第2章 jordan标准型课件

第第2 2章：章：JordanJordan标准形介绍标准形介绍 Jordan Canonical FormJordan Canonical Form 第第2 2章：章：JordanJordan标准形介绍标准形介绍 问题：问题： w w 对线性空间中的线性变换对线性空间中的线性变换T T，求一组基求一组基 1 1 ， 2 2 ， ， ， n n 和矩阵和矩阵J J ，使，使 T: T: 1 1， ， 2 2 ， n n J J 矩阵矩阵J J 尽可能简单。尽可能简单。 矩阵矩阵J J的结构对任何变换可行的结构对任何变换可行 内容：内容： w w 首选首选A A为对角形为对角形 线性线性变换的对角化问题。变换的对角化问题。 w w 建立建立J J 一般的结构一般的结构 JordanJordan标准形理论。标准形理论。 w w JordanJordan方法及其应用方法及其应用 方法：方法： w w 用矩阵的相似化简研究问题用矩阵的相似化简研究问题 JordanJordan化方法化方法 重点：重点： 2.1 2.1 线性变换的对角表示线性变换的对角表示 背景：背景： T T( ( 1 1 2 2 n n ) = () = ( 1 1 2 2 n n ) ) 一、变换一、变换T T的特征值与特征向量的特征值与特征向量 1. 1. 定义定义( (p35 p35 ，定义定义2 2. .1 1 ) ) 2. 2. 求解分析：求解分析：( (p35 p35 ，定理定理2 2. .1 1 ) ) 1. 1. ( ( 1 1 2 2 n n ) ) 线性无关线性无关 2. 2. T T i i = = i i i i ； L L i i 是不变子空间是不变子空间 A A的特征值就是的特征值就是T T的特征值的特征值 A A的特征向量是的特征向量是T T的特征向量的坐标的特征向量的坐标 例题例题1 1( (p37 p37 ，例题例题2 2. .1 1) ) 3 3、 特征向量的空间性质特征向量的空间性质 特征子空间：特征子空间： 特征子空间的性质：特征子空间的性质：( (p36 p36 ，定理定理2 2. .2 2) ) V V i i 是不变子空间是不变子空间 i i j j ，则，则V V i i V V i i =0 =0 若若 i i 是是k k i i 重特征值，则重特征值，则1 1 dimdimV V i i k k i i 推论推论： 若若 i i 是单特征值，则是单特征值，则dimdimV V i i =1=1 V V 1 1+ +V V 2 2 + += =V V s s = = V V 1 1 V V 2 2 V V s s V V 1 1 V V 2 2 V V s s V V n n （F F） 二、线性变换矩阵对角化的充要条件二、线性变换矩阵对角化的充要条件 T T可以对角化可以对角化T T有有n n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 。 dimVdimV i i =n =n dimVdimV i i = =k k i i 定理定理2 2. . 4 4( (p39p39) ) T T可以对角化可以对角化T T的变换矩阵的变换矩阵A A可以对角化。可以对角化。 例题例题2 2 已知已知 1 1 ， 2 2 ， 3 3 是空间是空间V V 3 3 （F F ）的基，的基，T T是空间上如下定义的线性变是空间上如下定义的线性变 换，换， T T（ 1 1 ）= = 1 1 T T（ 2 2 ）=2 =2 2 2 T T（ 3 3 ）= = 1 1 +t +t 2 2 +2 +2 3 3 讨论：讨论：t t为何值，为何值，T T有对角矩阵表示有对角矩阵表示 例题例题3 3 证明幂等变换证明幂等变换( (T T 2 2 =T)=T)有对角矩阵表示。有对角矩阵表示。 2.2 2.2 JordanJordan 矩阵介绍矩阵介绍 目标：目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩发展一个所有方阵都能与之相似的矩 阵结构阵结构-JordanJordan矩阵。矩阵。 一、一、 JordanJordan 矩阵矩阵 Jordan Jordan 块块( (p40p40，定义定义2 2. .3 3) ) 形式形式： 确定因素：确定因素： Jordan Jordan 块矩阵的例子：块矩阵的例子： 值值 矩阵的阶数矩阵的阶数 例题例题1 1 下列矩阵哪些是下列矩阵哪些是JordanJordan块？块？ 形式：形式： JordanJordan矩阵举例矩阵举例 特点特点 元素的结构元素的结构 JordanJordan矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵 对角矩阵是对角矩阵是Jordan Jordan 矩阵矩阵 2 2 Jordan Jordan 矩阵矩阵 3 3 Jordan Jordan 标准形标准形 定理定理2 2 . . 5 5 ( (p41p41) ) 含义：含义： Jordan Jordan 矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。 惟一性：惟一性：Jordan Jordan 子块的集合惟一。子块的集合惟一。 A A相似于相似于B BJ J A A 相似于相似于J J B B 二、方阵二、方阵A A的的Jordan Jordan 标准形的求法标准形的求法 目标：目标：求可逆矩阵求可逆矩阵P P和和JordanJordan矩阵矩阵J JA A ，使 ，使AP=PJAP=PJ A A 分析方法：分析方法： 在定理在定理 2 2.5 .5 的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵J J A A 和和P P的构成。的构成。 求法与步骤：求法与步骤： 矩阵矩阵A A和和J J A A 的特征值相等的特征值相等 细分矩阵细分矩阵P P i i 和和 J J i i ，在，在JordanJordan块上，有块上，有 JordanJordan链条链条 ，y y 2 2 ，y ynj nj 特征向量特征向量 广义特征向量广义特征向量 方法步骤：方法步骤： 由特征值由特征值 i i 的代数重数确定主对角线元素是的的代数重数确定主对角线元素是的 i i 的的 Jordan Jordan 矩阵矩阵J J( ( i i ) ) 的阶数。的阶数。 由特征值由特征值 i i 对应的线性无关的特征向量的个数确对应的线性无关的特征向量的个数确 定定 J J( ( i i) ) 中中Jordan Jordan 块的个数块的个数 由特征向量求得的由特征向量求得的Jordan Jordan 链条的长度确定链条的长度确定JordanJordan 块的阶数块的阶数 链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵P P，JordanJordan块构块构 成成J J A A 例题例题1 1 ( (p44p44，例题例题5 5) ) 例题例题2 2 ( (p45p45，例题例题6 6) ) 例题例题3 3 将矩阵将矩阵A A化为化为Jordan Jordan 矩阵。矩阵。 例题例题4 4 ( (p46p46，例题例题7 7) ) 2.2.3 3 最小多项式最小多项式 ( (minimal polynomials)minimal polynomials) 讨论讨论n n 阶矩阵多项式的相关问题：阶矩阵多项式的相关问题： w w 矩阵多项式（重点是计算）矩阵多项式（重点是计算） w w 矩阵的化零多项式（矩阵的化零多项式（CayleyCayley 定理）定理） w w 最小多项式最小多项式 JordanJordan标准形的应用标准形的应用 w w 相似不变性相似不变性 w w JordanJordan化的方法化的方法 一、矩阵多项式一、矩阵多项式 定义定义 2 2 . . 性质（性质（定理定理2 2 . . 7 7） AX = AX = 0 0 X X g(A)X= g(g(A)X= g( 0 0 ) )X X P P -1 -1 AP =B AP =B P P -1 -1 g(A)P= g(B) g(A)P= g(B) 3 矩阵多项式矩阵多项式 g g( (A A ) ) 的计算的计算 方法：方法： mr g g（J J）的结构特点：的结构特点： 由第一行的元素生成由第一行的元素生成 Jordan块 例题例题1 1 设设 对对P38P38，eg3eg3中的矩阵中的矩阵A A，计算计算g g（A A）。）。 解解 二、矩阵的化零多项式二、矩阵的化零多项式 ( (Annihilating polynomials of Matrices)Annihilating polynomials of Matrices) 问题：问题：A A F Fn nn n ， ， A A 0 0，是否存在非零多项式是否存在非零多项式g g（ （ ） ，使使 得得 g g( ( A A ) )=0=0？ 化零多项式化零多项式（P P. .5252） 如果如果 g g( (A A) ) = 0 = 0，则则g g( ( ) )被称为被称为矩阵矩阵A A的的化零多项式。化零多项式。 要点：要点： 矩阵矩阵A A一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。 g g（ A A ）= 0 = 0 的决定因素。的决定因素。 存在性问题。存在性问题。 CayleyCayley-Hamilton -Hamilton 定理定理（P P. .5252， 定理、定理、2 2 . . 7 7）： A A F Fn nn n， ，f f ( ( ) )= = detdet( ( I I A A) )， ，则则f f ( ( A A ) )= 0= 0。 。 CayleyCayley 定理的应用举例：定理的应用举例： 使使A A k k ( ( k k n n) )降阶至不超过降阶至不超过n-1n-1次的多项式。次的多项式。 f f （ 0 0） 0 0，则则A A的逆矩阵可以用多项式表示。的逆矩阵可以用多项式表示。 对线性变换对线性变换T T，f f ( ( T T) )=0=0，即即f f（ T T ）为零变换。为零变换。 三、最小多项式三、最小多项式 1 1 定义定义（P P. .5454， 定义定义2 2 . . 5 5） w w mm A A （ ）是最小多项式是最小多项式 mm A A （ A A） =0=0 mm A A （ ）在化零多项式中次数最低。在化零多项式中次数最低。 mm A A （ ）最高次项系数是最高次项系数是1 1。 mm A A （ ）整除任何化零多项式整除任何化零多项式 2 2 mm A A （ ）的结构：的结构： 设设 f f （ ）= = I I A A = = 定理定理2 2.8 .8：mm A A （ ）= = 定理定理2 2.9 .9：mm A A （ ）= = 是是 i i对应的对应的JordanJordan块的指数。块的指数。 P P.5 .54 4 3 3 变换对角矩阵表示的条件变换对角矩阵表示的条件 定理定理2 2.10.10：线性变换线性变换T T可以对角化的充要可以对角化的充要 条件是条件是T T的最小多项式是一次因子的乘积的最小多项式是一次因子的乘积 。 例题例题1 1 （P P.56， eg10） 例题例题2 2 设设A A R R4 44 4 ， ，mm A A （ ) ) = = 求矩阵求矩阵A A的所有可能的的所有可能的JordanJordan矩阵。矩阵。 例题例题3 3 设设 是矩阵是矩阵A A的化零多项式，证明的化零多项式，证明A A可以相似于对角矩可以相似于对角矩 阵。阵。 相似问题中的一些矩阵结果相似问题中的一些矩阵结果 1 1. . 幂等矩阵幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂零矩阵和乘方矩阵 幂等矩阵（幂等矩阵（idempotentidempotent）：）： A A 2 2 =A =A 幂零矩阵（幂零矩阵（nilpotentnilpotent）：）： A A 0 0， k k为正整数，为正整数，A A k k =0=0 乘方矩阵（乘方矩阵（involutaryinvolutary）：）： A A 2 2 = = I I A A为幂零矩阵的充要条件是为幂零矩阵的充要条件是A A的特征值都是零。的特征值都是零。 A A为为乘方乘方矩阵的充要条件是矩阵的充要条件是A A相似于矩阵相似于矩阵 A A为幂等矩阵的充要条件是为幂等矩阵的充要条件是A A相似于矩阵相似于矩阵 2 2 ( (p47p47，例题例题8 8) ) 设设A A为阶方阵，证明矩阵为阶方阵，证明矩阵A A和和 A A T T 相似。 相似。 证明思想：证明思想： 证明证明A A和和A AT T 相似 相似 证明证明 Jordan Jordan 矩阵矩阵J J A A 和和J J A A T T 相似相似 证明证明J J A A 和和J J A A T T 的的Jordan Jordan 块块J J和和J J T T 相似相似 。 证明方法：证明方法： 取逆向单位矩阵取逆向单位矩阵S S， 证明：证明：SJ=JSJ=J T TS S （backward identity backward identity ） 3 3、矩阵矩阵A A ， A A T T ， A A 和和A AH H A A 设设A A为为n n 阶方阵，则下列结果成立：阶方阵，则下列结果成立： 矩阵矩阵A A相似于矩阵相似于矩阵A A T T 矩阵矩阵A A相似于矩阵相似于矩阵A AH H的