中考数学第二部分题型研究题型八二次函数综合题针对演练

我们在这里，召开私营企业家联谊会，借此机会，我代表成都市渝中工商局、渝中区私营企业协会，祝各位领导新年快乐、工作愉快、身体健康，祝各位企业家事业兴旺题型八二次函数综合题类型一 与线段、周长有关的问题针对演练1. 如图，抛物线yx2bxc的图象过点A(4，0)，B(4，4)，且抛物线与y轴交于点C，连接AB，BC，AC. (1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的点，求PBC周长的最小值及此时点P的坐标；(3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于F、D两点. 请问是否存在这样的点E，使DE2DF？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 第1题图2. (2017原创)如图，抛物线yx2bxc过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合)，过点P作PDy轴交直线AC于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MAMC|最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3. (2016重庆南开阶段测试一)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc分别交x轴于A(4，0)、B(1，0)，交y轴于点C(0，3)，过点A的直线yx3交抛物线于另一点D.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)若点P为x轴上的一个动点，点Q在线段AC上，且Q点到x轴的距离为，连接PC、PQ，当PCQ周长最小时，求出点P的坐标；(3)如图，在(2)的结论下，连接PD，在平面内是否存在A1P1D1，使A1P1D1APD(点A1、P1、D1的对应点分别是A、P、D，A1P1平行于y轴，点P1在点A1上方)，且A1P1D1的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A1的横坐标m；若不存在，请说明理由4. 如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB交EF于点M，再连接AM交OC于点R，求ACR的周长；(3)设G(4，5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PHEF于点H，连接AP，GH，问APPHHG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由5. 如图，菱形ABCD的边长为6且DAB60，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t秒，直线PQ交边AD于点E.(1)求经过A、D、C三点的抛物线解析式；(2)是否存在时刻t使得PQDB？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由；(3)若F、G为DC边上两点，且DFFG1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小，并求出周长最小值6. (2016资阳)已知抛物线与x轴交于A(6，0)、B(，0)两点，与y轴交于点C，过抛物线上点M(1，3)作MNx轴于点N，连接OM.(1)求此抛物线的解析式；(2)如图，将OMN沿x轴向右平移t个单位(0t5)到OMN的位置,MN、MO与直线AC分别交于点E、F.当点F为MO的中点时，求t的值；如图，若直线MN与抛物线相交于点G，过点G作GHMO交AC于点H，试确定线段EH是否存在最大值若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由答案 类型一 与线段、周长有关的问题针对演练1. 解：(1)抛物线yx2bxc的图象经过点A(4，0)，B(4，4)，解得抛物线的解析式为yx2x2.(2)由抛物线yx2x2可得其对称轴为直线x1，点C的坐标为(0，2)，如解图，作点C关于对称轴x1的对称点C，则点C的坐标为(2，2)，连接BC，即BC6，BC与对称轴的交点即为所求点P，连接CP，此时PBC的周长最小第1题解图设直线BC的解析式为ykxm(k0)，B(4，4)，C(2，2)，解得直线BC的解析式为yx，将x1代入yx，得y1，点P坐标为(1，1)B(4，4)，C(0，2)，BC2.PBC的周长CPBCPBBCBC，PBC周长的最小值为26.(3)由点A(4，0)，B(4，4)可得直线AB的解析式为yx2，设点E坐标为(x，x2)，其中4x4，则点F(x，x2x2)，DE|x2|2x，DF|x2x2|，DE2DF，当2xx2x4，即点F位于x轴上方，解得：x11，x24(舍去)，将x1代入yx2，得到y，E(1，)；当2xx2x4，即点F位于x轴下方，解得：x13，x24(舍去)，将x3代入yx2，得y，E(3，)综上所述，点E的坐标为(1，)，(3，)2. 解：(1)抛物线yx2bxc过点A(3，0)，B(1，0)，解得抛物线的解析式为yx24x3.(2)将x0代入抛物线的解析式，则y3，点C(0，3)，则直线AC的解析式为yx3，设点P(x，x24x3)，PDy轴，点D(x，x3)，PD(x3)(x24x3)x23x(x)2，a10，当x时，线段PD的长度有最大值.(3)由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分线段AB，MAMB，由三角形的三边关系，|MAMC|BC，当M、B、C三点共线时，|MAMC|最大，即为BC的长度，设直线BC的解析式为ykxm(k0)，代入B(1，0)和C(0，3)，则解得直线BC的解析式为y3x3，抛物线yx24x3的对称轴为直线x2，当x2时，y3233，点M(2，3)，即抛物线对称轴上存在点M(2，3)，使|MAMC|最大3. 解：(1)由题意得解得抛物线的解析式为yx2x3.联立解得或，点D坐标为(2，)(2)A(4，0)，C(0，3)，直线AC的解析式为yx3，yQ，点Q坐标为(，)，点Q关于x轴的对称点Q(，)，连接CQ交x轴于点P，此时PCQ周长最小，如解图，第3题解图由C(0，3)和Q(，)求出直线CQ的解析式为y3x3，直线CQ与x轴的交点P的坐标为(1，0)PCQ周长最小时，点P的坐标为(1，0)(3)(i)过点D作DFx轴于点F，过点D1作D1F1A1P1交A1P1延长线于F1.当A1与P1在抛物线上时，A1P1y轴，此情况不存在；(ii)当P1与D1在抛物线上时，A1的横坐标为m，P1(m，m2m3)此时分两种情况讨论：当点D1在直线A1P1的左侧时，过点D1作DFx轴于点F，过点D作D1F1A1P1交A1P1延长线于F1.如解图，第3题解图此时点D1的横坐标为m，将xD1m代入yx2x3，D1(m，m29m)，F1(m，m29m)，P1F1(m29m)(m2m3)m，又P1F1PF3，m；当点D1在直线A1P1的右侧时，过点D作DFx轴于点F，过点D1作D1F1A1P1交A1P1延长线于F1.如解图，第3题解图此时点D1的横坐标为m，得xD1m代入yx2x3，D1(m，m2m)，F1(m，m2m)，P1F1(m2m)(m2m3)m，又P1F13，m；(iii)当A1与D1在抛物线上时，点A1的横坐标为m，A1坐标为(m，m2m3)，此时也分两种情况讨论：当点D1在直线A1P1的左侧时，过点D作DFx轴于点F，过点D1作D1F1A1P1交A1P1延长线于F1.如解图，第3题解图此时点D1的横坐标为m，代入yx2x3中，D1(m，m29m)，F1(m，m29m)，A1F1(m29m)(m2m3)m，又A1F1AF6，m；当点D1在直线A1P1的右侧时，过点D作DFx轴于点F，过点D1作D1F1A1P1交A1P1延长线于F1.如解图，第3题解图此时点D1的横坐标为m，代入yx2x3中，D1(m，m2m)F1(m，m2m)，A1F1(m2m)(m2m3)m，又A1F1AF6，m.综上所述，m的值可以是，.4. 解：(1)四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3，C点坐标为(0，3)，E点坐标为(2，3)，将C、E点坐标代入抛物线解析式yx2bxc得：解得抛物线的解析式为yx22x3.(2)如解图，连接AC，第4题解图由(1)得抛物线解析式为yx22x3，A(1，0)，B(3，0)，AO1，CO3，AC，COBO3，OBCOCB45，FMBF1，ROMF，AROAMF，解得RO，CR3，AR，ACR的周长为ACCRAR.(3)如解图，取点A关于y轴的对称点A，连接AG交直线EF的延长线于点H，过点H作HPy轴于点P，连接AP，则A(1，0)，PHx轴，第4题解图AA2，PHOF2，四边形PHAA为平行四边形，APAH，APHGAHHGAG，当点P在点P处时，使APPHHG最小，设直线AG的解析式为ykxa，将A(1，0)，G(4，5)代入得解得直线AG的解析式为yx.令x2，得y，点H的坐标为(2，)，符合题意的点P的坐标为(0，)5. 解：(1)在DAB中，DAB60，DAAB6，DAB是等边三角形，D到y轴的距离为AB3，到x轴的距离为DAsin603，D(3，3)，DCx轴，且DCAB6，将点D向右平移6个单位后可得点C，即C(9，3)，设抛物线的解析式为yax2bx，代入C、D两点坐标则解得抛物线的解析式为yx2x.(2)如解图，连接AC可知ACBD，若PQDB，则PQAC，所以P在线段BC上时不存在符合要求的t值第5题解图当P在DC上时，由于PCAQ，且PQAC，四边形PCAQ是平行四边形，PCAQ，即62tt，解得t2，即当t2时，PQDB.(3)如解图，作点F关于直线DB的对称点F，由菱形对称性知F在DA上，且DFDF1，作点G关于抛物线对称轴的对称点G，易求DG4，连接FG交DB于点M、交对称轴于点N，点M，N即为所求的两点过F作FHDG交CD的延长线于点H，第5题解图在RtFHD中，FDH180ADC60，FD1，FHFDsin60，HDFDcos60，HGHDDG，根据勾股定理得FG，四边形FMNG周长最小为FGFG1.6. 解：(1)A(6，0)，B(，0)，设抛物线解析式为ya(x6)(x)，又抛物线经过点M(1，3)，代入得，3a(16)(1)，解得a，yx2x2.(2)由yx2x2可知，C(0，2)，A(6，0)，OA6，OC2，在RtAOC中，AC2，M点的坐标为(1，3)，ON1，MN3，MO，ONMCOA，OMNOAC，OMNOMN，OACOMN，MFEENA90，OFA90，COAOFA90，OAFCAO，OFACOA，OMOM，F是OM的中点，OFOM，OOt，AO6t，t1.设向右平移t个单位时，EH有最大值，设直线AC的解析式为ykxb(k0)，A(6，0)，C(0，2)，解得，直线AC的解析式为yACx2，N(t1，0)，G(t1，(t1)2(t1)2)，GN(t1)2(t1)2，EN(t1)2，GEGNEN(t2)2，GHAC，GNx轴，MOGH，可证得：RtGHERtMNO，EH(t2)2，a0，当t2时，EH有最大值，0t5，25，符合题意，线段EH存在最大值，它的最大值为，此时t的值为2.类型二与面积有关的问题针对演练1. (2016大渡口区诊断性检测)如图，抛物线yax2bx4交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，过点A的直线yx2交抛物线于点D，且D的横坐标为4.(1)求抛物线的解析式；(2)点E为抛物线在第一象限的图象上一点，若ADE的面积等于12，求直线AE的解析式；(3)在(2)的条件下，点P为线段AE上的一点，过点P作PHAB，将PAH沿PH翻折，点A落在x轴上点Q处，若PDQ45，求P点坐标第1题图2. 如图，抛物线yax2bx3(a0)与x轴、y轴分别交于A(1，0)、B(3，0)、C三点(1)求抛物线的解析式；(2)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BC、BD、CD.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足PBCDBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)如图，在(2)的条件下，将BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为BOC.在平移过程中，BOC与BCD重叠部分的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？第2题图3. (2016重庆西大附中第九次月考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx4经过点D(2，4)，且与x轴交于A(3，0)，B两点，与y轴交于C点，连接AC，CD，BC.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P是抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分别交x轴于点E，交直线AC于点M.设点P的横坐标为m.当0m2时，过点M作MGBC，MG交x轴于点G，连接GC，则m为何值时，GMC的面积取得最大值，并求出这个最大值；(3)如图，在RtA1B1C1中，A1C1B190，A1C11，B1C12，直角边A1C1在x轴上，且A1与A重合，当RtA1B1C1沿x轴从右向左以每秒1个单位长度的速度移动时，设A1B1C1与ABC重叠部分的面积为S，求当S时，A1B1C1移动的时间t.第3题图4. (2016重庆八中二模)如图，抛物线yx22x3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.(1)求直线AD的解析式；(2)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FGAD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求FGH周长的最大值；(3)如图，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q与点Q关于直线AM对称，连接MQ，PQ.当PMQ与APQM重合部分的面积是APQM面积的时，求APQM的面积第4题图5. (2016湘西州)如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线yax2bx经过点B(1，4)和点E(3，0)两点(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在线段OC上，且BDDE，BDDE，求D点的坐标；(3)在条件(2)下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得BDM的周长为最小，并求出BDM周长的最小值及此时点M的坐标；(4)在条件(2)下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得PAD的面积最大？若存在，请求出PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由第5题图6. (2015重庆A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x3 交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D.(1)求直线BC的解析式；(2)点E(m，0)，F(m2，0)为x轴上两点，其中2m4.EE，FF分别垂直于x轴，交抛物线于点E，F，交BC于点M，N.当MENF的值最大时，在y轴上找一点R，使|RFRE|的值最大请求出R点的坐标及|RFRE|的最大值；(3)如图，已知x轴上一点P(，0)，现以P为顶点，2 为边长在x轴上方作等边三角形QPG，使GPx轴现将QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止记平移后的QPG为QPG，设QPG与ADC的重叠部分面积为S.当点Q到x轴的距离与点Q到直线AW的距离相等时，求S的值第6题图 答案类型二与面积有关的问题针对演练1. 解：(1)在直线yx2中，当y0时，x2，A(2，0)，当x4时，y6，D(4，6)点A、D均在抛物线上，解得： 抛物线解析式为yx2x4.(2)过点E作y轴的平行线交直线AD的延长线于F，如解图，第1题解图则SADESAEFSDEFEF(xDxA)3EF12，EF4.设E点横坐标为m，则E(m，m2m4)，F(m，m2)，(m2)(m2m4)4，m22m240，解得m6或m4(舍去)，点E为(6，4)，故直线AE的解析式是yx1.(3)如解图，过点D作DKx轴于点K，则K(4，0)，延长DE交x轴于点G，可求G(10，0)，第1题解图DKGK6，DG6，KDGPDQ45，PDKQDG.设P(m，m1)，则H(m，0)，AHm2，Q(2m2，0)，GQ82m，过点P作PNDK于点N，则PN4m，DN6(m1)5m，过点Q作QMDG于点M，则QMGM(4m)，DM(m2)，tanPDKtanQDG，解得m2或m4，P(2，2)或P(4，3)2. 解：(1)将点A(1，0)、B(3，0)代入抛物线yax2bx3(a0)，得解得： .抛物线解析式为yx22x3.(2)存在将点D(2，m)代入抛物线解析式，解得m3，D(2，3)，当x0时，y3，C(0，3)，OCOB，OCBCBO45，如解图，设BP交y轴于点G，第2题解图CDx轴，DCBCBO45，在DCB和GCB中，DCBGCB(ASA)，CGCD2，OG1，点G(0，1)，设直线BP的解析式为ykx1(k0)，则将点B(3，0)代入解析式，解得k，直线BP的解析式为yx1，联立直线BP和二次函数的解析式，得解得： 或(舍)，P(，)(3)由点B(3，0)，C(0，3)，D(2，3)，易求得直线BC的解析式为yx3，直线BD的解析式为y3x9，当0t2时，如解图，设直线OC与BC相交于点E，直线BC与BD相交于点F，设直线CB的解析式为y(xt)3，联立直线BD和直线CB的解析式，得第2题解图解得F(， )，SSBCDSCCESCDF23tt(2t)(3)，整理得：St23t(0t2)；当2t3时，如解图，设直线OC与BC，BD分别相交于点I，H，可得点H(t，3t9)，I(t，t3)，第2题解图SSHIBSHOBSIOB(3t9)(t3)(3t)，整理得：St26t9(23时，BOC与BCD无重叠面积，S0.综上所述：3. 解：(1)将A(3，0)，D(2，4)代入yax2bx4得，解得抛物线的解析式为yx2x4.(2)由yx2x4，则当x0时，y4，C(0，4)，当y0时，x2x40，解得x13，x21，又A(3，0)，B(1，0)易求出直线AC的解析式为yx4，设P点坐标为(m，m2m4)，则E(m，0)，M(m，m4)，MGBC，ly轴，COBMEG，即，GEm1，OGOEEGm(m1)m1，AGOAOG3(m1)m4，SGMCSCGASMGA 4(m4)(m4)2 (m)22，0m2，当m时，SGMC有最大值为2.(3)如解图，设A1B1与AC交于点P，B1C1与AC交于点M，作PQx轴于点Q，第3题解图设PQx，则A1Q，AQx.AA1xt，AC1t1，xt，MC1(t1)，Stt(t1)2，解得t.0t4，t4，综上，当t或t4时，S.4. 解：(1)令x22x30，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，令x0，则y3，C(0，3)，点D，C关于抛物线的对称轴x1对称，D(2，3)，设直线AD的解析式为ykxb.将点A(1，0)，D(2，3)代入，得解得直线AD的解析式为yx1.(2)设点F(x，x22x3)，FHx轴，H(x22x2，x22x3)，FHx22x2x(x)2，1x2，当x时，FH取最大值，由直线AD：yx1，易知DAO45.又FHx轴，FHG45，FHG为等腰直角三角形，FGH周长的最大值为.(3)当P点在AM下方时，如解图，设P(0，p)，易知M(1，4)，从而Q(2，4p)，第4题解图PMQ与平行四边形APQM重合部分的面积是平行四边形APQM面积的，PQ必过AM的中点N(0，2)，可知Q在y轴上，易知QQ的中点T的横坐标为1，又点T必在直线AM上，故T(1，4)，从而T、M重合，故平行四边形APQM是矩形，易求得直线AM的解析式为y2x2，而MQAM，可求得直线QQ的解析式为yx，4p2，p，PN，SAPQM2SAMP4SANP4PNAO415；当P点在AM上方时，如解图，设P(0，p)，易知M(1，4)，从而Q(2，4p)，第4题解图PMQ与APQM重合部分的面积是APQM面积的，PQ必过QM的中点R(，4)，易求得直线QQ的解析式为yxp5，联立，解得x，y，H(，)，H为QQ中点，故易得Q(， )，由点P(0，p)、R(，4)易得直线PR的解析式为y()xp，将Q(，)代入到y()xp得()p，整理得：p29p140，解得p17，p22(与AM中点N重合，舍去)，P(0，7)，PN5，SAPQM2SAMP2PNxM xA25210.综上所述，APQM面积为5或10.5. 解：(1)将点B(1，4)，E(3，0)分别代入抛物线yax2bx得， 解得抛物线的解析式为y2x26x.(2)四边形OABC是矩形，B(1，4)，BCO90，BC1，CBDBDC90，BDDE，BDCODE90，CBDODE，又BCDDOE90，BDDE，BCDDOE(AAS)，ODBC1，点D的坐标为(0，1)(3)由抛物线解析式y2x26x可知其对称轴为x，点B(1，4)关于直线x的对称点B的坐标为(2，4)，如解图，连接DB，交抛物线对称轴于点M，则点M即为所求设直线DB的解析式为ykxm，代入点D(0，1)，B(2，4)，得解得直线DB的解析式为yx1，当x时，y1，点M的坐标为(，)，此时BDM周长的最小值为BDDB.(4)存在设点P的坐标为(a，2a26a)，如解图，过点P作PGx轴于点G，则OGa，PG2a26a，则SPADS四边形DOGPSAODSAPG(PGOD)OGODOAAGPG(2a26a1)a11(a1)(2a26a)a2a(a)2，点P在抛物线上BE段，1a3，当a时，SPAD有最大值为，此时点P的坐标为(，)6. 解：(1)yx2x3(x2)24，C(2，4)当y0时，即x2x30，解得x16，x22，B(6，0)，A(2，0)设直线BC的解析式为ykxb，代入B(6，0)，C(2，4)，得直线BC的解析式为yx6.(2)E(m，0)，M(m，m6)，E(m，m2m3)，EM(m2m3)(m6)m22m3.F(m2，0)，N(m2，(m2)6)，F(m2，(m2)2(m2)3)，FN(m2)2(m2)3(m2)6 (m2)22(m2)3m2m，EMFN(m22m3)(m2m)(m3)2.2m4，当m3时，MENF的值最大此时E(3，)，F(5，)延长FE交y轴于R点，如解图，则R满足|RFRE|最大，即在y轴上取异于R的任一点R，连接RF、RE，则|RFRE|EF|RFRE|，即R使|RFRE|最大设直线EF的解析式为yaxb(a0)，第6题解图代入E(3，)，F(5，)，得解得直线EF的解析式为yx.当x0时，y，R(0，)作FKEM于点K，如解图，则FK2，EK2，EF4，|RFRE|的最大值为4，此时点R(0，)(3)对yx2x3，当x0时，y3，W(0，3)点Q到x轴、AW的距离相等，点Q在WAB的平分线上或在WAB补角的平分线上()当点Q在WAB的平分线上时，如解图，作WAB的平分线AL.过Q点作x轴的平行线交AW于点S，交AL于点T，交PG于点V.当点Q与点T重合时，点Q为符合题意的点第6题解图PGx轴，SVPG，在等边PGQ中，PVPG，S、T点的纵坐标都为，V(，)设直线AW的解析式为ymxn(m0)，代入(2，0)，(0，3)，得直线AW的解析式为yx3.当y时，即x3，得x，S(，)，SV.作SZx轴于点Z，如解图，则AZ2，SZ，AS.AL平分WAB，WALLAB.SVx轴，STALAB，WATSTA，STSA，点T到CD的距离为SVSTDP(2).显然点Q与点T重合时，点Q为符合题意的点，此时QPG与ADC重合部分是一个等边三角形，为这个等边三角形的高线这个等边三角形的边长为，S.()当点Q在WAB的补角的平分线上时，如解图，作WAB的补角的平分线AL.过点Q作x轴的平行线交AW于点S，交AL于点T，交PG于点V.当点Q与点T重合时，点Q为符合题意的点第6题解图同()，SV，SAST，TV，在RtPQV中，VPQ60，PV，QVPV3.PGQ向左平移的距离为TQTVQV3，APAPPP2()，点P的横坐标为2().可以求得直线AC的解析式为yx2，且CAB60，则直线PG与直线AC交点的纵坐标为()2(2)2PG，点G在直线AC之上CAB60，APT30，ACPT，重叠部分是一个含有60角的直角三角形AP，阴影部分直角三角形的两直角边为AP、AP，SAP2()2.类型三 与特殊三角形有关的问题针对演练1. (2016枣庄)如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线ymxn经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标第1题图2. (2016重庆巴蜀九下入学考试)如图，抛物线yx2x4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)(1)求点A，B的坐标；(2)连接AC、PB、BC，当SPBCSABC时，求出此时点P的坐标；(3)分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为点D、E，连接MD、ME.问MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由第2题图3. (2016重庆南开阶段测试三)如图，抛物线yax2bx4交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，连接AC、BC，其中COBO2AO.(1)求抛物线的解析式；(2)点Q为直线BC上方的抛物线上一点，过点Q作QEAC交BC于点E，作QNx轴于点N，交BC于点M，当EMQ的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值；(3)如图，在(2)的结论下，连接AQ分别交BC于点F，交OC于点G，四边形BOGF从F开始沿射线FC平移，同时点P从C开始沿折线COOB运动，且点P的运动速度为四边形BOGF平移速度的倍，当点P到达B点时，四边形BOGF停止运动，设四边形BOGF平移过程中对应的图形为B1O1G1F1，当PFF1为等腰三角形时，求B1F的长度第3题图4. (2016重庆十一中一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为(1，0)，(0，3)，直线x1为抛物线的对称轴，点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)点P为直线x1右方抛物线上的一点(点P不与点B重合)，记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为S，若SSBCD，求点P的坐标；(3)点Q是线段BD上的动点，将DEQ沿边EQ翻折得到DEQ，是否存在点Q使得DEQ与BEQ的重叠部分图形为直角三角形，若存在，请求出BQ的长；若不存在，请说明理由5. (2016重庆一中上期期末考试)已知如图，抛物线yx22x与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E.(1)如图，连接BD，试求出直线BD的解析式；(2)如图，点P为抛物线第一象限上一动点，连接BP，CP，AC，当四边形PBAC的面积最大时，线段CP交BD于点F，求此时DFBF的值；(3)如图，已知点K(0，2)，连接BK，将BOK沿着y轴上下平移(包括BOK)，在平移的过程中直线BK交x轴于点M，交y轴于点N，则在抛物线的对称轴上是否存在点G，使得GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由第5题图6. (2016重庆A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E.(1)判断ABC的形状，并说明理由；(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当PCD的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；(3)如图，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E，点A的对应点为点A.将AOC绕点O顺时针旋转至A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A，C1E，AC1E是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不能，请说明理由第6题图 答案类型三 与特殊三角形有关的问题针对演练1. 解：(1)依题意，得，解得抛物线的解析式为yx22x3.对称轴为x1，抛物线经过A(1，0)，B(3，0)设直线BC的解析式为ymxn(m0)，把B(3，0)，C(0，3)分别代入ymxn，得，解得直线BC的解析式为yx3.(2)如解图，设直线BC与对称轴x1的交点为M，连接MA，第1题解图MAMB，MAMCMBMCBC.使MAMC最小的点M应为直线BC与对称轴x1的交点把x1代入直线yx3，得y2.M(1，2)(3)设P(1，t)，结合B(3，0)，C(0，3)，得BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10. 若B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即184t2t26t10，解得t2；若C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即18t26t104t2，解得t4；若P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即4t2t26t1018，解得t1，t2.综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(1，2)，P2(1，4)，P3(1，)，P4(1，)2. 解：(1)令yx2x40，解得x11，x25，A点的坐标为(1，0)，B点的坐标为(5，0)(2)如解图，过点A作APBC，与抛物线交于点P，则SPBCSABC，第2题解图当x0时，yx2x44，点C的坐标为(0，4)，设过点B，C两点的直线的解析式为ykxb(k0)，则有解得直线BC的解析式为yx4，由于PABC，设AP的解析式为yxm，代入点A(1，0)，解得m，直线AP的解析式为yx，联立方程组得解得： P点的坐标为(4，) (3)MDE能成为等腰直角三角形，理由：抛物线yx2x4(x3)2，对称轴是直线x3.M(3，0)当MED90时，点E，B，M在一条直线上，此种情况不成立；同理：当MDE90时，不成立；当DME90时，如解图所示，第2题解图设直线PC与对称轴交于点N，EMDM，MNAM，EMNDMA.MDE45，EDA90，MDA135.MED45，NEM135，ADMNEM135.在ADM与NEM中， ADMNEM(ASA)MNMA2，N(3，2)设直线PC的解析式为ykxb(k0)，将点N(3，2)，C(0，4)代入直线的解析式得： 解得： 直线PC的解析式为y2x4.将y2x4代入抛物线解析式得：2x4 x2x4，解得：x0或x，P(，3)综上所述，MDE能成为等腰直角三角形，此时点P的坐标为(，3)3. 解：(1)抛物线yax2bx4与y轴交于点C，点C的坐标为(0，4)COBO2AO，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(4，0)，将点A、B的坐标分别代入抛物线解析式得解得抛物线的解析式为yx2x4.(2)点A(2，0)，点B(4，0)，点C(0，4)，直线AC的解析式为y2x4，直线BC的解析式为yx4.设点Q的坐标为(q，q2q4)，QEAC，过点E作EFQM于点F，如解图，第3题解图则，QF2EF，QEEF，在RtEFM中，易得FE