初中教学论文：浅淡数学发散思维的特征与培养.doc

浅淡数学发散思维的特征与培养引言：著名数学家马明先生说过：数学教学的本质是思维过程，更确切地说是展示和发展思维的过程。现今的教材内容，偏重逻辑思维，以常规的演绎推理的抽象题型培养学生的三大能力（运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力）。这显然与今后社会的发展对开拓创新型人才的需要不相适应。因此，教育的侧重点作了如下转变：培养的学生由知识型转向开放型；变逻辑、集中思维为发散、直觉思维；变基础、应试教育为能力、应变教育。因此，身为教育第一线的教师，就得研究教育的对象，教学方法和如何调动教育对象的思维积极性。 关键词：探索、寻求、总结摘要：当今的教育，在不断地创新，不断地改革。作为被教育者学生，就必须具有创新的思维、发散的思维。但是目前，相当多的学生在解题是，满足于一题一解。因而，思路狭窄，方法单一，以致题目稍作变化，就一筹莫展。为了改变这种状态，本人选用“一题多问”、“一题多解”、“一题多变”和“一题多思”等形式进行解题教学，从而收到了较好的效果。如下是本人的一点点拙见：一、 数学发散思维的含义和特征。发散思维（又称辐射思维）是指对已知数学信息进行多方向、多角度的思考，从而提出新问题、探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式。它的特点是对已知信息通过转换或改造进行扩散派生，思路广阔，寻求变异，以形成各种新视角或新思路。发散思维在思维方向上具有逆向性、侧向性（或横向性）和多向性；在思维内容上具有变通性和开放性，发散思维对推广问题，引伸知识、发现新方法等具有积极的开拓作用。二、 发散思维的培养与训练。1、一题多问，创设情境，深入探索。在教学中，教师应引导学生努力做到问题解完，思路不断，深入探索，总结经验，让知识得以深化，达到正向迁移。怎样创设情境？一般可如下几问： 解此题最关键的步骤是什么？你是怎样完成这一步的？ 解此题用的是什么方法？其法有无技巧？ 解本题的方法你以前见过否？在解哪道习题时曾用过？这种方法有无普遍意义？ 本题的结论能否应用或推广到一般？ 还有无其它解法？本题能否进行演变？例题：已知：如图1在梯形abcd中，adbc，过对角线交点o平行于底线bc的直线交两腰ab，cd于e、f，求证：oe=of。证法1：（以下各法均为略证）。aeodcbf图（1）boebda cofcad adefbc oe=of 这里，仅就其中一问举例如下：教师：这种证法的思路是什么？关键的一步是什么？学生：若证明二线段a=b，只需证明即可。最关键的步骤是找到“过渡比例式”。很明显，一题多问是培养学生发散思维，深刻性的好办法。2、一题多解，开拓思路，启迪思维。一题多解，即面对一个问题，引导学生尽量提出多种思路，特别是那些不依常规，不拘常法的新途径、新方法，从而把思维展开、扩散，让其尽情驰骋，进而使学生思维的多向性得以发展。一题多解的方法较多，这里仅举两种为例。（1）充分挖掘图形的性质，广泛联想，平行类比。譬如，对例题的图形进行剖析，可得下图：（图2）adcbfeadbc0adoebaaobcebh2 ecbofh1 afdcaocbfodadh2图（）经过学生的细心观察和教师的点拔，发现表示例题的中心，图形是由上、下、左、右六个符合定理的基本图形组合而成的。从而，学生很快又获得10余种证法，下面仅举4种供参考。证法：如图所示。abcaeo dcbdfooe=of adbc证法3：如图中心图所示，设的 高分别为，由相似三角形的性质得：两式相除= =1oe=of证法4：应用相似三角形的另一性质，可得 saeo=sdfo adbcsabc=sdcbeoh1=foh1oe=of证法：容易证得sa=sdeo（h1h2） fo（h1h2）oe=of由上面五种证法可以看出：运用在同一学科内的平行类比，广泛联想，不仅拓广了思路，而且又可获得解题技巧，增强能力，从而，也培养了学生思维的纵向波动性。（）综合运用所学的教学知识，垂直类比，融会贯通利用不同学科的密切联系，本文例题还可获得下面两种（限于学生的知识面）代数法。证法：如图中心图所示，设 可得方程组：两式相加即同理可得oe=of。证法：再设，则易得：两式相除 ，即oe=of又如：已知，如图，梯形abcd中，adbc,de=ec,efab于点f.求证：梯形=abef.证法：如图，过e作mnba交bc于n，交ad延长线于m， de=ec，adbc1=2又den=cendemcen梯形abcd= abef图证法2：如图4-32，过d作dhab交bc于h，交wf于g，过c作cmgfdef交dg于m，则egmce图chbm 证法3：如图4-33，作egbc交ab于g，连结ea、eboebcfad图 da证法4：如图4-34，连结ea并延长交bc的延长线于g，作gmef交ab于m，图gbcmef 证法5：如图4-35，延长e f到f,使ef=ef,过点f作abab,交bc的延长线于点a,交ad的延长线与点b.bda则四边形ab为平行四边形，facef图5b不难看出，综合运用数学知识进行一题多解，不仅使题目中的条件和结论简单化，而且还会使学生对问题的认识更深入、更全面。尤其是对于那些添加辅助线的难题来说，更是别开生路。从而也培养了学生思维的横向波动性。、一题多解，寻求变导，举一反三。一题多变有三种形式，即：演变条件、演变结论、演变图形，三者之间既有联系又有区别。一般地，可对学生进行以下几个方面的训练。 题目的条件和图形不变，结论演变； 题目的结论不变，条件和图形演变 倒果为因，把结论和某一条件对换 将条件，结论和图形逐步演变。此外，还可以把一道证明题经过“改头换面”变为计算题、是非题、填空题、讨论题或选择题等。例如：在学生完成本文例题的证明之后，通过增置条件，可变为：设ad=a，bc=b，试求ef的长。这时，大多数学生都能敏捷、迅速的联想到“证法6”，竟相举手发言，答曰：学生，轻松愉快；教师，欣然鼓励。接着，教师又在学生稍为平静的思维湖面上投下一颗石子：若将此题改变题型或把结论进行演变，还可获得哪些新题目呢？学生个个积极思考，“求证：。”有的说：“求证：”教师指出：后者形式的结论，表示线段的方法要一致。学生又立刻活跃起来，仅用十几分钟的时间，就获得了变异结论的累累硕果。整得如下表：减少条件增加条件例题求ef的长延伸结论求证：类比联想证法联想此表中“”表示正向思维，“”表示逆向思维。cfbedqrap8febcdh2h1opdfecbbaos2s1cbddfqpocb本来，问题到此可结束，但教师：若将例题中的ef在梯形内平移（如图上），eg和hf是什么关系？若去掉efbc而给出情况又怎样？若再将ef平移到梯形外（如图下），过两腰延长线的交点，被两条对角线的延长线截得二线段pe、pf又是什么关系呢？寥寥数语，又将学生引入“愤”、“悱”境地。紧接着，教师又提示：如果将梯形变为一般的圆内接四边形（如图左下），两条对角线交点o恰为弦ef的中点，那么这条弦ef被另外两弦ab、cd所截得的两条线段op和oq是否还相等呢？真是一波未平，一波又起。教师：同学们看，圆内的图形多么象一只美丽的蝴蝶呀！因此，这个命题名为“蝴蝶定理”。不过这个问题有待于学习圆内成比例线段定理之后再研究吧。留下一个悬念，激发了好奇心与强烈的求知欲。为了更充分地利用这一题、一图所展示的有用信息，教师又给出了图中演变而来的各图所代表的题目（限于篇幅，恕不列举），布置课后进行演变讨论。由于学生对“一题多变”颇感兴趣，经过积极思维，充分研究，再通过归纳、梳理，又获得二十几个新题目，并且都得到了证明，其中“过任意梯形对角线交点且平行于底的直线被两腰截得的二线段相等”是一个很重要的定理，而且还有很多的用处。足见，象这样一题多变，由一道题变成一组题，而它们的解法又大致相同，达到了“多题一解”、“化难显易、以少胜多”的目的，又可使学生摆脱“题海”之苦，收到了举一反三、触类旁通的效果，并能培养学生的连动思维能力。、一题多思，探索发现，总结规律解题之余，教师还要及时指导学生对所获得的有用信息作一番认真剖析、探索，进行一题多思的总结。解题后，一般可进行如下几方面的思考： 本题共有多少种解法？哪种解法最佳？这些解法中有无解题技巧？ 这些解法中有几种思路？各种解法之间的区别与联系是什么？哪种解法具有更广泛的意义？ 这些解法中有无新方法？新方法的特点是什么？ 从本题的解法中能否总结出一条规律？这条规律是否具有一般性？能否加以推广？ 本题可获得多少种变化？能否组成一类题，一组题？这一类题，一组题的关系如何？其共同解法是什么？很显然，如果教师能够坚持不懈地引导学生在解题后，进行一题多思，就能养成习惯，形成解题能力。数学家g利亚说过：问题是数学的心脏。这就是说，解题是数学教学的核