高中数学 2_3_1 平面向量基本定理导学案 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求2.3.1平面向量基本定理学习目标重点难点1能说出基底的含义，以及正交分解的意义2能记住平面向量基本定理.重点：平面向量基本定理的理解与应用难点：基底的含义，正交分解的意义.1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底预习交流1基底中的向量e1，e2可以为零向量吗？提示：不可以倘若向量e1，e2中有一个向量为零向量，那么两向量必为共线向量，这与基底的定义相矛盾，故基底中的向量e1，e2均不可以为零向量预习交流2在表示向量时，基底惟一吗？提示：不惟一，同一平面可以有无数组不同的基底因此，对不同的基底，同一向量的分解是不惟一的，但基底给定时，向量的表示方法惟一2平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a1e12e2的形式，我们称它为向量a的分解当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解预习交流3(1)下列说法中，正确的是_一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量(2)在正方形ABCD中，以，为基底，则向量可分解为_提示：(1)(2)一、平面向量基本定理的理解如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由(1)若，满足e1e20，则0；(2)对于平面内任意一个向量a，使得ae1e2成立的实数，有无数对；(3)线性组合e1e2可以表示平面内的所有向量；(4)当，取不同的值时，向量e1e2可能表示同一向量思路分析：运用基底概念与平面向量基本定理进行判断解：(1)正确若0，则e1e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明0.(2)不正确由平面向量基本定理可知，惟一确定(3)正确平面内的任一向量a可表示成e1e2的形式，反之也成立(4)不正确结合向量加法的平行四边形法则易知，只有当和确定后，其和向量e1e2才惟一确定e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是_e1e2，e1e2；3e12e2,4e26e1；e12e2，e22e1；e2，e1e2；2e1e2，e1e2.答案：解析：由题意，知e1，e2不共线，易知中，4e26e12(3e12e2)，即3e12e2与4e26e1共线，不能作基底中2e1e22，即2e1e2与e1e2共线，不能作基底1对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式2向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e10，e20，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1e2与2(e1e2)等均不能构成基底二、用基底表示向量如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且a，b，用a，b表示，.思路分析：题目条件显示：四边形ABCD是平行四边形且a，b是基底依据平行四边形的性质可知点M平分两条对角线，结合向量的平行四边形法则及向量的线性运算可表示待求向量解：四边形ABCD是平行四边形且a，b，ab，ba.又点M平分两条对角线AC，BD，(ab)，(ab)(ba)(ba)1已知ABCDEF是正六边形，且a，b，则_.答案：(ab)解析：ba，又2，(ab)2已知ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若a，b，用a，b表示，.解：a(ba)ab；a(ba)ab；a(ba)ab.1平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解成两个向量和的形式，且分解是惟一的(2)平面向量基本定理中，实数1，2的惟一性是相对于基底e1，e2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是惟一的2正确应用基底表示向量(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不惟一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)关于基底的一个结论设e1，e2是平面内一组基底，当1e12e20时，恒有120.三、平面向量基本定理的应用已知OAB中，延长BA到C，使ABAC，D是将分成21的一个分点，DC和OA交于点E，设a，b，(1)用a，b表示向量，；(2)若，求实数的值思路分析：(1)由题意可知A是BC的中点，利用平行四边形法则求，利用三角形法则求；(2)利用C，D，E三点共线，结合共线向量定理求解解：(1)A为BC中点，()，2ab；2abb2ab.(2)设，则a2ab(2)ab.与共线，存在实数m，使得m，即(2)abm，即(2m2)ab0.a，b不共线且为非零向量，解得.1i，j是两个不共线的向量，已知3i2j，ij，2ij，若A，B，D三点共线，试求实数的值解：A，B，D三点共线，与共线设m，则(3i2j)(ij)(2ij)(3)jm(3i2j)，i，j不共线，m0，3.2已知ABCD中M为AB的中点，N在BD上，3BNBD.求证：M，N，C三点共线解：设a，b，则ab，ab，a，b，ab，aab.又M为公共点，M，N，C三点共线1应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法如下：一般先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题2证明三线共点，先证明其中两条相交于一点，然后证明第三条也经过这个点3证明三点共线，需说明两点：三点确定的向量中有两向量共线，两共线向量有公共点1设O是ABCD两对角线的交点，下列向量组：与；与；与；与，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是_(填序号)答案：解析：由基底的概念可知2如图所示，ABC中，若D，E，F依次是AB的四等分点，则以e1，e2为基底时，_.答案：e1e2解析：e1，e2，e1e2.，(e1e2)e2(e1e2)e1e2.3设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a2e1e2与向量be1e2(R)共线时，的值为_答案：解析：a，b共线，存在惟一实数m，使得amb，即2e1e2m(e1e2)e1，e2不共线，m2，.4ABC中，点D在AB上，CD平分ACB，若a，b，|a|1，|b|2，则_.答案：ab解析：因为CD平分ACB，由角平分线定理，得，所以D为AB的三等分点，且()，所以ab.5如图所示，已知t(t0)，O是平面内任一点(不在直