高中数学 第一章 常用逻辑用语 1_4 逻辑联结词“且”“或”“非”教学案 北师大版选修2-1

4 逻辑联结词“且”“或”“非” 用逻辑联结词构成新命题如图所示，有三种电路图问题1：甲图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合且q闭合问题2：乙图中，什么情况下灯亮？提示：开关p闭合或q闭合问题3：丙图中什么情况下灯不亮？提示：开关p不闭合用逻辑联结词“且”“或”“非”构成新命题(1)用逻辑联结词“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”(2)用逻辑联结词“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p或q”(3)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”.含逻辑联结词命题的真假在知识点一中的甲、乙、丙三种电路图中，若开关p，q的闭合与断开分别对应着命题p，q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p且q，p或q，非p的真与假问题1：什么情况下，p且q为真命题？提示：当p真，且q真时问题2：什么情况下，p或q为假命题？提示：当p假，且q假时问题3：什么情况下，綈p为真命题？提示：当p为假时含有逻辑联结词的命题的真假判断pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假1新命题“p且q”的真假概括为：同真为真，有假为假；2新命题“p或q”的真假概括为：同假为假，有真为真；3新命题綈p与命题p的真假相反 利用逻辑联结词构造新命题例1分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的命题(1)p：6是自然数；q：6是偶数(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直(3)p：3是9的约数；q：3是18的约数思路点拨先用逻辑联结词将两个简单命题连起来，再用数学语言综合叙述精解详析(1)p或q：6是自然数或是偶数p且q：6是自然数且是偶数綈p：6不是自然数(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直p且q：菱形的对角线相等且互相垂直綈p：菱形的对角线不相等(3)p或q：3是9的约数或是18的约数p且q：3是9的约数且是18的约数綈p：3不是9的约数一点通用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形1给出下列命题：2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；10的倍数一定是5的倍数；梯形不是矩形；方程x21的解是x1.其中使用逻辑联结词的命题有()A1个B2个C3个D4个解析：中使用逻辑联结词“且”；中没有使用逻辑联结词；中使用逻辑联结词“非”；中使用逻辑联结词“或”，共有3个命题使用逻辑联结词，故选C.答案：C2在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p或(綈q)”表示()A甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环B甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环C甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环D甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环解析：綈q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p或(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B.答案：B3分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题(1)p：是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x22x10有两个相等的实数根，q：方程x22x10两根的绝对值相等；(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角解：(1)“p或q”：是无理数或e不是无理数；“p且q”：是无理数且e不是无理数(2)“p或q”：方程x22x10有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p且q”：方程x22x10有两个相等的实数根且两根的绝对值相等(3)“p或q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p且q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角4判断下列命题的构成形式，若含有逻辑联结词“且”“或”“非”，请指出其中的p，q.(1)菱形的对角线互相垂直平分；(2)2是4和6的约数；(3)x1不是不等式x25x60的解解：(1)是“p且q”形式的命题其中p：菱形的对角线互相垂直q：菱形的对角线互相平分(2)是“p且q”形式的命题，其中p：2是4的约数；q：2是6的约数(3)是“綈p”形式的命题，其中p：x1是不等式x25x60的解含逻辑联结词的命题的真假判断例2指出下列命题中的“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假(1)p：3是13的约数，q：3是方程x24x30的解；(2)p：x211，q：34；(3)p：四边形的一组对边平行，q：四边形的一组对边相等；(4)p：11,2，q：11,2思路点拨要正确判断含有逻辑联结词的命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据p，q的真假判断命题的真假精解详析(1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真；(2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假；(3)因为p假q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真；(4)因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假一点通判断含逻辑联结词的命题真假的步骤：(1)确定命题的形式；(2)判断构成该命题的两个命题的真假；(3)根据“p或q”“p且q”“綈p”的真假性与命题p，q的真假性的关系作出判断5若綈p或q是假命题，则()Ap且q是假命题Bp或q是假命题Cp是假命题 D綈q是假命题解析：由于綈p或q是假命题，则綈p与q均是假命题，所以p是真命题，綈q是真命题，所以p且q是假命题，p或q是真命题，故选A.答案：A6设命题p：函数ycos的最小正周期为2；命题q：函数ytan x的图像关于直线x对称，则()Ap为真 B綈q为假Cp且q为真 Dp或q为假解析：函数ycos的最小正周期T，所以p为假命题；函数ytan x的图像不是轴对称图形，不存在对称轴，所以q为假命题，所以綈q为真，p且q为假，p或q为假，故选D.答案：D含逻辑联结词的命题真假的应用例3已知p：方程x2mx10有两个不等的负实根；q：方程4x24(m2)x10无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围思路点拨“p或q”为真，“p且q”为假，则p，q中必一真一假；可分p真q假，p假q真两种情况处理精解详析由题意知，p：方程x2mx10有两个不等的负实根，则p为真时，m2.q：方程4x24(m2)x10无实根，则q为真时，16(m2)2440，即1m3.若p真q假，则m3.若p假q真，则1m2.综上所述，m的取值范围是(1,23，)一点通根据p，q的真假求参数的取值范围时，要充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系，特别注意“p假”时，一般不从綈p为真求参数的取值范围，而利用补集的思想，求“p真”时参数的集合的补集7若命题“存在xR，使得x2(a1)x10成立”为假命题，则实数a的取值范围是_解析：该命题p的否定是綈p：“任意xR，x2(a1)x10”，即关于x的一元二次不等式x2(a1)x10的解集为R，由于命题p是假命题，所以綈p是真命题，所以(a1)240，解得1a3，所以实数a的取值范围是(1,3)答案：(1,3)8命题p：关于x的不等式x22ax40，对一切xR恒成立，命题q：指数函数f(x)(32a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围解：设g(x)x22ax4，由于关于x的不等式x22ax40对一切xR恒成立，所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点，故4a2160，2a2.函数f(x)(32a)x是增函数，则有32a1，即a1.又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假若p真q假，则1a2.若p假q真，则a2.综上可知，所求实数a的取值范围为(，21,2)1正确理解逻辑联结词是解题的关键日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是指两个中至少选一个2命题的否定只否定结论，否命题既否定条件又否定结论，要注意二者的区别 1已知命题p，q，若命题綈p是假命题，命题pq是真命题，则()Ap是真命题，q是真命题Bp是假命题，q是真命题Cp是真命题，q可能是真命题也可能是假命题Dp是假命题，q可能是真命题也可能是假命题解析：由于綈p是假命题，所以p是真命题，由于命题p或q一真则真，所以q可能是真命题也可能是假命题，故选C.答案：C2对命题p：11，命题q：1/，下列说法正确的是()Ap且q为假命题Bp或q为假命题C非p为真命题 D非q为假命题解析：由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D.答案：D3命题“若aA，则bB”的否定是()A若aA，则bB B若aA，则bBC若aA，则bB D若bA，则aB解析：命题的否定只否定其结论，为：若aA，则bB.故应选A.答案：A4已知命题p：若(x1)(x2)0，则x1且x2；命题q：存在实数x，使2x0.下列选项中为真命题的是()A綈p B綈p或qC綈q且p Dq解析：很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y2x，xR的值域是(0，)，所以q是假命题，所以綈q是真命题所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C.答案：C5分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：(1)命题“非空集AB中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是_的形式；(2)命题“非空集AB中的元素是A中的元素或B中的元素”是_的形式；(3)命题“非空集UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是_的形式解析：(1)命题可以写为“非空集AB中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p.答案：p且qp或q非p6已知p：函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是_解析：綈p：函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上不是减函数綈p为假，则p为真，即函数在(，4上为减函数，(a1)4，即a3，a的取值范围是(，3答案：(，37在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：(1)命题s：两次都击中飞机；(2)命题r：两次都没击中飞机；(3)命题t：恰有一次击中了飞机；(4)命题u：至少有一次击中了飞机解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p且q.(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为綈p且綈q.(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为 p且綈q，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p且q，所以命题t表示为( p且綈q)或(綈p且q)(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p或q.法二：綈u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是綈r，从而命题u表示为綈(綈p且綈q)法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p且綈q)或(綈p且q)或(p且q)8已知p：关于x的方程x2ax40有实根；q：关于x的函数y2x2ax4在3，)上是增函数若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围解：由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题可知p，q一真一假p为真命题时，a2160，a4或a4；q为真命题时，对称轴x3，a12.当p真q假时，得a12；当p假q真时，得4a4.综上所述，a的取值范围是(，12)(4,4)对应学生用书P14一、命题1命题：能够判断真假、用文字或符号表述的语句叫命题感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等都不是命题2四种命题：原命题与它的逆命题、否命题之间的真假关系是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)同真同假正是因为原命题与逆否命题的真值一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题二、充分条件与必要条件1关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定若“pq”，且“p/ q”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”；若“pq”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；若“p/ q”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”2利用集合关系判断充分必要条件：若AB，则xA是xB的充分不必要条件，xB是xA的必要不充分条件；若AB，则xA与xB互为充要条件；若AB且BA，则xA是xB的既不充分也不必要条件三、全称量词与存在量词1全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合中的每一个x验证命题成立；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可2特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只需在限定集合中找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题为假四、逻辑联结词1由“且”“或”“非”构成的新命题有三种形式：“p或q”“p且q”“非p”2含逻辑联结词的命题的真假判断：“p或q”中有真为真，其余为假；“p且q”中有假为假，其余为真3命题的否定与否命题的区别：否命题既否定条件又否定结论，其真假与原命题的真假无关；而命题的否定只否定结论，其真假与原命题的真假相反(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中是假命题的是()A等边三角形的三个内角均为60B若xy是有理数，则x，y都是有理数C集合A0,1的真子集有3个D若b1，则方程x22bxb2b0有实数根解析：对于A，由平面几何知识可知A是真命题；对于B，取x，y可知xy0是有理数，显然x，y都是无理数，故B是假命题；对于C，集合A0,1的所有真子集是，0，1，共有3个，故C是真命题；对于D，由b1知4b24(b2b)4b0，所以D是真命题，故选B.答案：B2设x，yR，则“x2且y2”是“x2y24”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：因为x2且y2x2y24易证，所以充分性满足，反之，不成立，如xy，满足x2y24，但不满足x2且y2，所以x2且y2是x2y24的充分而不必要条件答案：A3命题p：对任意xR，都有x22x2sin x成立，则命题p的否定是()A不存在xR，使x22x2sin x成立B存在xR，使x22x2sin x成立C存在xR，使x22x2sin x成立D对任意xR，都有x22x2sin x成立解析：全称命题的否定必为特称命题，因此否定全称命题时，要改全称量词为存在量词，同时还要否定结论，故选C.答案：C4命题“已知a，b都是实数，若ab0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是()A0 B1C2 D3解析：逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则ab0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则ab0”为真命题，故选C.答案：C5命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A若一个数是负数，则它的平方不是正数B若一个数的平方是正数，则它是负数C若一个数不是负数，则它的平方不是正数D若一个数的平方不是正数，则它不是负数解析：命题的逆命题即把原命题的条件、结论对换即为：若一个数的平方为正数，则这个数为负数答案：B6给出下列四个命题：若x23x20，则x1或x2；若2x3，则(x2)(x3)0；若xy2，则x2y22；若x，yN，xy是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数那么()A的逆命题为真 B的否命题为真C的逆否命题为假 D的逆命题为假解析：的逆命题为：若x1或x2，则x23x20为真，其余均错，故选A.答案：A7已知条件p：0和条件q：lg(x2)有意义，则綈p是q的()A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件解析：不等式0的解集为x|x2，则綈p：x2.命题q：x2，故綈p/ q，q綈p，故选C.答案：C8命题“对任意x1,2，都有x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是()Aa4Ba4Ca5 Da5解析：任意x1,2，1x24，要使x2a0为真，则ax2，即a4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.答案：C9已知命题p：任意xR，使x2x2”是“x23x20”的充分不必要条件，下列结论：命题“p且q”是真命题；命题“p或綈q”是假命题；命题“綈p或q”是真命题；命题“綈p或綈q”是假命题上述结论中，正确结论的序号是_解析：p真，q真，p且q真，p或綈q真，綈p或q真，綈p或綈q假答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)设集合Ax|x23x20，Bx|ax1“xB”是“xA”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合解：Ax|x23x20