高中数学 第三章 统计案例 3_2 回归分析学案 苏教版选修2-3

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线3.2回归分析1会作出两个有关联变量的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系2了解线性回归模型，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(重点、难点)3了解回归分析的基本思想、方法及简单应用基础初探教材整理1线性回归模型阅读教材P100P103“例1”以上部分，完成下列问题1线性回归模型的概念：将yabx称为线性回归模型，其中abx是确定性函数，称为随机误差2线性回归方程：直线x称为线性回归方程，其中称为回归截距，称为回归系数，称为回归值，其中其中xi，yi.设某大学生的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为0.85x85.71，则下列结论中正确的是_(填序号)(1)y与x具有正的线性相关关系；(2)回归直线过样本点的中心(，)；(3)若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；(4)若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg.【解析】回归方程中x的系数为0.850，因此y与x具有正的线性相关关系，(1)正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(，)，B正确；回归方程0.85x85.71，该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg，(3)正确；(4)不正确【答案】(1)(2)(3)教材整理2相关关系阅读教材P104P105“例2”以上部分，完成下列问题1相关系数是精确刻画线性相关关系的量2相关系数r.3相关系数r具有的性质：(1)|r|1；(2)|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强；(3)|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱4相关性检验的步骤：(1)提出统计假设H0：变量x，y不具有线性相关关系；(2)如果以95%的把握作出推断，那么可以根据10.950.05与n2在附录2中查出一个r的临界值r0.05(其中10.950.05称为检验水平)；(3)计算样本相关系数r；(4)作出统计推断：若|r|r0.05，则否定H0，表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；若|r|r0.05，则没有理由拒绝原来的假设H0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性相关关系判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)求回归直线方程前必须进行相关性检验()(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强()(3)若相关系数r0，则两变量x，y之间没有关系()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型回归分析的有关概念(1)有下列说法：线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；通过回归方程x，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验其中正确的命题是_(填序号)(2)如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程xe(单位：亿元)，其中0.8，2，|e|0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，则今年支出预计不会超过_亿【自主解答】(1)反映的正是最小二乘法思想，故正确反映的是画散点图的作用，也正确解释的是回归方程x的作用，故也正确在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系，故不正确(2)由题意可得：0.8x2e，当x10时，0.8102e10e，又|e|0.5，9.510.5.故今年支出预计不会超过10.5亿【答案】(1)(2)10.51在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程2由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值3随机误差的主要来源(1)线性回归模型与真实情况引起的误差；(2)省略了一些因素的影响产生的误差；(3)观测与计算产生的误差再练一题1下列有关线性回归的说法，不正确的是_(填序号). 【导学号：29440068】自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图；线性回归方程最能代表观测值x，y之间的关系；任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程【解析】只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的回归直线方程【答案】求线性回归方程某班5名学生的数学和物理成绩如下表：学生学科成绩ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩【精彩点拨】先画散点图，分析物理与数学成绩是否有线性相关关系，若相关，再利用线性回归模型求解【自主解答】(1)散点图如图所示(2)由散点图可知y与x之间具有线性相关关系因为(8876736663)73.2，(7865716461)67.8，xiyi8878766573716664636125 054，x88276273266263227 174.所以0.625，67.80.62573.222.05.所以y对x的回归直线方程是0.625x22.05.(3)当x96时，0.6259622.0582，即可以预测他的物理成绩是82.1求线性回归方程的基本步骤：2需特别注意的是，只有在散点图大致呈直线时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义再练一题2某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场调查中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下关系：x35404550y56412811(1)y与x是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程(方程的回归系数保留一位有效数字)(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润【解】(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关设回归直线为x，由题知42.5，34，则求得3，34(3)42.5161.5，3x161.5.(2)依题意有P(3x161.5)(x30)3x2251.5x4 845324 845.当x42时，P有最大值，约为426，即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润探究共研型线性回归分析探究1作散点图的目的是什么？【提示】直观分析数据是否存在线性相关关系探究2下表显示出变量y随变量x变化的一组数据，由此判断表示y与x之间的关系最可能的是_(填序号)x45678910y14181920232528线性函数模型；二次函数模型；指数函数模型；对数函数模型【提示】画出散点图(图略)，可以得到这些样本点在一条直线附近，故最可能是线性函数模型故填10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：x74717268767367706574y76757170767965776272其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩(1)y与x是否具有相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程【精彩点拨】可先计算线性相关系数r的值，然后与r0.05比较，进而对x与y的相关性做出判断【自主解答】(1)由已知表格中的数据，求得71，72.3，r0.78.由检验水平0.05及n28，在课本附录2中查得r0.050.632，因为0.780.632，所以y与x之间具有很强的线性相关关系(2)y与x具有线性相关关系，设回归直线方程为x，则有1.22，72.31.227114.32.所以y关于x的回归直线方程为1.22x14.32.1线性回归分析必须进行相关性检验；若忽略，则所求回归方程没有实际意义2|r|越接近于1，两变量相关性越强，|r|越接近于0，两变量相关性越弱再练一题3关于两个变量x和y的7组数据如下表所示：x21232527293235y711212466115325试判断x与y之间是否有线性相关关系【解】(21232527293235)27.4，(711212466115325)81.3，x2122322522722923223525 414，xiyi2172311252127242966321153532518 542，y7211221224266211523252124 393，r0.837 5.0.837 50.755，x与y之间具有线性相关关系构建体系1设(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点得到的线性回归直线(如图321)，以下结论正确的序号是_图321直线l过点(，)；x和y的相关系数为直线l的斜率；x和y相关系数在0到1之间；当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同【解析】因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关程度越强，所以错误；中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可能不相同，所以错误；根据回归直线方程一定经过样本中心点可知正确【答案】2根据如下样本数据：x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回归方程为bx，则下列说法正确的是_(填序号)a0，b0；a0，b0；a0；a0，b0.【解析】由表中数据画出散点图，如图，由散点图可知b0，故正确【答案】3设有一个回归方程为22.5x，则变量x每增加一个单位时，y_. 【导学号：29440069】【解析】由回归系数的意义可知当变量x增加一个单位时，的平均改变量为，由题目回归方程22.5x，可得当变量x增加一个单位时，平均减少2.5个单位【答案】平均减少2.5个单位4对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为_【解析】由题意知2，3，6.5，所以36.5210，即回归直线的方程为106.5x.【答案】106.5x5某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程x，其中20，；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润销售收入成本)【解】(1)(88.28.48.68.89)8.5，(908483807568)80.20，80208.5250，回归直线方程为20x250.(2)设工厂获得的利润为L元，则Lx(20x250)4(20x250)202361.25，该产品的单价应定为元时，工厂获得的利润最大我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1如图322所示，对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i1,2，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i1,2，10)，得散点图(2)由这两个散点图可以判断_图322变量x与y正相关，u与v正相关；变量x与y正相关，u与v负相关；变量x与y负相关，u与v正相关；变量x与y负相关，u与v负相关【解析】由图(1)知，x与y是负相关，由图(2)知，u与v是正相关，故正确【答案】2已知对一组观测值(xi，yi)(i1,2，n)作出散点图后，确定具有线性相关关系，若对于x，求得0.51，61.75，38.14，则线性回归方程为_【解析】38.140.5161.756.647 56.65.0.51x6.65.【答案】0.51x6.653某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程x中的为9.4，据此模型，预报广告费用为6万元时销售额为_万元【解析】样本中心点是(3.5,42)，则429.43.59.1，所以回归直线方程是9.4x9.1，把x6代入得65.5.【答案】65.54对两个具有线性相关关系的变量进行回归分析时，得到一个回归方程1.5x45，x1,5,7,13,14，则_.【解析】由8，得1.584557.【答案】575已知x，y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7画出散点图，从所得的散点图分析，y与x线性相关，且0.95x，则_. 【导学号：29440070】【解析】因为回归方程必过样本点的中心(，)，解得2，4.5，将(2,4.5)代入0.95x，可得2.6.【答案】2.66一轮又一轮的寒潮席卷全国某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x()之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：月平均气温x/171382月销售量y/件24334055由表中数据算出线性回归方程x中的2.气象部门预测下个月的平均气温约为6 ，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为_【解析】样本点的中心为(10,38)，38210.58，即2x58.当x6时，y46.【答案】467对具有线性相关关系的变量x，y有观测数据(xi，yi)(i1,2，10)，它们之间的线性回归方程是y3x20，若i18，则i_.【解析】由于i18，则1.8，(，)在回归方程上，31.82025.4，i10254.【答案】2548已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是_【解析】由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得51.23(x4)，即1.23x0.08.【答案】1.23x0.08二、解答题9对于数据组：x1234y1.94.16.17.9(1)作散点图，你能直观上得到什么结论；(2)求线性回归方程【解】(1)作图略x，y具有很好的线性相关性(2)设x，因为2.5，5，xiyi60，x30，故2，522.50，故所求的回归直线方程为2x.10下表为某地近几年机动车辆数与交通事故的统计资料，求出y关于x的线性回归方程.机动车辆数x/千台95110112120129135150180交通事故数y/千件6.27.57.78.58.79.810.213【解】xi1 031，yi71.6，x137 835，xiyi9 611.7，128.875，8.95，将它们代入计算得0.077 4.1.025，所以，所求线性回归方程为0.077 4x1.025.能力提升1对具有线性相关关系的变量x，y有观测数据(xi，yi)(i1,2，10)，它们之间的线性回归方程是3x20，若xi18，则yi_.【解析】由xi18，得1.8.因为点(，)在直线3x20上，则25.4.所以yi25.410254.【答案】2542(2016徐州月考)已知对一组观测值(xi，yi)(i1,2，n)作出散点图后，确定具有线性相关关系，若对于x，求得0.51