高中数学 第三章 统计案例 2 独立性检验知识导航 北师大版选修

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求2 独立性检验自主整理1.设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值,变量A：A1，A2=1；变量B：B1，B2=1.通过观察得到下表所示数据:ABB1B2总计A1aA2总计 其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据. 设n=a+b+c+d,用_估计P(A1B1), _估计P(A1), _估计P(B1). 若有式子 , 则可以认为_独立. 同理,若，则可以认为_独立；若，则可以认为_独立；若，则可以认为_独立. 但是,在中，由于表示的是_，不同于概率，即使变量之间独立，式子两边也不一定恰好相等.但是当两边相差_时,变量之间就不独立.2.选取2作统计量,用它的大小来检验变量之间是否独立.2=_当数据量较大时,在统计中,用以下结果对变量的独立性进行判断.(1)当2_时,没有充分的证据判定变量A,B有关联,可以认为变量A,B是没有关联的;(2)当2_时,有90%的把握判定变量A,B有关联;(3)当2_时,有95%的把握判定变量A,B有关联;(4)当2_时,有99%的把握判定变量A,B有关联.高手笔记1.独立性检验的基本思想先假设两个分类变量X与Y无关系,即X与Y相互独立,计算2的观测值k,把k与临界值进行比较,可以判断X与Y有关系的程度及无关系.在该假设下,构造的随机变量2应该很小,如果实际计算出的2的观测值很大,则在一定程度上说明假设不合理,根据2的含义可以利用统计估算出概率P(26.635)0.01,即有1%的把握认为X与Y无关,也就是说有99%的把握认为X与Y有关联.2.独立性检验的一般步骤(1)假设两个分类变量X与Y无关联;(2)计算出2=(3)把2的值与临界值比较确定X与Y有关联的程度或无关联.名师解惑从教科书中,我们得到“有99%以上的把握认为吸烟与患肺癌是有关的”这一结论,有的同学认为这一结论应该这样理解:即100个抽烟的人中,有99个患有肺癌.请问这样理解是否正确?剖析：不正确.首先要区别“事件发生的概率”与“独立性检验中X与Y有关联的概率”.(1)事件发生的概率.例如袋中有100个球,其中99个白球,1个黑球,随机取一个球,则取到白球的概率为99%.(2)两个变量X与Y有关系的概率.例如教科书中吸烟与患肺癌之间有关系的概率为99%,并非指吸烟者中有99%的人患肺癌,而是指我们有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”,(而在吸烟者中,只有2.82%的人患肺癌）我们得到的结论是：吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，这里所说的“吸烟与患肺癌有关系”是指统计上的关系，而非因果关系，至于吸烟者患不患肺癌，应该由医学检查来确定，而非统计学上的事了.讲练互动【例1】在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶;而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶,利用独立性检验的方法判断秃顶与患心脏病是否有关系.分析：计算2的值,然后与临界值进行比较.解：根据题目所给的数据得到如下列联表：患心脏病患其他病总计秃顶214175389不秃顶4515971 048总计6657721 437故2=16.3736.635，所以有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.黑色陷阱:因为这组数据来自住院的病人,因此所得到的结论只适合住院的病人群体,不要脱离这个前提而将结论推广到一般人群.变式训练1.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生,得到如下列联表:喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男3785122女35143178总计72228300由表中的数据，你认为在多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？为什么？解：2=4.5133.841,在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”的前提下，2应该很小，并且P（23.841)0.05，而我们所得到的2的观察值4.513超过3.841,这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论是错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”.【例2】某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况进行了n=1 700次观测,列联表如下:有地震无地震水位有变化98902水位无变化82618问观测结果是否说明地下水位的变化与地震的发生有关系?分析：判断两个分类变量是否相关,只须计算2的值然后与临界值比较即可.解：列联表:有地震无地震总计水位有变化989021 000水位无变化82618700总计1801 5201 7002=1.592.706，没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生相关.绿色通道:当22.706时,一般认为没有充分证据显示“X与Y有关系”.变式训练2.为了研究性格与血型的关系抽取80人测试，血型与性格汇总如下，试判断性格与血型是否相关.O型或A型B型或AB型总计A型181634B型172946总计354580解:由列联表中的数据得到2=2.0302.706.所以认为没有充分的证据显示血型与性格有关系.【例3】在一项有关医疗保健的社会调查中,发现调查的男性为530人,女性为670人,其中男性中喜欢吃甜食的为117人,女性中喜欢吃甜食的为492人,判断喜不喜欢甜食与性别是否有关系.分析：先由题目中的条件画出列联表,然后计算2.解：作列联表如下:喜欢甜食不喜欢甜食总计男117413530女492178670总计6095911 2002=312.2726.635，有99%的把握认为喜不喜欢甜食与性别有关系.绿色通道:统计方法是可能犯错误的,好的统计方法就是要降低犯错误的概率.变式训练3.为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了339名50岁以上的人,调查结果如下表所示:患慢性气管炎未患慢性气管炎合计吸烟43162205不吸烟13121134合计56283339试问：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？解：根据列联表中的数据，得到2=7.469.因为7.4696.635,所以我们有99%的把握