高中数学 2_2_3 向量的数乘互动课堂学案 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学 2.2.3 向量的数乘互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.向量数乘的定义及几何意义（1）实数与a的积是一个向量，记作a，它的长|a|=|a|.它的方向是这样定义的：当a0时.0，a与a同向；0,a与a反向；当=0或a=0时，0a=0或0=0.(2)根据向量数乘的定义.a与a为共线向量，两者方向相同或相反，（a0,0）在此前提下，a可以理解为把a的长度扩大（|1）或缩小（|1）.由此可得向量数乘的几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小.（3）几点说明a中的实数,叫做向量a的系数，此系数决定着a与a的模的关系及方向相同或相反.向量数乘的特殊情况：当=0时，a=0，而当a=0时，a=0.实数与向量可以求积，并且结果为一向量，但不能进行加、减运算，如+a,-a根本无意义.2.向量数乘的运算律向量数乘满足下列运算律：设,u为实数，则(1)（+u）a=a+ua,(2)(ua)=(u)a，(3)(a+b)=a+ub(分配律).疑难疏引 向量数乘的运算律与中学代数中实数乘法的运算律极为相似，只是向量的数乘分配律由于因子的不同，可分为（+u）a=a+ua和(a+b)=a+ub.但两者也有区别：中学代数中的实数运算的结果是一个数，只满足一种分配律，而向量的数乘的结果是一个向量，满足两种分配律.3.向量的线性运算向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫做向量的线性运算，也叫做向量的初等运算.案例1 （1）计算下列各式：2(a+b)-3(a-b);3(a-2b+c)-（2c+b-a）;（a-b）-（2a+4b）+（2a+13b）.（2）设x、y是未知向量解方程组【探究】要解决（1）中的问题，需要用到数乘向量的运算律.包括：数乘向量的分配律及向量加、减法的运算律，其运算过程类似合并同类项.（2）是解关于未知向量的方程或方程组.它与解关于未知数的方程或方程组是类似的，在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘的运算律.【解】（1）2（a+b）-3（a-b）=2a+2b-3a+3b=-a+5b.3(a-2b+c)-(2c+b-a)=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c.(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=a-b-a-b+a+b=(-+)a+(-+)b=0a+0b=0.(2)把第1个方程的-2倍与第2个方程相加，得y=-2a+b，从而y=-a+b,代入原来第2个方程得x=-a+b.规律总结 向量的线性运算的最终结果是向量.进行向量线性运算的理论依据是向量数乘的运算法则.4.利用向量数乘的定义和运算律解决几何问题 利用向量数乘的定义或运算律可以解决一些几何问题，例如在探求线段相等、三角形相似等问题上.案例2 如图，在ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，求证MNBC，且MN=BC.【探究】把平面问题转化为向量问题解决非常方便，本题只需证明=.【证明】M、N分别是、的中点，=-=（-）=.，且|=|，即MNBC，且MN=BC.规律总结 利用平面向量的知识证明平面几何问题，这是向量的一个重要应用，但应注意向量与线段是不同的，它既有大小，又有方向.活学巧用【例1】 已知a、b为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由.（1）2a与a的方向相同，且2a的模是a模的两倍；（2）-2a与5a的方向相反，且-2a的模是5a的模的倍；（3）-2a与2a是一对相反向量.（4）a-b与-（b-a）是一对相反向量 .分析:本题主要考查向量数乘的定义，在定义中一定要注意a与a方向及模的关系.解：（1）正确，20,2a与a的方向相同，又|2a|=2|a|，（1）的说法正确.（2）正确，50，5a与a方向相同，且|5a|=5|a|，而-20，-2a与a的方向相反，且|-2a|=2|a|，5a与-2a的方向相反，且-2a是5a模的.故（2）的说法正确.（3）正确，按照相反向量的定义可以判断.（4）错误，因为-（b-a）与b-a是一对相反向量，而a-b与b-a是一对相反向量，故a-b与-（b-a）为相等向量.【例2】已知m、n为非零实数，a、b为非零向量，则下列命题正确的个数为（ ）m(a-b)=ma-mb；(m-n)a=ma-na；ma=mb,则a=b；若ma=na,则m=n.A.4B.3C.2D.1分析：完成本题要理解领会向量数乘的运算律.解：分别是向量数乘运算律中的分配律，因此正确；由于m0，故ma=mb,能推出a=b，正确；由于a0,故ma=na可得m=n，正确.答案：A【例3】计算下列各式：（1）3（2a-b）-2（4a-3b）；（2）（4a+3b）-（3a-b）-b；（3）2（3a-4b+c）-3（2a+b-3c）.分析：在计算过程中，要利用数乘向量的分配律，且在计算过程中要注意“合并同类项”的应用.解：（1）3（2a-b）-2（4a-3b）=6a-3b-8a+6b=-2a+3b.（2）（4a+3b）-（3a-b）-b=a+b-a+b-b=（）a+（1+-）b=a.（3）2（3a-4b+c）-3（2a+b-3c）=6a-8b+2c-6a-3b+9c=（6-6）a-（8+3）b+（2+9）c =-11b+11c.【例4】已知a、b不共线，（1）实数x、y满足等式3xa+（10-y）b=（4y+7）a+2xb,则求出x、y值；（2）把满足3x-2y=a，-4x+3y=b的向量x、y用a、b表示出来.分析:由于a、b不共线，故（1）式成立时，须满足等式左右a、b的系数相等，即3x=4y+7，10-y=2x，解方程组即得x、y.第（2）题实际上是解两个向量方程构成的方程组，其中x、y为未知向量，a、b为已知向量.解：（1）a、b为不共线向量，要使等式3xa+(10-y)b=(4y+7)a+2xb成立，则有解得(2)4+3，得y=4a+3b.再将代入中;得x=3a+2b.【例5】 用向量证明：梯形中位线平行于两底且等于上、下两底和的一半.已知：如右图，梯形ABCD中，E、F是两腰AD、BC的中点，求证：EFCDAB且EF=（AB+CD）.分析:用向量证明,只需证明且|=（|+|）.证明:E、F分别是、的中点，=-，=-，即=+，=+，=(+)=(+)又，设=.=（+）=.又E、F、D、C四点不共线,EFD