高中数学 第二章 参数方程 2_3_2-2_3_3 抛物线、双曲线的参数方程学案 新人教b版选修4-4

23.2 & 2.3.3抛物线、双曲线的参数方程 读教材填要点1抛物线的参数方程抛物线y22px的参数方程为.2双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线1的参数方程是，参数的取值范围为02且，.(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线1的参数方程是,02.小问题大思维1在双曲线的参数方程中，的几何意义是什么？提示：参数是点M所对应的圆的半径OA的旋转角(称为点M的离心角)，而不是OM的旋转角2如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置？提示：如果x对应的参数形式是asec ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是asec ，则焦点在y轴上3若抛物线的参数方程表示为则参数的几何意义是什么？提示：参数表示抛物线上除顶点外的任意一点M，以射线OM为终边的角抛物线参数方程的应用例1连接原点O和抛物线2yx2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线思路点拨本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用解答本题需要先求出抛物线的参数方程并表示出M，P的坐标，然后借助中点坐标公式求解精解详析设M(x，y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为由中点坐标公式得变形为y0x，即x24y.它表示的为抛物线在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，然后消去参数得普通方程这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标1已知曲线C的参数方程为0,2)，曲线D的极坐标方程为sin.(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；(2)曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由解：(1)由0,2)得x2y1，x1,1(2)由sin得曲线D的普通方程为xy20.由得x2x30.解得x1,1，故曲线C与曲线D无公共点.双曲线参数方程的应用例2在双曲线x2y21上求一点M，使M到直线yx的距离为.思路点拨本题考查双曲线的参数方程的应用解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出M点的坐标，建立方程求解精解详析设M的坐标为(sec ，tan )，由M到直线xy0的距离为，得.整理得|2，|1sin |2|cos |.平方得12sin sin24(1sin2)即5sin22sin 30，解得sin 1或sin .sin 1时，cos 0(舍去)sin 时，cos .M的坐标为或.参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理2如图， 设P为等轴双曲线x2y21上的一点，F1，F2是两个焦点，证明|PF1|PF2|OP|2.证明：P在双曲线x2y21上，设P(sec ，tan )F1(，0)，F2(，0)，|PF1|，|PF2|.|PF1|PF2|2sec21.|OP|2sec2tan22sec21，|PF1|PF2|OP|2.圆锥曲线的参数方程的综合应用例3如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离思路点拨本题考查椭圆及双曲线的参数方程解答本题需要先将双曲线化为普通方程并求得渐近线方程，然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即可精解详析1，右焦点为(5,0)，右顶点为(4,0)设椭圆1，a5，c4，b3.方程为1.设椭圆上一点P(5cos ，3sin )，双曲线一渐近线为3x4y0，点P到直线的距离d.dmax.对于同一个方程，确定的参数不同， 所表示的曲线就不同当题目条件中出现多个字母时，一定要注明什么是参数，什么是常量，这一点尤其重要3已知定点A(1,0)，F是曲线(02)的焦点，则|AF|_.解析：曲线(02)的普通方程为x22y，所以焦点F，又A(1,0)，所以|AF| .答案：一、选择题1下列在曲线(02)上的点是()A.B.C(2，) D(1，)解析：选B转化为普通方程：y21x(|y|)，把选项A，B，C，D代入验证得，选B.2下列双曲线中，与双曲线的离心率和渐近线都相同的是()A.1 B.1C.x21 D.x21解析：选B由xsec，得x23tan23又ytan ，x23y23，即y21.经验证可知，选项B合适3过点M(2,4)且与抛物线只有一个公共点的直线有()A0条 B1条C2条 D3条解析：选C由得y28x.点M(2,4)在抛物线上过点M(2,4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条4双曲线C：(为参数)的一个焦点为()A(3,0) B(4,0)C(5,0) D(0,5)解析：选C由得于是22sec2tan21，即双曲线方程为1，焦点F为(5,0)故选C.二、填空题5若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线上，则|PF|_.解析：抛物线为y24x，准线为x1，|PF|等于点P(3，m)到准线x1的距离，即为4.答案：46已知抛物线C：设O为坐标原点，点M在C上运动(点M与O不重合)，P(x，y)是线段OM的中点，则点P的轨迹的普通方程为_解析：抛物线的普通方程为y22x，设点P(x，y)，点M为(x1，y1)(x10)，则x12x，y12y.点M在抛物线上，且点M与O不重合，4y24xy2x(x0)答案：y2x(x0)7曲线与x轴交点的坐标是_解析：将曲线的参数方程化为普通方程：(x2)29(y1)，令y0，得x1或x5.答案：(1,0)，(5,0)8若曲线上异于原点的不同两点M1，M2所对应的参数分别是t1，t2，则弦M1M2所在直线的斜率是_解析：设M1(2pt1,2pt)，M2(2pt2,2pt)，kt1t2.答案：t1t2三、解答题9已知双曲线1(a0，b0)，A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，求证：|x0|.证明：设A，B坐标分别为(asec ，btan )，(asec ，btan )，则中点为M，(tan tan )，于是线段AB的中垂线方程为y(tan tan )x(sec sec )将P(x0,0)代入上式，得x0(sec sec )A，B是双曲线同支上的不同两点，|sec sec |2，|x0|.10过点A(1,0)的直线l与抛物线y28x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程解：设抛物线的参数方程为可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，则kMN.设MN的中点为P(x，y)，则kAP.由kMNkAP知t1t2.又故y216(tt2t1t2)16()4(x1)所求轨迹方程为y24(x1)11已知曲线C1：(0t2)，C2：(02)(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线x2y70的距离的最小值解：(1)C1：(x4)2(y3)21，C2：1.C1为圆心是(4,3)，半径是1的圆C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆(2)当t时，P