清华大学理论力学课件--点的运动学.ppt

第一篇第一篇 运动学运动学 第第1 1章章 点的运动学点的运动学 第第1 1篇篇 运动学运动学 p运动学的任务 p描述物体的机械运动，包括研究描述运动的方式 ，确定速度、加速度和其它运动学量的方法。 p不考虑运动产生和变化的原因，仅从几何的观点 分析物体如何运动，确立描述运动的方法。 p参考物：运动情况已知的物体 p参考系：与参考物固连的整个空间 pp地球参考系：地球参考系：与地球固连的抽象的三维空间 pp地心参考系：地心参考系：原点位于地心，坐标轴指向恒星 *2 第第1 1篇篇 运动学运动学 p参考系与坐标系是两个不同的概念 p例如滑块沿斜面运动，选地球参考系,可以建 立两种坐标系 3* 第第1 1节节 矢量描述法矢量描述法 4* 运动方程 位 移 矢量端图 O P P 速 度 加速度 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 5 * y z P (x, y, z) o x 运动方程 速 度 加速度 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 6* 例1 设梯子的两个端点A和B分 别沿着墙和地面滑动，它和地 面夹角 是时间的已知函数， 求梯子上M点的运动轨迹、速 度和加速度。 A M a b B 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 解： 7* 取如图所示的直角坐标系，则M点的坐标为 由此得M点的轨迹方程为 y O A B M a x b 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 8* M点的速度为 M点的加速度为 y O A B M a x b 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 9* 当 a = b = l 时时，M点的速度： M点的速度垂直于其矢径！ y O A B M l x l p讨论 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 10* 当 a = b = l 且 时时，M点的加速度： 加速度指向O点匀速圆圆周运动动 y O A B M l x l 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 11* 例2 半径为为R的轮轮子沿直线轨线轨 道纯滚动纯滚动 (无滑动动地 滚动滚动 )。设轮设轮 子保持在同一竖竖直平面内运动动，且 轮轮心的速度和加速度分别为别为 u和aO，试试求轮轮子边边 缘缘点M的运动轨动轨 迹、速度、加速度。 MM R O 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 12* 解：取坐标标系Axy如图图所示，设设M点所在的一个最低 位置为为原点A，则则当轮轮子转过转过 一个角度后，M点坐标标 为为 这这是旋轮线轮线 的参数方程。 O R C A x y 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 13* 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 14* M点的速度为为： O R C A x y M点的加速度为为 ： 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 p接触点速度讨论 15* M点在该该瞬时时速度为为零！ 当M点位于最高点时时，即 当M点与地面接触时时，即 为为什么 ？ 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 16* M点的速度始终终垂直于CM O R C A x y 速度的大小： p任意边缘点速度讨论 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 17* 当M点与地面接触时时 为为什么a向上？ p接触点加速度讨论 18* O R C A x y p如何求出 和 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 19* 例3 绳绳的一端连连在小车车的A点上另一端跨过过B点的小 滑车绕车绕 在鼓轮轮C上，滑车车离地的高度为为h。若小车车以 匀速度v沿着水平方向向右运动动，求当 时时BC 之间绳间绳 上一点P的速度和加速度。 h P CA B 第第2 2节节 直角坐标描述法直角坐标描述法 20* 几何关系： 对时间对时间 求导导 h P CA B l 第第3 3节节 自然坐标描述法自然坐标描述法 21* 如果点沿着已知的轨轨迹运动动，运动动方程可用点在 已知轨轨迹上所走过过的弧长长随时间变时间变 化的规规律描述 。 运动动方程： 第第3 3节节 自然坐标描述法自然坐标描述法 p速度 22* P P o 第第3 3节节 自然坐标描述法自然坐标描述法 p加速度 23* 切向加速度 法向加速度 大小？ 方向？ 第第3 3节节 自然坐标描述法自然坐标描述法 24 * P P o 返回 曲线线上P点的曲率 第第3 3节节 自然坐标描述法自然坐标描述法 25* n就是曲线线在P点的法向单单位向量。 P P 与垂直，其单单位向量用n表示。 返回 第第3 3节节 自然坐标描述法自然坐标描述法 26* 例4 设设有一点M的轨轨迹是平面曲线线，M点的向径为为r ，速度为为v。直线线OA垂直于过过M点的切线线，并且与切 线线交于A点。试试求A点速度的大小速度的大小。 第第3 3节节 自然坐标描述法自然坐标描述法 27* 第第4 4节节 极坐标描述法极坐标描述法 28* 点P沿着平面曲平面曲线线线线运动动，其在任意时时刻的位置可以用 极坐标标表示为为： P点的矢径: o P 径向单单位矢量 横向单单位矢量 由矢量对时间对时间 的导导数的物理意义义可得： 第第4 4节节 极坐标描述法极坐标描述法 29* P点的速度为为 径向速度 横向速度 o P v的方向？ 第第4 4节节 极坐标描述法极坐标描述法 30* P点的加速度为为 请请注意径向和法向、横向和切向之 间间的差别别！ 径向加速度a横向加速度a O P 第第4 4节节 极坐标描述法极坐标描述法 例5 行星沿着椭圆形轨道绕太阳运动，椭圆方程为 在行星运动过程中，从太阳到行星的矢径扫过的面 积与时间成正比，或者说面积速度始终保持是常数 即 求行星的加速度。 31* 第第4 4节节 极坐标描述法极坐标描述法 32* 行星的加速度始终终指向太阳！ 第第5 5节节 曲线坐标描述法曲线坐标描述法 33* 空间一点可以由三个独立变量 (称为曲线坐标)来描述，该点的矢径写成为 则该点的速度用曲线坐标表示为 34* 第第5 5节节 曲线坐标描述法曲线坐标描述法 其中 容易证明：如果相互垂直，则点加速度为 同理，点加速度也可以用曲线坐标写出来。 则 若令 35* 第第5 5节节 曲线坐标描述法曲线坐标描述法 径向、横向和 z方向速度为 由此得 于是径向、横向和 z方向加速度为 解：令则有 例6 试求柱坐标形式的速度和加速度公式 。 追击问题追击问题 36* 假设设追击击者只知道目标现标现 在的位置，不能预预知目 标标将来的位置，因此追击击者的速度方向总总是指向目 标现标现 在的位置，例如狗追兔子、导弹导弹 打飞飞机等。 B A 目 标标 追击击者 追击问题追击问题 37* 由假设设知 又由 可得追击问题击问题 的 相对对运动动微分方程： 当 时时，目标标被击击中或捕获获。 通常追击击者速率是已知的， 如果目标标的速度或轨轨迹 也是已知函数，则则求解上面微分方程可得相对对运动动 轨轨迹。 o A 目标标 追击击者 B 追击问题追击问题 38* 例7 设设靶机以水平速度 u飞飞行，飞飞行高度为为h， 地对对空导弹导弹 从O点发发射，其飞飞行速率为为常数v， 试试求相对飞对飞 行轨轨迹。 h u v O 追击问题追击问题