中考数学一轮复习 第四章 几何初步 第4节 等腰三角形试题

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺第四节 等腰三角形课标呈现 指引方向1了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。2探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60的等腰三角形）是等边三角形。3探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。4理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。考点梳理 夯实基础1等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两底角 ，简称为“等边对 ” 【答案】相等 等角（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高线 ； 【答案】三线合一（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 【答案】底边的垂直平分线2等腰三角形的判定（1）有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有 相等，那么这个三角形是等腰三角形，简称为“等角对 ” 【答案】两角 等边3等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都 ，且都等于 【答案】相等 60 （2）等边三角形的每条边上都有 ； 【答案】三线合一（3）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有 条 【答案】34等边三角形的判定（1） 相等的三角形是等边三角形； 【答案】三边（2）有两个角是 的三角形是等边三角形； 【答案】60（3）有一个角为 的等腰三角形是等边三角形 【答案】605角平分线的性质和判定（1）性质：角平分线上的点到角两边的 【答案】距离相等（2）判定：到角两边距离相等的点在这个角的 【答案】角平分线上6线段的垂直平分线的性质和判定定理（1）性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离 【答案】相等（2）判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上考点精析 专项突破考点一 等腰三角形的性质和判定【例1】（1）（2016泰安）如图，在PAB中，PAPB，M、N、K分别是边PA、PB、AB上的点，且AMBK，BNAK，若MKN44，则P的度数为（ ） A44 B66 C88 D92【答案】D解题点拨：通过题中所给的条件AMBK，BNAK，以及由PAPB，可证AB所以AKMBNK，得到对应角相等，再利用外角等于不相邻的两个内角和，便可求出A与MKN相等，最后由三角形的内角和求出P的度数（2）（2015巴中）如图，在ABC中，AB5，AC3，AD、AE分别为ABC的中线和角平分线，过点C作CHAE于点H，并延长交AB于点F，连接DH，则线段DH的长为 【答案】1解题点拨：由全等三角形的知识可证得AFC是等腰三角形，所以H为FC中点，再由已知条件可得DH为CBF的中位线，利用中位线的性质即可求出线段DH的长考点二 等边三角形的性质与判定【例2】如图，D是等边ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CEDA，连接DE交AC于F，过D点作DGAC于G点（1）证明：AGAD;（2）证明：GFFCAG解题点拨：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质全等三角形是证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件解：（1）证明：ABC是等边三角形，A60，DGAC，AGD90，ADG30，AGAD；（2）过点D作DHBC交AC于点H，ADHB，AHDACB，FDHE，ABC是等边三角形，BACBA60，AADHAHD60，ADH是等边三角形，DHAD，ADCEDHCE在DHF和ECF中， ，DHFECF（AAS），HFFC，又AGGHGFGHHFAGFC课堂训练 当堂检测1（2016安顺）已知实数x、y满足，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A20或16 B20 C16 D以上答案均不对【答案】B2（2016武汉）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)若在坐标轴上取点C，使ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）A5B6C7D8【答案】A3（2016达州）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ，连接BQ若PA6，PB8，PC10，则四边形APBQ的面积为【答案】2494（2016菏泽）如图，ACB 和DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE （1）如图1，若CABCBACDECED50， 求证：ADBE； 求AEB的度数（2）如图2，若ACBDCE120，CM为DCE中DE边上的高，BN为ABE中AE边上的高，试证明：AE2CMBNA B C D E 图1 A B C D M E N 图2 解：（1）证明：ACB 和DCE均为等腰三角形，ACBC，CDCE CABCBACDECED，ACBDCE，ACDBCE，ACDBCE(SAS)，ADBE解：由得ACDBCE，CADCBE在ABE中，AEB180EABABE180EABABCCBE180EABABCCAD180CABABC180505080（2）证明：在等腰DCE中，CDCE，DCE120，CMDE，DCMDCE60，DMEM在RtCDM中，DMCMtanDCM CMtan60CM，DE2CM由（1）中，得AEB180CABABC180(180120)120，BEN60在RtBEN中，sinBEN，BEBNsin60BN由（1）中知ADBE，ADBNAEDEAD2CMBN，即AE2CMBN中考达标 模拟自测A组 基础训练一、选择题1（2016荆门）)如图，ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，已知AB5，AD3，则BC的长为( )A5 B6 C8 D10 DCBA第1题图【答案】C2（2016黄石）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，A50，则BDC（）A50B100C120D130【答案】B3（2016荆门）已知3是关于x的方程x2(m1)x2m0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC的两条边长，则ABC的周长为( )A7 B10 C11 D10或11【答案】D4（2016扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB4，BC6将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是 ( ) A6 B3 C2.5 D2【答案】C二、填空题5（2016资阳）如图，在33的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是【答案】6（2016乐山）如图，在等腰ABC中，ABAC，DE垂直平分AB，已知ADE40，则DBC 【答案】157（2015南通）如图，ABC中，D是BC上一点，ACADDB，BAC102，则ADC 【答案】52三、解答题8（2016贺州）如图，在ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，求AOB的度数 解：如图：AC与BD交于点HACD，BCE都是等边三角形，CDCA，CBCE，ACDBCE60，DCBACE，在DCB和ACE中，DCBACE，CAECDB，DCHCHDBDC180，AOHAHOCAE180，DHCOHA，AOHDCH60，AOB180AOH1209如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F，求证：BECF解：（1）连接DB、DC，DGBC且平分BC，DBDCAD为BAC的平分线，DEAB，DFAC，DEDFAEDBEDACDDCF90在RtDBE和RtDCF中， RtDBERtDCF（HL），BECFB组 提高练习10（2016内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（ ）A B C D不能确定【答案】B【提示】解：如图，过点A作AGBC于G，连接PA，PB，PC，ABC是等边三角形，ABC60， BCACABAGABsin603SABCBCPDACPEABPFBCAGPDPEPFAG，11（2016江西）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB8，AD7，E为AB上一点，AE5，现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是【答案】5或4或5解：如图所示：当APAE5时，BAD90，AEP是等腰直角三角形，底边PEAE5；当PEAE5时，BEABAE853，B90，PB，底边AP；当PAPE时，底边AE5；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5或4或5；12（2016沈阳）在ABC中，AB6，ACBC5，将ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到ADE，旋转角为，点B的对应点为D，点C的对应点为E，连接BD，BE（1）如图，当时，延长BE交AD于点F求证：ABD是等边三角形；求证：BFAD，AFDF；请直接写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当DAGACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BECE的值温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答 解：（1）证明：ABC绕点A顺时针方向旋转60得到ADEABAD，BAD60ABD是等边三角形证明：由得ABD是等边三角形ABBDABC绕点A顺时针方向旋转60得到ADEACAE，BCDE又ACBCEAED点B，E在AD的中垂线上BE是AD的中垂线点F在BE的延长线上BFAD，AFDF由知BFAD，AFDFAFDF3，AEAC5，EF4，在等边