2015年高考北京理科数学试题及答案解析.docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）【2015年北京，理1】复数（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故选A（2）【2015年北京，理2】若，满足则的最大值为（ ）（A）0 （B）1 （C） （D）【答案】D【解析】如图，当 ，故选D（3）【2015年北京，理3】执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】，结束，输出，故选B（4）【2015年北京，理4】设，是两个不同的平面，是直线且“”是“”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】不能推出，而，“”是“”的必要不充分条件，故选B（5）【2015年北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）（A） （B） （C） （D）5【答案】C【解析】由三视图知，面ABC，,，故选C（6）【2015年北京，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则【答案】C【解析】，所以，故选C（7）【2015年北京，理7】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由题可知：，当时，时，单调递减，单调递增，当时，的解集为，故选C（8）【2015年北京，理8】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）（A）消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 （B）以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 （C）甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 （D）某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】由图可知，对乙车存在一个速度，使燃油效率高于5，A错；由图知，当以的速度行驶时，甲车燃油效率最高，行驶相同路程时，耗油最少，B错；甲车以行驶1小时耗油8升，故C错在限速，相同情况下，丙车燃油效率较乙车高，所以乙车更省油，故选D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。（9）【2015年北京，理9】在的展开式中，的系数为 （用数字作答）【答案】40【解析】，当时，系数为（10）【2015年北京，理10】已知双曲线的一条渐近线为，则 【答案】【解析】令，所以（11）【2015年北京，理11】在极坐标系中，点到直线的距离为_【答案】1【解析】直线方程为，点为，所以点到直线方程的距离为（12）【2015年北京，理12】在中，则 【答案】1【解析】（13）【2015年北京，理13】在中，点，满足，若，则 ；_【答案】，【解析】，所以（14）【2015年北京，理14】设函数若，则的最小值为；若恰有2个零点，则实数的取值范围是【答案】；【解析】当时，时，时，所以；（）当时，没有两个零点， （）当时，时，有一个零点；时，；当，即时，恰有两个零点，所以当时，恰有两个零点； （）当时，时，有一个零点；时，有两个零点，此时有三个零点；（）当时，时，无零点；时，有两个零点，此时有两个零点综上所述 三、解答题：共6题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（15）【2015年北京，理15】（本小题满分13分）已知函数（）求的最小正周期；（）求在区间上的最小值解：（），周期 （）最小值为（16）【2015年北京，理16】（本小题满分13分），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，15，16组：12，13，15，16，17，14，假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙（）求甲的康复时间不少于14天的概率；（）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（）当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）解：（）记甲康复时间不小于14天为事件则，所以甲康复时间不小于14天的概率为（）记甲的康复时间比乙的康复时间长为事件基本事件空间如下表乙 甲1011121314151612短短短长长长长13短短短短长长长14短短短短短长长15短短短短短短长16短短短短短短短17短短短短短短短25短短短短短短短所以（）或由于组为公差为1的等差数列，所以当或时组也为公差为1的等差数列，所以方差一定相等，而方差相等的方程是关于的一个一元二次方程，故最多有两个解，所以只有或两个值（17）【2015年北京，理17】（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点（）求证：；（）求二面角的余弦值；（）若平面，求的值解：（）证明：为等边三角形，为中点，又平面平面，平面平面，平面，。（）以为原点建立如图坐标系，平面的法向量；设平面的法向量，则，取，又二面角为钝角，二面角的余弦值为（）平面，解得（舍）或（18）【2015年北京，理18】（本小题满分13分）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：当时，；（）设实数使得对恒成立，求的最大值解：（）， 又，所以，切线方程为，即（），又因为，所以，所以在上是增函数，又，故，所以（），设 ，函数是单调递增，显然成立。当时，令，得，+极值，显然不成立，由此可知最大值为2（19）【2015年北京，理19】（本小题满分14分）已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由解：（）由题意知，又，解得，所以的方程为的斜率，所以方程，令，解得，所以（），同（）可得，因为所以，设则即，又在椭圆上，所以，即，所以，故存在使得（20）【2015年北京，理20】（本题满分13分）已知数列满足：，且，记集合（）若，写出集合的所有元素；（）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（）求集合的元素个数的最大值解：（）6，12，24（）若存在是的倍数，设， 当时，也是的倍数； 当时，也是的倍数 综上，是的倍数，依次类推，当时，是的倍数；若存在是的倍数，设，当时，因为，所以也是的倍数； 当时，因为，所以也是的倍数； 综上，