高考数学一轮复习 第2章 函数导数及其应用 第11节 导数与函数的单调性教师用书

为深入贯彻落实党的十九大精神和习近平总书记的重要指示精神，保障人民安居乐业、社会安定有序、国家长治久安、进一步巩固党的执政基础，束城镇深入贯彻全市扫黑除恶会议精神，强化措施，深入扎实开展扫黑除恶专项斗争第十一节导数与函数的单调性函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f(x)0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则函数f(x)在此区间上没有单调性()(3)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()答案(1)(2)(3)2函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1B(0,1C1，)D(0，)B函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，则可得0x1.3(教材改编)如图2111所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象，则下列判断中正确的是()图2111A函数f(x)在区间(3,0)上是减函数B函数f(x)在区间(1,3)上是减函数C函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D函数f(x)在区间(3,4)上是增函数A当x(3,0)时，f(x)0，则f(x)在(3,0)上是减函数其他判断均不正确4设f(x)xsin x，则f(x)()A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数B因为f(x)1cos x0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f(0)0sin 00，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.5若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2B(，1C2，)D1，)D由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而01时，g(x)0. 【导学号：51062078】解(1)由题意得f(x)2ax(x0).2分当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增.10分(2)证明：令s(x)ex1x，则s(x)ex11.12分当x1时，s(x)0，所以ex1x，从而g(x)0.15分求函数的单调区间设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.2分依题设，即解得6分(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号.10分令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增.12分故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，).15分规律方法求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递减区间变式训练2已知函数f(x)axln x，则当a0时，f(x)的单调递增区间是_，单调递减区间是_由已知得f(x)的定义域为(0，)因为f(x)a，所以当x时，f(x)0，当0x时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.已知函数的单调性求参数已知函数f(x)x3ax1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围. 【导学号：51062079】解因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立.7分因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即实数a的取值范围为(，0.15分迁移探究1(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围解因为f(x)3x2a，且f(x)在区间(1，)上为增函数，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，7分所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，3.12分迁移探究2(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的值解f(x)3x2a.当a0时，f(x)0，4分所以f(x)在(，)上为增函数当a0时，令3x2a0，得x，12分所以f(x)的单调递减区间为，1，即a3.15分迁移探究3(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解f(x)x3ax1，f(x)3x2a.由f(x)0，得x(a0).7分f(x)在区间(1,1)上不单调，01，得0a3，即a的取值范围为(0,3).15分规律方法根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解易错警示：(1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f (x)0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移3中利用了(0,1)来求解变式训练3若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)单调递增，则a的取值范围是()A1,1B.C.D.C取a1，则f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具备在(，)单调递增的条件，故排除A，B，D.故选C.思想与方法1已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0，f(x)0的解区间，并注意函数f(x)的定义域2含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性3已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决易错与防范1求单调区间应遵循定义域优先的原则2注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别3在某区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件4可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零课时分层训练(十三)导数与函数的单调性A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是() 【导学号：51062080】A(，2)B(0,3)C(1,4)D(2，)D因为f(x)(x3)ex，则f(x)ex(x2)，令f(x)0，得x2，所以f(x)的单调递增区间为(2，)2已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图2112所示，则下列叙述正确的是()图2112Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)C依题意得，当x(，c)时，f(x)0，因此，函数f(x)在(，c)上是增函数，由abc，所以f(c)f(b)f(a)因此C正确3已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件Af(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件4若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上为增函数，则实数m的取值范围为()A(，2)B(，2C.D.Df(x)6x26mx6，当x(2，)时，f(x)0恒成立，即x2mx10恒成立，mx恒成立令g(x)x，g(x)1，当x2时，g(x)0，即g(x)在(2，)上单调递增，m2，故选D.5(2017绍兴第一中学3月模拟)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为() 【导学号：51062081】A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)B由f(x)2x4，得f(x)2x40，设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2，因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1，故选B.二、填空题6函数f(x)1xsin x在(0,2)上的单调情况是_单调递增在(0,2)上有f(x)1cos x0，所以f(x)在(0,2)上单调递增7函数f(x)的单调递增区间是_(0，e)由f(x)0(x0)，可得解得x(0，e)8已知函数f(x)2x2ln x(a0)，若函数f(x)在1,2上为单调函数，则a的取值范围是_. 【导学号：51062082】1，)f(x)4x，若函数f(x)在1,2上为单调函数，即f(x)4x0或f(x)4x0在1,2上恒成立，即4x或4x在1,2上恒成立令h(x)4x，则h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，又a0，所以0a或a1.三、解答题9已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)由题意得f(x)，又f(1)0，故k1.6分(2)由(1)知，f(x).设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数.10分由h(1)0知，当0x1时，h(x)0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，).15分10已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性解(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，2分因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.7分(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.12分令g(x)0，解得x0或x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0时，g(x)0，故g(x)为增函数综上知，g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则()AabcBcbaCcabDbcaC依题意得，当x1时，f(x)0，f(x)为增函数；又f(3)f(1)，且101，因此有f(1)f(0)f，即有f(3)f(0)f，cab.2(2017宁波镇江海中学质检(二)设f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(2)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_. 【导学号：51062083】(2,0)(2，)令g(x)，则g(x)0，x(0，)，所以函数g(x)在(0，)上单调递增又g(x)g(x)，则g(x)是偶函数，g(2)0g(2)，则f(x)xg(x)0或解得x2或2x0，故不等式f(x)0的解集为(2,0)(2，)3已知函数f(x)ln x，g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)在x1处相切，求g(x)的表达式；(2)若(x)f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围解(1)由已