高考数学大一轮复习第十四章14_2不等式选讲第2课时不等式的证明试题理北师大版

一岗双责落实还不到位。受事务性工作影响，对分管单位一岗双责常常落实在安排部署上、口头要求上，实际督导、检查的少，指导、推进、检查还不到位。第2课时不等式的证明1不等式证明的方法(1)比较法：求差比较法：知道abab0，ababb，只要证明ab0即可，这种方法称为求差比较法求商比较法：由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为求商比较法(2)分析法：从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法这种证明不等式的方法称为综合法(4)放缩法和反证法：在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法反证法是常用的证明方法它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立其证明的步骤是：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论(5)数学归纳法：数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题证明需要经过两个步骤：验证当n取第一个值n0(如n01或2等)时命题正确假设当nk时(kN，kn0)命题正确，证明当nk1时命题也正确在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确2几个常用基本不等式(1)柯西不等式：柯西不等式的代数形式：对任意实数a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当向量(a，d)与向量(c，d)共线时，等号成立)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立设a1，a2，an与b1，b2，bn是两组实数，则有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当向量(a1，a2，an)与向量(b1，b2，bn)共线时，等号成立(2)算术几何平均不等式若a1，a2，an为正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立1设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，求的最小值解根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值为.2若a，b，c(0，)，且abc1，求的最大值解()2(111)2(121212)(abc)3.当且仅当abc时，等号成立()23.故的最大值为.3设x0，y0，若不等式0恒成立，求实数的最小值解x0，y0，原不等式可化为()(xy)2.2224，当且仅当xy时等号成立min4，即4，4.题型一用综合法与分析法证明不等式例1(1)已知x，y均为正数，且xy，求证：2x2y3；(2)设a，b，c0且abbcca1，求证：abc.证明(1)因为x0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)3 3，所以2x2y3.(2)因为a，b，c0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立所以原不等式成立思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.题型二放缩法证明不等式例2若a，bR，求证：.证明当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由0|ab|a|b|，所以.思维升华(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有：变换分式的分子和分母，如，.上面不等式中kN，k1；利用函数的单调性；真分数性质“若0a0，则”(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度设n是正整数，求证：n(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，0，当取得最小值时，求a的值解由于ab2，所以，由于b0，|a|0，所以21，因此当a0时，的最小值是1；当a0，所以abc(当且仅当时取等号)6已知a，b，cR，且2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值解由柯西不等式得(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2，当且仅当c3时等号成立，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是.7(2015湖南)设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b2不可能同时成立证明由ab，a0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a2及a0得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立8(2016全国甲卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.(1)解f(x)当x时，由f(x)2得2x1，所以，1x；当x时，f(x)2；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1，所以x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，即(ab)2(1ab)2，因此|ab|1ab|.9(1)关于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，求a的取值范围；(2)设x，y，zR，且1，求xyz的取值范围解(1)|x3|x4|(x3)(x4)|1，且|x3|x4|1，即a的取值范围是(1，)(2)由柯西不等式，得42()222()2()2()2(42)2(xyz)2，即251(xyz)2.5|xyz|，5xyz5.xyz的取值范围是5,510已知a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)(1)求的最小值；(2)求证：(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.(1)解因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以33336，当且仅当且ab，即ab且x1x21时，有最小值6.(2)证明方法一由a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，及柯西不等式可得(ax1bx2)(ax2bx1)()2()2()2)2()2(ab)2x1x2，当且仅当，即x1x2时取得等号所以(ax1bx2)(ax2bx1)x1x2.方法二因为a，b(0，)，ab1，x1，x2(0，)，所以(ax1bx2)(ax2bx1)a2x1x2abxabxb2x1x2x1x2(a2b2)ab(xx)x1x2(a2b2)ab(2x1x2)x1