a2b2c21，所以a2b1c，a2b21c2.由柯西不等式得：(1222)(a2b2)(a2b)2，5(1c2)(1c)2，整理得，3c2c20，解得c1.c1.10已知x，y，zR，且x2y3z4，求x2y2z2的最小值解：由柯西不等式，得x(2)y(3)z212(2)2(3)2(x2y2z2)，即(x2y3z)214(x2y2z2)，即1614(x2y2z2)所以x2y2z2，当且仅当x，即当x，y，z时，x2y2z2的最小值为.11已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，求a的最值解：由柯西不等式，有(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2，由条件可得，5a2(3a)2，解