高中数学 第一章 计数原理 1_4 计数应用题优化训练 苏教版选修2-31

1.4 计数应用题五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.将(x-q)(x-q-1)(x-19)写成的形式是( )A. B. C. D.答案:D解析：由排列形式可看出(x-q)为最大数,共有x-q-(x-19)+1=20-q个数连乘,.2.已知1,2X1,2,3,4,5,满足这个关系式的集合X共有_个( )A.2 B.6 C.4 D.8答案:D解析：由题意知集合X中的元素1,2必取,另外,从3,4,5中可以不取,取1个,取2个,取3个,故有=8(个).3.将7名学生分配到甲,乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有( )A.252种 B.112种 C.70种 D.56种答案:B解析：分两类:甲,乙每屋住4人,3人或5人,2人,所以共有=352+212=112(种).4.在所有无重复数字的四位数中,千位上的数字比个位上的数字大2的数共有_个.答案:448解析：形如20,31,42,53,64,75,86,97符合条件,共有8=448个.十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.直角坐标系xOy平面上,在平行直线x=n(n=0,1,2,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,5)组成的图形中,矩形共有( )A.25个 B.36个 C.100个 D.225个答案:D解析：在垂直于x轴的6条直线中任取2条,在垂直于y轴的6条直线中任取2条,4条直线相交得出一个矩形,所以矩形总数为=1515=225个.故选D.2.有5个坐位连成一排,现在安排3个人就坐,则有两个空位不相连的不同坐法共( )A.28种 B.36种 C.60种 D.72种答案:B解析：用插空法,首先让三人就坐有种方法,然后再从4个空中选两个把坐位放进去有种方法,则共有不同坐法=36种.3.七种新产品排成一排参加展览,要求甲,乙两种产品之间恰有两种其他产品,则不同的排列方法共有( )A.120种 B.240种 C.480种 D.960种答案:D解析：分步,第一步:从甲,乙以外的5种产品中任选两种产品放在甲,乙中间,有种方法.第二步:把甲,乙与其中间的两种产品看作一个元素,与其他三种产品进行排列有种方法.第三步:对甲,乙进行排列有种方法.第四步:对甲,乙中间的两种产品进行排列有种方法.所以有=960种方法.4.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )A.16种 B.36种 C.42种 D.60种答案:D5.从a,b,c,d,e五名运动员中,选出四人参加4100米接力赛,则不同的选取方案有_种.答案:5解析：=5种.6.某学习小组有8个同学,从男生中选2人,女生中选1人参加数学,物理,化学三种竞赛,要求每科均有1人参加,共有180种不同的选法,那么该小组中男,女同学各有多少人?解:设男生有x人,则女生有(8-x)人,依题意,=180,(8-x)6=180,x3-9x2+8x+60=0,(x3-5x2)-(4x2-20x)-(12x-60)=0,(x-5)(x2-4x-12)=0.x1=5,x2=6,x3=-2(舍).男生5人,女生3人,或男生6人,女生2人.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.从集合1,2,3,11中任取两个元素作为椭圆方程=1中的m和n,则能组成落在矩形区域B=(x,y)|x|11且|y|9内的椭圆个数为( )A.43 B.72 C.86 D.90答案:B解析：m1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,n1,2,3,4,5,6,7,8.故椭圆个数为-8=72.2.四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的.现打算用编号为的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( )A.96 B.48 C.24 D.0答案:B解析：8条棱没有公共点只能分成四组,否则三条棱时必会有公共点,而分成四组,每组两条没有公共点的棱有且仅有下面两种情况:SA,CD;SB,AD;SC,AB;SD,BC或SA,BC;SB,CD;SC,AD;SD,BC.把四个组排列到四个空白中有种不同的方法,故存在不同方法种数为2=48种方法.3.新区新建有5个住宅小区(A,B,C,D,E),现要铺设连通各小区的自来水管道,如果它们两两之间的线路长如下表:地名线路长地名ABCDEA-5785B5-352C73-54D855-4E5244-则最短的管线长为( )A.13 B.14 C.15 D.17答案:B解析：从B开始寻找最短路线,如下图.4.由0,1,2,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与十位数字之差的绝对值等于8的个数为( )A.180 B.196 C.210 D.224答案:C解析：由题意知可能情况有:(1)_ 0 8 (2)_ 8 0 (3)_ 1 9 (4)_ 9 1 对(1)(2)都有不同数字=87=56种,对(3)(4)都有不同数字=49种.则共有(56+49)2=210种不同的四位数.5.从集合O,P,Q,R,S与0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复).每排中字母O,Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是_.(用数字作答)答案:8 424解析：若字母O,Q和数字0都不出现是种.若数字0出现是种.若字母O,Q出现其一是种.综上,共有()=8 424种.6.把9个相同的球放入编号为1,2,3的箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放法有_种.(用数字作答)答案:10解析：要使每个箱子放球数不小于其编号数,即在1,2,3三个箱子里至少要分别放进1,2,3个小球,这样只剩下3个任意放到三个箱子里,有三种情况.1 3个一组有3种放法;2 2个一组另一个一组,=6种放法;3 一个一组,只有一种放法.所以共有3+6+1=10种.7.三个人坐在一排八个坐位上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为_.答案:24解析：根据题意,两端的坐位要空着,中间6个坐位坐三个人,再空三个坐位,这三个坐位之间产生四个空,可以认为是坐后产生的空.故共有=24种.这种执果索因的思考方法是处理排列,组合问题常用的方法.8.6个女同志(其中有一个领唱)和2个男同志,分成前后两排表演.(1)每排4人,问共有多少种不同的排法?(2)领唱站在前排,男同志站在后排,还是每排4人,问有多少种不同的排法?解:(1)要完成这件事,必须分三步:第一步,先从8人中选4人站在前面,另4人站在后面,这共有种不同方法;第二步,前面4人进行排列,有种方法;第三步,后面4人也进行排列,有种方法.三步依次完成,才算这件事完成,故由分步计数原理有N=40 320种不同的排法.(2)分三步:第一步,除领唱和男同志外,从剩余的5位女同志中任选3位站在前排,共种不同的方法;第二步,前面4人进行全排列,有种方法;第三步,后排4人进行全排列,有种方法.三步依次完成,才算完成此事,所以共有N=5 760种不同的排法.9.解不等式:6.解:,即(10-x)(9-x)6.x2-19x+840.