初中数学论文：以矩形为背景的中考压轴题.doc

以矩形为背景的中考压轴题在新课程背景下，降低了平面几何的论证要求，以圆为背景的综合性中考压轴题很少出现。而以矩形为背景与折叠、动点、坐标等知识有效整合的综合性压轴题，是近年来中考中的一种重要题型。这类试题具有较强的综合性和灵活性，不仅涉及几何中的三角形、四边形、相似三角形、圆和代数中的方程、不等式、函数等有关知识。而且通过折叠矩形和动点的运动，有效考查了学生的动手能力和运用已学知识进行分析问题和解决问题的能力，较好体现了数学本质。现举例说明如下：一、折叠与矩形的整合例1、(2008年台州市)如图1，在矩形abcd中，点p是边bc上的动点（点p不与点b,c重合），过点p作直线pqbd，交cd边于q点，再把pqc沿着动直线pq对折，点c的对应点是r点，设cp的长度为x，pqr与矩形abcd重叠部分的面积为y（1）求cqp的度数； （2）当x取何值时，点r落在矩形abcd的ab边上？ （3）求y与x之间的函数关系式；当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？ （图1） （备用图1） （备用图2）简 解：（1） ，dqcbpra图2（2）如图2，由轴对称的性质可知，由（1）知， ，在中，根据题意得：，解这个方程得：（3）当点在矩形的内部或边上时，当时，当在矩形的外部时，当时，综上所述，与之间的函数解析式是：当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的【评析】本题以矩形为背景，结合直角三角形中含30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，并通过对矩形的折叠，使试题更具有灵活性和开放性。由于折痕在运动变化，所以直角三角形的直角顶点r的位置也在移动。本题要对点r的不同位置进行分类讨论，从而得出不同的函数解析式。本题考查了代数与几何中的众多知识，具有较强的综合性，是一道考查学生运用已学知识分析问题和解决问题的能力的好题。二、动点（直线）与矩形的整合例2、（2008年哈尔滨市）在矩形abcd中，点e是ad边上一点，连接be，且abe30，bede，连接bd点p从点e出发沿射线ed运动，过点p作pqbd交直线be于点q(1) 当点p在线段ed上时（如图3），求证：bepdpq； （2）若 bc6，设pq长为x，以p、q、d三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）在的条件下，当点p运动到线段ed的中点时，连接qc，过点p作pfqc，垂足为f，pf交对角线bd于点g（如图4），求线段pg的长。简解：（1）过e作emqp，得pq=2pm，pm=，=（2）本小题对点p的位置要进行分类求解，当点p在线段ed上时，过q作qhad垂足为h，当点p在线段ed的延长线上时，过q作qad，交da的延长线于点，q=，（3）连结pc交bd于点n，dpc=60，可得，由pngqpc，得 【评析】本题以矩形为背景，利用直角三角形中含30角所对的直角边等于斜边的一半的性质和等腰三角形的性质，实现了线段之间的转换。并通过动点p的移动，在解答第(2)小题时,要对点p的不同位置情况进行分类求解，从而构建了二个不同的二次函数的解析式。在解答第（3）小题时，要用到众多的几何性质和知识,使试题具有较强的综合性，并渗透了数形结合的数学思想。图5例3、（2008年甘肃白银）如图5，在平面直角坐标系中，四边形oabc是矩形，点b的坐标为（4，3）平行于对角线ac的直线m从原点o出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形oabc的两边分别交于点m、n，直线m运动的时间为t（秒）(1) 点a的坐标是_，点c的坐标是_； (2) 当t= 秒或 秒时，mn=ac；(3) 设omn的面积为s，求s与t的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数s有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由简解：(1)（4，0），（0，3）； (2) 2，6； (3) 当0t4时，om=ts= 当4t8时，如图6， od=t， ad= t-4 s= 图6(4) 有最大值 当0t4时，把t=4，代入s=得，最大值s=6； 当4t8时， 抛物线s=的开口向下，它的顶点是（4，6）， s6 s的最大值为6。【评析】本题以矩形为背景，通过动直线的运动共设置了四个问题，第一、二两问都比较基础，学生直接或利用三角形中位线性质就能得出结果；第三、四问运用几何中的相似三角形的性质和三角形的面积分割，并对运动的时间t进行分类讨论，得出相应的二次函数的解析式，利用二次函数的性质分别求出相应的最大值。本题考查学生点的坐标、三角形的中位线性质、相似三角形的性质、二次函数及数形结合和分类讨论的数学思想方法。三、折叠、坐标与矩形的整合例4、（2008年福州市）如图7，以矩形oabc的顶点o为原点，oa所在的直线为x轴，oc所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知oa3，oc2，点e是ab的中点，在oa上取一点d，将bda沿bd翻折，使点a落在bc边上的点f处图7（1）直接写出点e、f的坐标；（2）设顶点为f的抛物线交y轴正半轴于点p，且以点e、f、p为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点m、n，使得四边形mnfe的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由简解：(1)e(3,1)；f(1,2)；po 图8ecyxadbf(2)如图8,当ef=pf时,抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2；如图9,当ep=fp时, 这种情况不存在.当ef=ep时,这种情况也不存在.综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2po图9 图图ecyxadbfe/f/mno图10ecyxadbf(3)存在点m、n,使得四边形mnfe的周长最小如图10,四边形mnfe的周长最小值为5+.【评析】本题以矩形和直角坐标系为背景，是一道坐标几何题。本题通过对矩形的折叠来引出问题，第一问利用折叠的对称性，要求学生直接写出坐标就行；第二问是求抛物线的解析式，但由等腰三角形的特殊性，要对点p的位置进行分类讨论，加以排除另外两种情况，从而求出相应的抛物线的解析式。第三问是在直角坐标系中，利用几何中的对称知识来求四边形的最值问题，有一定的难度，本题较好地渗透了数形结合的数学思想方法，使本题目更具有灵活性和综合性。四、折叠、动点、坐标与矩形的整合例5、（2008年绍兴市）将一矩形纸片oabc放在平面直角坐标系中，o（0，0），a（6，0），c（0，3）动点q从点o出发以每秒1个单位长的速度沿oc向终点c运动，运动秒时，动点p从点a出发以相等的速度沿ao向终点o运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点p的运动时间为（秒）（1）用含t的代数式表示op，oq；（2）当t=1时，如图11，将opq沿pq翻折，点o恰好落在cb边上的 图11 图12点d处，求点d的坐标；（3）连结ac，将opq沿pq翻折，得到epq，如图12问：pq与ac能否平行？pe与ac能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由图13opaxbdcqy图14opaxbcqy图15ofaxbcyeqp简 解：（1），（2）当时，过点作，交于，如图13，可得（3）若，如图14，则，而，若，延长交于，如图15，则又，而，不存在【评析】本题把矩形放到直角坐标系中加以研究,综合了点的坐标、方程、函数、直角三角形、矩形、相似三角形等有关知识。并通过动点的运动和三角形的翻折，使试题更加灵活，更加开放。本题有三个小题的设问，层次分明，由浅入深。第三问考查了学生灵活运用所学基础知识和基本技能解决较高思维水平问题的能力。这样通过三个不同层次问题的设置为区分不同学业水平学生的考试成绩提供了较为有效的支持。例6、（2008年兰州市）如图16，oabc是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，o为原点，点a在x轴的正半轴上，点c在y轴的正半轴上，oa=5，oc=4（1）在oc边上取一点d，将纸片沿ad翻折，使点o落在bc边上的点e处，求d，e两点的坐标；（2）如图17，若ae上有一动点p（不与a，e重合）自a点沿ae方向向e点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t（0t5）秒，过p点作ed的平行线交ad于点m，过点m作ae的平行线交de于点n求四边形pmne的面积s与时间t之间的函数关系式； 图16 图17当t取何值时，s有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以a，m，e为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点m的坐标 解：（1）点坐标为（2）当时，有最大值（3）（i）若以为等腰三角形的底，则yxbcoade图18pmnf当时，为等腰三角形此时点坐标为（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图18）当时，（），此时点坐标为综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或【评析