人教 新课标 初中数学 九年级下二次函数图像和性质（5）

二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质(5) x y w怎样直接作出 函数y=3x2-6x+5 的图象? 函数y=ax+bx+c的图象 w我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. w1.配方 : 提取二次项系数 配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号 老师提示: 配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式 直接画函数y=ax+bx+c的图象 w4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2 的图象 w2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标. x-2-101234 w3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算. 29145251429 wa=30,开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 学了就用,别客气 ? 作出函数y=2x2-12x+13的图象. X=1 (1,2) X=3 (3,-5) w例.求次函数 y=ax+bx+c的对 称轴和顶点坐标 函数y=ax+bx+c的顶点式 w一般地,对于二次函数y=ax+bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. w1.配方 : 提取二次项系数 配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号 老师提示: 这个结果通常 称为求顶点坐 标公式. 顶点坐标公式 ? 因此,二次函数y=ax+bx+c的图象是一条抛物线. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 函数y=ax2+bx+c(a0)的应用 例：某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫， 规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件 70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关 系可以近似的看作一次函数（如图） （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设公司获得的总利润（总利润总销售额-总成 本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变 量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的 值最大？最大值是多少？ 400 300 6070 y(件) x(元) 解：（1）设y与x之间的函数关为 经过（60，400）（70，300） 解得： y与x之间的函数关系式为 （2）P（10x1000）（x50） 当x75时，P最大，最大利润为6250元 请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a0) 的图象和性质 w想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的 图象之间的关系是什么？ 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质 .顶点坐标与对称轴 .位置与开口方向 .增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax2+bx+c(a0) y=ax2+bx+c(a0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称 轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时,向右平移;当 0时向 上平移;当 0时,向下平移)得到的. 驶向胜利 的彼岸 小结 拓展 回味无穷 二次函数y=ax2+bx+c(a0)与=ax的关系 独立 作业 1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和 顶点坐标. 用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件 的特点选择合适的方法来求解 一般地，在所给条件中已知顶点坐标时，可设顶点 式y=a(x-h)2+k，在所给条件中已知抛物线与x轴 两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称 轴，可设交点式y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条 件是任意三点时，可设一般式y=ax2+bx+c;然后 组成三元一次方程组来求解。 例:已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为 10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这 个二次函数的解析试. 待定系数法 例：根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式 （1）已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3) （2）已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3 ） 已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k 顶点是（1，2） 设y=a(x-1)2+2，又过点（2，3） a(2-1)2+2=3，a=1 y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3 已知与x轴两交点横坐标，设交点式y=a(x-x1)(x-x2) 由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，设y=a(x-1)(x-3),过 （0，-3）， a(0-1)(0-3)=-3, a=-1 y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3 (3)已知二次函数的图像过（-1，2），（0，1），（2 ，-7） 已知普通三点设一般式y=ax2+bx+c, 设y=ax2+bx+c过（-1，2），（0，1），（2，-7）三点 a-b+c=0 c=1 4a+2b+c=-7 a=-1 b=-2 c=1 y=-x2-2x+1 例：已知一抛物线与x轴的交点A（-2，0），B（1，0）且经 过点C（2，8） （1）求该抛物线的解析式 （2）求该抛物线的顶点坐标 解：设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c 由已知，抛物线过点（-2，0），B（1，0），C（2，8）三点， 得 4a-2b+c=0 a+b+c=0 4a+2b+c=8 解这个方程组得， a=2 b=2 C=-4 所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4 (2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2 所以该抛物线的顶点坐标为（-1/2，-9/2） 例：如图，已知二次函数 的图像经过点 A和点B （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其 中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称， 求m的值及点Q 到x轴的距离 x y O 3 9 1 1 A B 图13 解：（1）将x=-1，y=-