电力系统分析_1

Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 第四章 輸電線參數 n4.1 序 言 n4.2 架空輸電線 n4.3 線路電阻 n4.4 單導線的電抗 n4.5 單相輸電線的電感 n4.6 以自電感及互電感表示之磁交連 n4.7 三相輸電線的電感 n4.8 合成導線的電感 n4.9 三相雙回路輸電線的電感 n4.10 線路電容 1 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 第四章 輸電線參數 n4.11 單相輸電線的電容 n4.12 在多導線結構中的電位差 n4.13三相輸電線的電容 n4.14 導線捆紮的效應 n4.15三相雙回路輸電線的電容 n4.16 大地對電容的影響 n4.17 磁場感應 n4.18靜電感應 n4.19 電 暈 2 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n輸電網路 (transmission network) 的目的在將散處各地的發 電機組 (generating units) 所產生的電能輸送到配電系統 (distribution system)。 n配電系統是最終供電給負載的系統。輸電線也可將相鄰電 力公司的系統連接在一起。如此，不但在正常情況下，可 做區域內電力的經濟調度 (economic dispatch)；在緊急時 ，亦可做區域間電力的轉供 (transfer of power)。 n在電力系統中的所有輸電線都會顯露出電阻 (resistance)、 電感 (inductance)、電容 (capacitance) 及電導 (conductance) 等電的性質。電感及電容是由於環繞導線四周的磁場及電 場之影響所造成。這些參數是開發電力系統分析用輸電線 模型的要素。 4.1序 言 3 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n並聯電導 (shunt conductance) 係用以闡釋流經絕緣礙子 (insulators) 及空氣中離子化路徑的洩漏電流 (leakage currents) 的。相較於流經輸電線的電流，此一洩漏電流微 不足道，可予以忽略。 4.1序 言 4 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n輸電線之經濟的電壓準位的選擇是依輸送功率大小及輸送 距離而定。電壓的選擇連同導線尺寸的選擇是衡量IR2損 失、可聽見噪音及無線電干擾程度等相對於固定投資成本 的主要程序。 n在美國，標準輸電電壓已被美國國家標準局 (ANSI) 所確 立。運轉在 60 kV 以上的輸電線的輸電電壓已標準化為 69 kV、115 kV、138 kV、161 kV、230 kV、345 kV、500 kV 及 765 kV 線對線。 n輸電電壓超過230 kV者通常稱為超高壓 (extra-high voltage, EHV)；而那些在765 kV或以上者則稱為特高壓 (ultra-high voltage, UHV)。 4.2架空輸電線 5 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n對高壓輸電線而言，最常用的導體材料為鋼心鋁線 (aluminum conductor steel- reinforced, ACSR)、全鋁線 (all- aluminum conductor, AAC)、全鋁合金線 (all-aluminum alloy conductor, AAAC) 及合金心鋁線 (aluminum conductor alloy-reinforced, ACAR)。它們被普遍採用的理由是：相較 於銅導線它們有較低的相對價格及較高的強度對重量比 (strength-to-weight ratio)。 4.2架空輸電線 圖4.1 345 kV 輸電線用之典型格子型架構圖4.2 24/7 ACSR 導線的剖面圖 6 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n導線製造商提供有各標準導線的特性，其導線尺寸係以圓 密爾 (circular mils, cmil) 表示。一密爾等於 0.001 英吋，對 實心圓導體而言，以圓密爾表示的面積之定義為以密爾表 示的直徑之平方。 n舉例而言，1,000,000 cmil 代表直徑為1英吋的實心圓導線 的面積。 n電壓在 230 kV 以上時，一般喜好在每相線路中採用多於一 條的導線，此即所熟知的導線的捆紮 (bundling)。一複導線 係由二、三或四條導線捆紮而成。導線的捆紮可增加線路 導線的有效半徑及減少導線周遭的電場強度；因之，可減 少電暈電力損失 (corona power loss)、減輕可聽見的噪音及 無線電干擾。導線捆紮的另一重要利益是減少線路的電感 值。 4.2架空輸電線 7 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n導線的電阻在輸電效率估算及經濟研究上非常重要。在指 定的溫度下，實心圓導線的直流電阻為： 4.3線路電阻 其中= 導線電阻率、l = 導線長度、A= 導線截面積 n當交流電在導線中流動時，在導線截面積內的電流分布並 不均勻，在導線表面的電流密度最大。這造成了交流電阻 略大於直流電阻的情況。此一行為稱為集膚效應 (skin effect)。在 60 Hz 時，交流電阻值約高於直流電阻值 2%。 8 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n當溫度增高時，導線電阻也會隨之增加。此一變化在正常 所遭遇的溫度範圍內可視為線性的，並可以下式計算之： 4.3線路電阻 n其中R1及R2分別為在t2及t1時的導線電阻。T為依導線材質而 定的溫度常數。對鋁而言， 。 9 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n載有電流的導線會在導線的周圍產生磁場。磁力線為環繞 導線的封閉同心圓，其方向依右手定律決定。以右手拇指 指向電流的方向，其餘各指環繞導線，其所指的方向即為 磁場的方向。當電流改變時，磁力線也跟著改變，並在電 路上感應而生一電壓。依定義，對於非磁性材料而言，電 感 L 為總磁交連數 (total magnetic flux linkage) 與電流 I 的比 ，如下式所示： 4.4單導線的電抗 其中= 磁交鏈，單位為韋伯匝 (Weber turns)。 10 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n考慮一半徑為 r ，載有電流 I 的長圓導線，如圖 4.3 所示。 圍繞一半徑為 x 的圓的磁場強度Hx為一定值，且與此圓相 切。描述Hx與電流Ix之關係的安培定律 (Amperes law) 為： 4.4單導線的電抗 n其中Ix為半徑 x所包圍的電流。如下圖所示，上式正是估算 導線磁交連所需者。導線的電感可以被定義為導線內部及 外部磁交連兩者的貢獻之和。 11 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n忽略集膚效應 (skin effect)，並假設導線截面積內的電流密度 為均勻的，則內磁交連 (internal flux linkage) 的簡易表示式 可以求得為 4.4.1 內電感 n所以，內磁場強度便為： n而對厚度為dx的小區域及導線的一公尺長而言，微量磁通 d為 12 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n磁通dx只與從中心到半徑 x 的部分導線交連，因此，在電 流密度為均勻的假設條件下，只有總電流的x2/r2 部分 與磁通交連，亦即 4.4.1 內電感 註：其中 為自由空間 (或空氣) 的導磁係數， 其值等於 H/m。 13 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n總磁交連數可以由 0 到 r 積分dx 來獲得，如下所示 4.4.1 內電感 n所以，因內磁交連所產生的電感便為： n注意： 與導線半徑 r 無關。 14 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n考慮在導線外部，半徑 x r 的地方的Hx，如下圖所示。因 為，半徑為x的圓包圍了所有的電流，是故Ix=I，於是在半 徑為 x 處的磁通密度為： 4.4.2 由外部磁交連所產生的電感 15 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n因為全部電流 I 與導線外部磁通交連，磁交連數dx在數值 上等於磁通dx。於是，對厚度為dx的小區域及一公尺長的 導線而言，微量磁通dx為： 4.4.2 由外部磁交連所產生的電感 n兩點D1及D2間的外磁交連數可以由D1到D2積分dx來獲得。 n於是，導線外部兩點間的電感為： 16 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 n考慮由兩條半徑為r1及r2的實心圓導線所組成的單相輸電線 的 1 公尺長，如下圖所示。兩條導線的距離為 D。導線 1 承 載相量電流I1，參考方向係流入紙面；導線 2 承載返回電流 I2=-I1。如圖中所示，這些電流會建立磁場線 (magnetic field lines)，且在兩導線間相互交連。 4.5單相輸電線的電感 n因此，要獲得由淨外磁交連所產生的導線 1 的電感，只需將 D1=r1計算到D2=D即可，如上式所示。 17 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.5單相輸電線的電感 n如果兩條導線相同， 及 ，於是線路的每相 每公尺長電感為： n 一項在數學上被定名為半徑為 r 的圓的自幾何平 均距離 (self- geometric mean distance)，簡寫為 GMR。可以 視為一沒有內磁通但與半徑為 r 的真實導線有相同電感的 虛構導線的半徑。GMR 通常稱為幾何平均半徑 (geometric mean radius)，並以Ds表示。因此，以每公里毫亨為單位的 每相電感為： 18 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.6以自電感及互電感表示之磁交連 n上述的單相兩線式線路的每相串聯電感可以各導線的自感（ self-inductance) 及其相互間的互感（mutual inductance) 表示 。考慮單相回路的1公尺長，以兩個自感為L11及L22；互感為 L12的線圈代表。其磁的極性係以點（dot) 為符號加以標示， 如下圖所示。 n對自感及互感而言，可以推論出下列等效表示式： 19 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.6以自電感及互電感表示之磁交連 n自感及互感的概念可以擴展到含 n 根導線的情況 ，導線i 的磁交連為 ： 20 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.7三相輸電線的電感（對稱間距） n考慮由三條導線構成的三相輸電線的 1 公尺長，每條導線的 半徑為 r，採三角形結構對稱配置，如下圖所示。 n因為對稱的關係， ，且三個電感相等。因此，每 相每公里長的電感值為： 21 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.7三相輸電線的電感（非對稱間距） n因為建造上的考量，實際三相輸電線並無法維持導線的對稱 間距。對非對稱間距而言，即使電流為平衡的，由於電感的 關係，電壓降也是不平衡的。考慮由三條導線組成的三相輸 電線的 1 公尺長，每條導線的半徑為 r ，且採如下圖所示距 離之非對稱間距，磁交連 如下式： 22 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.7三相輸電線的電感（非對稱間距） n經過適當的推導可得各相電感為： 其中運算子 及 23 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.7.3 輸電線換位 n在大部分的電力系統分析中都需要輸電線的單相模型 (per- phase model)。重新獲致不錯的對稱性及獲得單相模型的方法 之一是換位 (transposition)。這是由每隔三分之一長即交換相 結構，以使各導線依正規的順序移動至、並佔據下一物理位 置而成。此一換位安排如下圖所示： n因為在換位輸電線中每一相均佔有所有的三個位置，每相 電感可以由平均值來獲得。 24 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.7.3 輸電線換位 n經過計算可得電感L 可表示成下列二式： n時下的輸電線並不常採用換位處理。然而，基於塑型的目的 ，把線路以換位處理則非常實際。此一假設所造成的誤差一 般都非常小。 25 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.8合成導線的電感 n在估算電感值時，實心圓導線常被考慮。然而，在實際的輸 電線中卻常採用絞線。又為了經濟的原因，大部分的超高壓 輸電線以複導線的方式架設。所得結果可用以估算絞線及複 導線的 GMR。它對求解並行回路 (parallel circuits) 的等效 GMR 及 GMD亦非常有用。 n導線 x 的電感為： 26 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.8合成導線的電感 n例題4.1 (chp4ex1) 一絞線由 7 條相同的股線組成，各股線的半徑為 r，如圖所示。 試決定以r表示之導線 GMR。 解：由圖 可知，股線 1 與其他股線間的距離為： 27 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.8.2 複導線的GMR n超高壓輸電線通常以複導線的方式架設。導線捆紮成複導線 可以減少線路的電感，因之，可改善線路的性能及增加線路 的供電容量。 n導線捆紮也可以減少電壓表面梯度 (voltage surface gradient)， 因而改善了電暈損失 (corona loss)、無線電干擾 (radio interference) 及突波阻抗 (surge impedance)。一般而言，複導 線係由二、三或四條子導線以如下圖的結構對稱安排。複導 線中的子導線每隔一段區間會以間隔-減振器 (spacer-dampers) 分開。間隔-減振器可預防碰撞、減少振盪及將子導線並聯連 接等。 28 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.8.2 複導線的GMR n對含兩子導線之複導線而言 n對含三子導線之複導線而言 n對含四子導線之複導線而言 29 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.9三相雙回路輸電線的電感 n三相雙回路輸電線 (three-phase double-circuit line) 係由兩條相 同的三相輸電回路所組成。此兩回路以a1-a2 、b1-b2 及 c1-c2 並聯的方式運轉。 n因為各導線間的幾何位置不同，因線路電感抗所產生的電壓 降也不平衡。為了取得平衡，各相導線必需在其群組內和與 其平行之另一三相線路做相對換位。 30 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.9三相雙回路輸電線的電感 nGMD 法可用來求每相的電感，其中DAB、DBC、DAC分別為： n於是可得每相的等效GMD為： n同樣的，可得各相群的 GMR 為： 31 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.9三相雙回路輸電線的電感 n其中 為複導線的幾何平均半徑。計算每相對中性點電感 用的幾何平均半徑為： n以每公里毫亨利表示之電感為： 32 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.10 線路電容 n輸電線的各導線相互間有電容存在，這是由於它們間有電位 差存在之故。導線間的電容量是導線尺寸、間距及距離地表 之高度的函數。 n導線上的電荷會引生一具幅射狀電力線的電場。總電通量在 數值上係等於在導線上的電荷值。在任一點處，電場的強度 被定義為單位電荷所受的力，定名為電場強度 (electric field intensity)，並標示為 E。 n包圍導線的同心圓柱體表面是等電位面，且有相同的電通密 度 (electric flux density)。依高斯定律 (Gausss law)，對線路 的一公尺長線段而言，半徑為 x 的圓柱體表面的電通密度為 ： 33 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.10 線路電容 n電場強度 E 可從下列關係式求得： 其中0為自由空間的介電係數 (permittivity)，其值等於 8.85*10-12 F/m，於是電場強度 E 如下式： n兩圓柱體間從位置D1至D2的電位差之定義為移動1庫倫之單 位電荷，經過由導線上的電荷所產生的電場，由 D2 至 D1 所做的功。如下式所述： 34 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.11 單相輸電線的電容 n考慮一由兩條半徑為 r 的長實心圓導線所組成的單相輸電線 的一公尺長線段，如下圖所示。兩條導線之間距為 D。導線 1 載有電荷q1庫倫/公尺；導線2 載有電荷 q2 庫倫/公尺。 n依重疊定理，肇因於兩電荷都存在的情況下的電位差為： 35 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.11 單相輸電線的電容 n兩導線間的電容為： n為對中性點的電壓為V12的一半，故對中性點的電容C=2C12 n利用0=8.85*10-12F/m，並轉換至微法拉/公里 (F/km)，可得 ： 36 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.12 在多導線結構中的電位差 n考慮電荷為 庫倫 / 公尺之 n 條平行長導線，如下 圖所示。 n利用重疊定理得知，肇因於所有電荷均存在而產生的導線 i 與 j 間的電位差為： 37 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.13 三相輸電線的電容 n考慮一含三條半徑為 r，導線間距如下圖所示之長導線之三 相輸電線的一公尺長線段。 n因為我們有一平衡三相系統，所以 n我們將忽略大地及遮蔽線的效應，並假設輸電線是有換位的 。我們針對每一換位區段計算 a 與 b 間的電位差： 38 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.13 三相輸電線的電容 n同樣地，對第二個換位區段而言： n對最後一個換位區段而言： n Vab的平均值為： 39 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.13 三相輸電線的電容 n因此，Vab為： n同樣的，我們可以找到平均電壓 Vac為： n Vab +Vac值為： 40 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.13 三相輸電線的電容 n注意：導線的 GMD 出現在對數函數的引數 (arguments) 中 ，為 n同樣的，我們可以找到平均電壓 Vac為： n Vab +Vac值為： 41 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.13 三相輸電線的電容 n對平衡三相電壓而言： n因此 n綜合以上各式，每相對中性點的電容即為： n以微法拉 / 公里表示的每相對中性點電容為 42 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.14 導線捆紮的效應 n求解具複導線的三相輸電線之每相電容的程序與第 3.13 節所 述的程序有相同的步驟。每相電容可以下式求得 n導線捆紮的效應係在引入一等效半徑rb。除了以各子導線的 半徑 r 取代Ds外，等效半徑 類似於前述求電感時所計算得 的 GMR (幾何平均半徑)。假如 d 為複導線的捆紮間距，則對 於有兩子導線的複導線而言 43 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.14 導線捆紮的效應 n求解具複導線的三相輸電線之每相電容的程序與第 3.13 節所 述的程序有相同的步驟。每相電容可以下式求得 n導線捆紮的效應係在引入一等效半徑rb。除了以各子導線的 半徑 r 取代Ds外，等效半徑rb類似於前述求電感時所計算得的 GMR (幾何平均半徑)。假如 d 為複導線的捆紮間距，則對於 有兩子導線的複導線而言： 44 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.14 導線捆紮的效應 n對於有三子導線的複導線而言 n對於有四子導線的複導線而言 45 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.15 三相雙回路輸電線的電容 n考慮一相對位置為 之三相雙回路輸電線，如圖 4.13 所示。各相導線在其群組內和與其平行之另一三相線路 做相對換位。在此平衡的條件下，遮蔽線及大地的效應可考 慮予以忽略。依照第 4.13 節的程序，平均電壓 、 及 可 被計算出來，且每相對地電容可獲得為 n以微法拉 / 公里表示的每相對中性點電容為 46 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.15 三相雙回路輸電線的電容 nGMD的表示式與在求解電感時所得者相同，故得下列方程式 n計算每相對中性點電容用的等效幾何平均半徑為 47 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.16 大地對電容的影響 n對於一隔離且帶電的導線，其電力線呈幅射狀，與圓柱狀等 電位面相正交。大地的呈現將改變電力線與等電位面的分布 ，也因此改變了輸電線的有效電容。 n地平面為一等電位面，因此電力線被迫與大地的表面垂直相 交。大地的呈現所產生的效應可以利用克耳文 (Kelvin) 所創 的影像電荷法 (method of image charges) 來計入。 n為了說明此一方法，考慮一帶有電荷 q 庫倫/公尺，架設高度 為離地表 H 的導線，且假想一電荷 q 置於地表下深 H 處。 此一結構在沒有大地呈現的情況下會產生與原單一電荷及地 表存在時相同的電場分布。因此，對電場電壓的計算而言， 大地可以一與實際線路帶相等但相反電荷，且放置於與實際 線路在地面上相同高度的地表下的虛擬帶電導線取代。此虛 擬導線被稱為實際導線的影像。 48 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.16 大地對電容的影響 n此時，第 4.13 節所述的程序便可以被用來做其電容的計算。 n大地的效應是增加電容。但在正常的情況下，相較於導線間 的間距，導線架設的高度甚大，於是大地的效應可以忽略。 因此，對應用在平衡穩態分析的所有輸電線模型，大地對電 容所產生的效應可以被忽略。然而，對不平衡的分析，如不 平衡故障，則大地及遮蔽線的效應均需加以考慮。 49 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.16 大地對電容的影響 n例題4.2 (chp4ex2) 一 500 kV 三相換位輸電線係由每相一條 ACSR 1,272,000 cmil, 45/7 Bittern 導線所組成，各導線採水平結構架設，如圖 所示。導線直徑為 1.345 in，且GMR 為 0.5328 in。試求此輸 電線每相每公里的電感及電容。 50 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.16 大地對電容的影響 n例題4.2 (chp4ex2) 解： 導線半徑為 可獲得 GMD 為 於是可以計算出每相電感為 又可計算出每相電容為 51 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.17 磁場感應 n輸電線的磁場會影響鄰近輸電線的物體。此一與輸電線電流 有關的磁場會在與輸電線平行且有相當長度的物體，如柵欄 、管路及電話線等上感應而生電壓。 n磁場會受大地返回電流呈現的影響。卡森 (Carson) 14 介紹 一公式用以計算互電阻及電感 (mutual resistance and inductance)，兩者均為大地電阻係數 (earths resistivity) 的函 數。對平衡三相系統而言，總大地返回電流為零。在正常運 轉條件下，鄰近平衡三相輸電線的磁場可以僅考慮導線電流 而忽略大地回流的方式計算。 n有報告指出磁場對血液組成、生長、行為、免疫系統及神經 中樞功能有影響。電磁及靜電場對人類之生物性影響已獲普 遍性重視。長期性的影響是世界上許多研究刻正努力的課題 。 52 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.17 磁場感應 n例題4.7 (chp4ex7) 一條三相未換位輸電線與一條電話線架設在同一座電塔上， 如圖 所示。電力線載有一 60 Hz 每相 200 A 的平衡電流。 電話線位於 b 相的正下方。假設電力線的電流為三相平衡， 試求在每公里電話線上感應而生的電壓。 53 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.17 磁場感應 解：因電流Ia所產生在導線 1 與 2 間的磁交連數為： 因為Db1=Db2，所以因Ib所產生的12為零。又因電流Ic所產生 在導線 1與 2 間的磁交連為： 因所有電流在導線 1 與 2 間所產生的總磁交連數 54 Hadi Saadat 電力系統分析 第二版 4.17 磁場感應 對正相序而言，以Ia為參考， ，我們有 以Ia為參考，瞬時磁交連為： 因此，在電