初中数学论文：对中考“兄弟连”试题的对比与评析.doc

对中考“兄弟连”试题的对比与评析2000年上海市的中考压轴题与2008年广州市的中考压轴题,在几何图形背景与考查的知识都有相似之处,是属于“兄弟连”试题。“弟”试题较好地继承了“兄”试题的亮点，并在新课程背景下进了自主创新，有效考查了学生运用已学知识分析问题和解决问题的综合分析能力。下面对“兄弟连”试题对比评析如下：例1、（2000年上海市中考试题）如图，在半径为6，圆心角为90的扇形oab的弧ab上，有一个动点p，phoa，垂足为h，oph的重心为g。（1）当点p在弧ab上运动时，线段go、gp、gh中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设ph=x,gp=y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果pgh是等腰三角形，试求出线段ph的长。解(1) 长度保持不变的线段是gh,且gu=2延长hg交op于c, g是oph的重心， ch是斜边op上的中线，gh=ch=op= (2)延长pg交oh于d，ph=x，oh=，而dp=y=gp= （0x6）(3)分类讨论：在pgh中 若gp=ph时，则有 化简得： ，若gp=gh时,则有 解得 (不合题意舍去)若ph=gh时,则有 .【评析】第(1)小题中主要抓住了同圆的半径相等的性质,虽然点p在弧ab上运动,但op是o的半径始终保持不变,即op6。再结合直角三角形和三角形重心的性质,使所求线段gh与已知半径op联系起来，从而使问题解决；在第（3）小题中，已知pgh是等腰三角形，但题中没有指明哪两边是腰，因此解题中必须对三角形的三边进行分类讨论解决，渗透了数学中的分类思想。例2、（2008年广州市中考试题）如图2，扇形oab的半径oa=3，圆心角aob=90，点c是弧ab上异于a、b的动点，过点c作cdoa于点d，作ceob于点e，连结de，点g、h在线段de上，且dg=gh=he（1）求证：四边形ogch是平行四边形（2）当点c在弧ab上运动时，在cd、cg、dg中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度（3）求证：是定值解：（1）如图3，连结oc交de于m，由矩形得omcg，emdm 图2因为dg=he所以emehdmdg得hmdg 所以四边形ogch是平行四边形。（2）dg不变，在矩形odce中，deocoa=3，所以dg （3）一题多解：方法一：利用三角形的中位线与勾股定理解：如图3，设cdx,延长og交cd于n，og=ch，且ogch，cn=dn，在rtodn中， 而 ， 【评析】本解法充分利用了题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，较好地实现了把线段on转化为线段ch的倍分关系，再以rtond为基础，通过勾股定理，使问题得以解决。方法二：利用相似三角形与勾股定理 解：如图4，分别过h、g作hmgndc，则有 ， ， ，。在rtcmh中， 【评析】本解法充分利用了题中的三等分点、相似三角形的性质，得出相关线段关于x的代数式，再以rtcmh为基础，通过勾股定理，使问题得以解决。方法三：利用三角形面积与勾股定理解：如图5，过点c作cked于k，在rtecd中，由面积法得： rtckh中，化简得： 【评析】本解法充分利用了几何中的面积法，得出斜边上的高ck和hk关于x的表达式，再以rtckh为基础，通过勾股定理，使问题得以解决。方法四：三角函数与勾股定理解：如图5，过点c作cked于k，在rtcek和rtchk中，由勾股定理得：在rtekc和rtecd中， 化简得： 【评析】本解法充分利用了三角函数，使线段ek能用x的代数式表示，再通过勾股定理和乘法公式进行转化，使问题得以解决。上海试题考查的知识点有：同圆的半径相等，直角三角形的性质，三角形重心的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及分类讨论的数学思想。第（1）小题起点较高，三个小题层次不明显，第（3）小题注重了数学思想的渗透，对等腰三角形的各种情况进行分类求解，考查了学生严谨的数学思维能力。广州试题在上海试题的基础上进行自主创新，它所涉及的知识点有：同圆的半径相等，矩形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，相似三角形或三角函数等。第（1）小题比较基础，学生容易解决，第（2）小题只利用矩形的性质求解，不涉及到课标不要求的三角形重心的