[信息与通信]信号与系统教案第4章.ppt

第4-1页 第四章 连续系统的频域分析 4.1 周期信号的傅里叶级数 4.2 非周期信号的频谱傅里叶变换 4.3 傅里叶变换的性质 4.4 周期信号的傅里叶变换 4.5 LTI系统的频域分析 4.6 取样定理 第4-2页 4.1 周期信号的傅里叶级数 一、三角函数形式 第4-3页 例。已知信号表达式： 判断信号是否为周期的。若是，试求基波频率。 第4-4页 二、指数形式 第4-5页 4.1 傅里叶级数 三、波形的对称性与谐波特性 1 .f(t)为偶函数对称纵坐标 bn =0，展开为余弦级数。 2 .f(t)为奇函数对称于原点 an =0，展开为正弦级数。 第4-6页 4.1 傅里叶级数 3 .f(t)为奇谐函数f(t) = f(tT/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次 谐波分量，而不含偶次谐波分 量即 a0=a2=b2=b4=0 第4-7页 4.1 傅里叶级数 四、周期信号的功率Parseval等式 周期信号一般是功率信号，其平均功率为 第4-8页 例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，画 出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 第4-9页 五、周期信号频谱的特点 举例：有一幅度为1，脉冲宽 度为的周期矩形脉冲，其周 期为T，如图所示。求频谱。 第4-10页 , n = 0 ,1，2， Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。 零点为 所以，m为整数。 特点： (1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置 是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。 第4-11页 4.2 傅里叶变换 4.2 非周期信号的频谱傅里叶变换 一、傅里叶变换 傅里叶变换式 傅里叶反变换式 第4-12页 4.2 傅里叶变换 也可简记为 F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j) 或 f(t) F(j) F(j)一般是复函数，写为 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件: 用下列关系还可方便计算一些积分 第4-13页 4.2 傅里叶变换 二、常用函数的傅里叶变换 1. 单边指数函数f(t) = et(t)， 0实数 2. 双边指数函数f(t) = et , 0 第4-14页 4.2 傅里叶变换 3. 门函数(矩形脉冲) 4. 冲激函数(t)、(t) 第4-15页 4.2 傅里叶变换 5. 常数1 有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t) 等，但傅里叶变换却存在。 第4-16页 例。求f(t)的傅里叶变换。 第4-17页 4.3 傅里叶变换的性质 4.3 傅里叶变换的性质 一、线性 如果 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) 则a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 第4-18页 4.3 傅里叶变换的性质 例。 F(j) = ? 则: f (t) = f1(t) g2(t) f1(t) = 1 2() g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - 2Sa() - 第4-19页 4.3 傅里叶变换的性质 二、时移性质 如果 f (t) F(j) 例。 F(j) = ? 第4-20页 4.3 傅里叶变换的性质 三、对称性质 如果 f (t) F(j) 则F( jt ) 2f () 例 F(j) = ? * if F(j) = ? 第4-21页 4.3 傅里叶变换的性质 四、频移性质 如果 f (t) F(j) 则 例、 f(t) = ej3t F(j) = ? f(t) = cos0t F(j) = ? f(t) cos0t ? 第4-22页 4.3 傅里叶变换的性质 五、尺度变换性质 如果 f (t) F(j) 则 例 若 f (t)F( j), 求 f (at b) ? 例 f(t) = F(j) = ? 第4-23页 4.3 傅里叶变换的性质 六、卷积性质 若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) 则 f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j) 若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j) 则 f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j) 第4-24页 4.3 傅里叶变换的性质 例。 第4-25页 4.3 傅里叶变换的性质 七、时域的微分和积分 若 f (t) F(j) 则 Proof: f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(-1)(t)= (t)*f(t) 第4-26页 4.3 傅里叶变换的性质 f(t)= 1/t2 ? 例 例 求f (t) F (j) 第4-27页 4.3 傅里叶变换的性质 八、频域的微分和积分 若 f (t) F(j) 则 (jt)n f (t) F(n)(j) 例 f (t) = t(t) F (j)=? 例 第4-28页 九、帕斯瓦尔关系 4.3 傅里叶变换的性质 例 试求信号 的能量。 第4-29页 4.3 傅里叶变换的性质 十、奇偶性(Parity) 若 f(t) 为实函数, 则 = R() + jX() 则 R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = () 若f(t)为实偶 ,则 X() = 0, F(j) = R() 若f(t)为实奇 ,则 R() = 0, F(j) = jX() 第4-30页 4.4 周期信号的傅里叶变换 4.4 周期信号傅里叶变换 一、正、余弦的傅里叶变换 12() 由频移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 ) sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 ) 第4-31页 4.4 周期信号傅里叶变换 二、一般周期信号的傅里叶变换 例1：周期为T的单位冲激周期函数T(t)= 解： (1) 第4-32页 4.4 周期信号傅里叶变换 例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。 第4-33页 4.5 LTI系统的频域分析 4.5 LTI系统的频域分析 一、基本信号ej t作用于LTI系统的响应 y(t) = h(t)* ej t y(t) = H(j ) ej t H(j )反映了响应y(t)的幅度和相位。 第4-34页 4.5 LTI系统的频域分析 二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 ej tH(j ) ej t F(j ) ej t d F(j )H(j ) ej t d 齐次 性 可加 性 f(t) y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j ) 第4-35页 4.5 LTI系统的频域分析 频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变 换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即 H(j)称为幅频特性;()称为相频特性。 第4-36页 4.5 LTI系统的频域分析 对周期信号还可用傅里叶级数法。 周期信号 若 则可推导出 第4-37页 4.5 LTI系统的频域分析 例：某LTI系统的H(j)和()如图， 若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。 第4-38页 4.5 LTI系统的频域分析 三、频率响应H(j)的求法 1. H(j) = F h(t) 2. H(j) = Y(j)/F(j) (1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。 (2)由电路直接求出。 例1：某系统的微分方程为 y(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = e-t(t)时的响应y(t)。 解：微分方程两边取傅里叶变换 jY(j) + 2Y(j) = F(j) 第4-39页 4.5 LTI系统的频域分析 例2：如图电路，R=1，C=1F，以uC(t)为输出，求其 h(t)。解：画电路频域模型 第4-40页 4.5 LTI系统的频域分析 四、无失真传输与滤波 系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的 传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤 波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。 1、无失真传输 （1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与 输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不 同，而没有波形上的变化。即 输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t) = K f(ttd) 其频谱关系为 Y(j)=Ke jtdF(j) 第4-41页 4.5 LTI系统的频域分析 系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是 ： (a)对h(t)的要求： h(t)=K(t td) (b)对H(j)的要求： H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 即 H(j)=K ,()= td 上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽 的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、 相频特性满足以上条件即可。 (2)无失真传输条件： 第4-42页 4.5 LTI系统的频域分析 例：系统的幅频特性 |H(j)|和相频特性如图 (a)(b)所示，则下列信 号通过该系统时，不 产生失真的是 (A) f(t) = cos(t) + cos(8t) (B) f(t) = sin(2t) + sin(4t) (C) f(t) = sin(2t) sin(4t) (D) f(t) = cos2(4t) 第4-43页 4.5 LTI系统的频域分析 2、理想低通滤波器 具有如图所示幅频、相频特性 的系统称为理想低通滤波器。 c称为截止角频率。 理想低通滤波器的频率响应 可写为： (1)冲激响应 h(t)= -1g 2 c()e-jtd = 可见，它实际上是不可实现的非因果系统。 第4-44页 4.5 LTI系统的频域分析 3、物理可实现系统的条件 就时域特性而言，一个物理可实现的系统，其冲激 响应在t2fm ，或者说，取样间隔不能太大，必须