河南省郑州市2017年高考数学三模试卷（文科）含答案解析

2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的 . 1若集合 A=x|x 0， B=x|（ x+1）（ m x） 0，则 “m 1” 是 “A B ” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2为了解 600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（ ） A 20 B 30 C 40 D 50 3已知 z=m 1+（ m+2） 实数 ） A（ 1， 2） B（ 2， 1） C（ 1， + ） D（ ， 2） 4中国有个名句 “ 运筹帷幄之中，决胜千里之外 ” 其中的 “ 筹 ” 原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表： 表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十 万位用横式表示，以此类推，例如 6613用算筹表示就是： ，则 5288用算筹式可表示为（ ） A B C D 5已知 ，则 的值等于（ ） A B C D 6已知 f（ x） =2x+m，且 f（ 0） =0，函数 f（ x）的图象在点 A（ 1， f（ 1）处的切线的斜率为 3，数列 的前 n，则 ） A B C D 7如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ） A B C D 8已知等比数列 且 a6+，则 a6+值为（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 9若实数 a、 b、 c 0，且（ a+c） （ a+b） =6 2 ，则 2a+b+ ） A 1 B +1 C 2 +2 D 2 2 10椭圆 + =1 的左焦点为 F，直线 x=、 N，当 周长最大时， ） A B C D 11四面体 A D=10， D=2 ， C=2 ，则四面体 A ） A 50 B 100 C 200 D 300 12已知函数 f（ x） = ，且 f=（ ） A 2014 B 2015 C 2016 D 2017 二、填空题（每题 5 分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13设变量 x， ，则目标函数 z=x+2 14已知向量 ， ，若向量 ， 的夹角为 30 ，则实数 m= 15在 角 A， B， a， b， c，已知 b= a， A=2B，则 16在 A= ， 且 | |， 一动点，且 则 p+ 三、解答题（本大题共 7小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17已知数列 等差数列，首项 ，且 的等比中项 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 18 2012年 3月 2日，国家环保部发布了新修订的环境空气质量标准，其中规定：居民区 的 5 微克 /立方米某城市环保部门在 2013年 1月 1日到 2013年 4月 30日这 120天对某居民区的 组别 克 /立方米） 频数（天） 第一组 （ 0， 35 32 第二组 （ 35， 75 64 第三组 （ 75， 115 16 第四组 115以上 8 （ ）在这 120天中抽取 30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？ （ ）在（ I）中所抽取的样本 5（微克 /立方米）的若干天中，随 机抽取 2天，求恰好有一天平均浓度超过 115（微克 /立方米）的概率 19如图，在直三棱柱 底面 等腰直角三角形，且斜边 ，侧棱 ，点 E 在线段 （ 为实数） （ 1）求证：不论 取何值时，恒有 （ 2）当 = 时，求多面体 20已知点 P 是圆 x 1） 2+ 上任意一点，点 1关于原点对称，线段 ， （ 1）求点 的方程； （ 2）过点 的动直线 的轨迹 ， ，使以 直径的圆恒过这个 点？若存在，求出点 不存在，请说明理由 21已知函数 h（ x） =（ x a） ex+a （ 1）若 x ，求函数 h（ x）的最小值； （ 2）当 a=3 时，若对 ， ，使得 h（ 2ae+e+ 成立，求 b 的范围 22以直角坐标系的原点 在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线 l 的参数方程为 ，（ t 为参数， 0 ），曲线 C 的极坐标方程为 2 （ 1）求曲线 （ 2）设直线 相交于 A， 变化时，求 |最小值 23已知函数 f（ x） =|x 5| |x 2| （ 1）若 x R，使得 f（ x） （ 2）求不等式 8x+15+f（ x） 0的解集 2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的 . 1若集合 A=x|x 0， B=x|（ x+1）（ m x） 0，则 “m 1” 是 “A B ” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】集合 A=x|x 0=（ 0， 1）对于 B：（ x+1）（ m x） 0，化为：（ x+1）（ x m） 0，对 1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论 【解答】解：集合 A=x|x 0=（ 0， 1）， 对于 B：（ x+1）（ m x） 0，化为：（ x+1）（ x m） 0， m= 1时， x m 1，解得 1 x m，即 B=（ 1， m） m 1时，解得 m x 1，即 B=（ m， 1） “m 1” “A B ” ，反之不成立，例如取 m= “m 1” 是 “A B ” 的充分而不必要条件 故选： A 2为了解 600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（ ） A 20 B 30 C 40 D 50 【考点】 统抽样方法 【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可 【解答】解：根据系统抽样的特征，得； 从 600名学生中抽取 20个学生，分段间隔为 =30 故选： B 3已知 z=m 1+（ m+2） 实数 ） A（ 1， 2） B（ 2， 1） C（ 1， + ） D（ ， 2） 【考点】 数的代数表示法及其几何意义 【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出 【解答】解： z=m 1+（ m+2） m 1 0， m+2 0，解得 2 m 1 则实数 2， 1） 故选： B 4中国有个名句 “ 运筹帷幄之中，决胜千里之外 ” 其中的 “ 筹 ” 原意是指孙子算经中记载的算筹，古 代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表： 表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如 6613用算筹表示就是： ，则 5288用算筹式可表示为（ ） A B C D 【考点】 纳推理 【分析】根据新定义直接判断即可 【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间， 个位，百位，万位数用纵式表示， 十位，千位，十万位用横式表示， 则 5288 用算筹可表示为 11 ， 故选： C 5已知 ，则 的值等于（ ） A B C D 【考点】 角和与差的正弦函数； 角和与差的余弦函数 【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解 【解答】解： ，可得： ） = ， （ ） =+ ） = 故选： D 6已知 f（ x） =2x+m，且 f（ 0） =0，函数 f（ x）的图象在点 A（ 1， f（ 1）处的切线的斜率为 3，数列 的前 n，则 ） A B C D 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】由题意可设 f（ x） =x2+mx+c，运用导数的几何意义，由条件可得 m， c 的值，求出= = ，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和 【解答】解： f（ x） =2x+m，可设 f（ x） =x2+mx+c， 由 f（ 0） =0，可得 c=0 可得函数 f（ x）的图象在点 A（ 1， f（ 1）处的切线的斜率为 2+m=3， 解得 m=1， 即 f（ x） =x2+x， 则 = = ， 数列 的前 n， 则 + + + =1 = 故选： A 7如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ） A B C D 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体 【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体 这个几何体体积 V= + （ ） 2 2=2+ 故选： A 8已知等比数列 且 a6+，则 a6+值为（ ） A 2 B 4 C 8 D 16 【考点】 8G：等比数列的性质 【分析】将式子 “a 8（ a6+” 展开，由等比数列的性质：若 m， n， p， q N*，且 m+n=p+q，则有 a6+=（ a6+2，将条件代入得到答案 【解答】解：由题意知： a6+= a6+， a6+2=16 故选 D 9若实数 a、 b、 c 0，且（ a+c） （ a+b） =6 2 ，则 2a+b+小值为（ ） A 1 B +1 C 2 +2 D 2 2 【考点】 7F：基本不等式 【分析】根据题意，将 2a+b+c 变形可得 2a+b+c=（ a+c） +（ a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（ a+c） +（ a+b） 2 =2 ，计算可得答案 【解答】解：根据题意， 2a+b+c=（ a+c） +（ a+b）， 又由 a、 b、 c 0，则（ a+c） 0，（ a+b） 0， 则 2a+b+c=（ a+c） +（ a+b） 2 =2 =2（ 1） =2 2， 即 2a+b+ 2， 故选： D 10椭圆 + =1 的左焦点为 F，直线 x=、 N，当 周长最大时， ） A B C D 【考点】 圆的简单性质 【分析】设右焦点为 F ，连接 ， ，由于 |+| |可得当直线 x= c= =1把 c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得 y，即可得出此时 【解答】解：设右焦点为 F ，连接 ， ， |+| | 当直线 x= 由椭圆的定义可得： 4a=4 c= =1 把 c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得 y= 此时 = = 故选： C 11四面体 A D=10， D=2 ， C=2 ，则四面体 A ） A 50 B 100 C 200 D 300 【考点】 柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体 四个面为全等的三角形，所以可在 其每个面补上一个以 10， 2 ， 2 为三边的三角形作为底面，且以分别为 x， y， z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为 x， y， 此能求出球的半径，进而求出球的表面积 【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体 所以可在其每个面补上一个以 10， 2 ， 2 为三边的三角形作为底面， 且以分别为 x， y， z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥， 从而可得到一个长、宽、高分别为 x， y， 并且 x2+00， x2+36， y2+64， 设球半径为 R，则有（ 2R） 2=x2+y2+00， 400， 球的表面积为 S=4R 2=200 故选 C 12已知函数 f（ x） = ，且 f=（ ） A 2014 B 2015 C 2016 D 2017 【考点】 3T：函数的值 【分析】推导出函数 f（ x） =1+ + ，令 h（ x）= ，则 h（ x）是奇函数，由此能求出结果 【解答】解： 函数 f（ x） = ， =1+ + =1+ + ， 令 h（ x） = ， 则 h（ x） = + = h（ x）， 即 h（ x）是奇函数， f=2016， h=1+h（ 2017） =1 h 13设变量 x， ，则目标函数 z=x+24 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 2， 1）， 化目标函数 z=x+2y为 y= ， 由图可知，当直线 y= 过点 线在 故答案为： 4 14已知向量 ， ，若向量 ， 的夹角为 30 ，则实数 m= 【考点】 9S：数量积表示两个向量的夹角 【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得 【解答】解： ， ，向量 ， 的夹角为 30 ， = m+3= 2，求得 ， 故答案为： 15在 角 A， B， a， b， c，已知 b= a， A=2B，则 【考点】 弦定理 【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得 ，进而利用二倍角的余弦函数 公式即可计算得解 【解答】解： A=2B， b= a， 由正弦定理可得： = = =2 ， 1= 故答案为： 16在 A= ， | |， 一动点，且 则 p+ 【考点】 9H：平面向量的基本定理及其意义 【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为 r，对 =p +q 两边平方，建立 p、 用基本不等式求出 p+ 【解答】解：如图所示， A= ， ； 设 | =r，则 O 为 =p +q ， = = 即 p2+， （ p+q） 2=3； 又 0 p 1， 0 q 1， p+q 2 ， = ， 1 （ p+q） 2 （ p+q） 2+1， 解得 1 （ p+q） 2 4， 1 p+q 2； 即 p+ 故答案为： 三、解答题（本大题 共 7小题，共 70分 明过程或演算步骤 .） 17已知数列 等差数列，首项 ，且 的等比中项 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，求数列 前 n 【考点】 8E：数列的求和； 8H：数列递推式 【分析】（ 1）设等差数列的公差为 d，首项 ，且 的等比中项即可求出公差 d，再写出通项公式即可， （ 2）化简 代入数列 前 n 项和 用裂项相消法求出 【解答】解：（ 1）设等差数列 公差为 d，由 ，且 的等比中项 （ 2+2d） 2=（ 3+3d）（ 2+d）， 解得 d=2， an= n 1） d=2+2（ n 1） =2n， （ 2） = = = （ ）， （ + + + + + ） = （ + ） = 18 2012年 3月 2日，国家环保部发布了新修订的环境空气质量标准，其中规定：居民区 的 5 微克 /立方米某城市环保部门在 2013年 1月 1日到 2013年 4月 30日这 120天对某居民区的 组别 克 /立方米） 频数（天） 第一组 （ 0， 35 32 第二组 （ 35， 75 64 第三组 （ 75， 115 16 第四组 115以上 8 （ ）在这 120天中抽取 30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？ （ ）在（ I）中所抽取的样本 5（微克 /立方米）的若干天中，随 机抽取 2天，求恰好有一天平均浓度超过 115（微克 /立方米）的概率 【考点】 典概型及其概率计算公式 ； 层抽样方法 【分析】（ ）由这 120 天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比 得每一组应抽取多少天； （ ）设 平均浓度在（ 75， 115内的 4 天记为 A， B， C， D， 平均浓度在115以上的两天记为 1， 2，列举出从 6天任取 2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克 /立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案 【解答】解：（ ）这 120天中抽取 30 天，应采取分层抽样， 抽样比 k= = ， 第一组抽取 32 =8 天； 第二组抽 取 64 =16 天； 第三组抽取 16 =4 天； 第四组抽取 8 =2天 （ ）设 平均浓度在（ 75， 115内的 4 天记为 A， B， C， D， 平均浓度在115以上的两天记为 1， 2 所以 6天任取 2天的情况有： 12，共 15种 记 “ 恰好有一天平均浓度超过 115（微克 /立方米） ” 为事件 A，其中符合条件的有： 8种 所以，所求事件 = 19如图 ，在直三棱柱 面 等腰直角三角形，且斜边 ，侧棱 ，点 E 在线段 （ 为实数） （ 1）求证：不论 取何值时，恒有 （ 2）当 = 时，求多面体 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积； 线与平面垂直的性质 【分析】（ 1）由已知可得 由 平面 用线面垂直的判定可得 平面 一步得到 （ 2）当 = 时， 再由 等腰直角三角形，且斜边 ，得C=1然后利用 结合等积法得答案 【解答】（ 1）证明： B 的中点， 平面 面 又 面 面 ， 平面 点 面 （ 2）解：当 = 时， 斜边 ， C=1 ， ， 20已知点 P 是圆 x 1） 2+ 上任意一点，点 1关于原点对称，线段 ， （ 1）求点 的方程； （ 2）过点 的动直线 的轨迹 ， ，使以 直径的圆恒过这个点？若存在，求出点 不存在，请说明理由 【考点】 锥曲线的存在性问题； 迹方程； 线与椭圆的位置关系 【分析】（ 1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可 （ 2）直线 设 A（ B（ 联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在 （ 0， m），使以 直径的圆恒过这个点，利用，求得 m= 1推出结果即可 【解答】解：（ 1）由题意得 ， 点 为以 ， 点 的方程为 （ 2）直线 设 A（ B（ 联立 可得 9（ 1+2216=0 由求根公式化简整理得 ， 假设在 y 轴上是否存在定点 Q（ 0， m），使以 直径的圆恒过这个点，则 即 ， = 求得 m= 1 因此，在 （ 0， 1），使以 直径的圆恒过这个点 21已知函数 h（ x） =（ x a） ex+a （ 1）若 x ，求函数 h（ x）的最小值； （ 2）当 a=3 时，若对 ， ，使得 h（ 2ae+e+ 成立，求 b 的范围 【考点】 6E：利用导数求闭区间上函数的最值； 6K：导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】（ 1）求出极值点 x=a 1通过当 a 0 时，当 0 a 2 时，当 a 2 时，利用函数的单调性求解函数的最小值 （ 2 ）令 ， “ 对 ， ， 使 得成立 ” 等价于 “f （ x）在上的最小值不大于 h（ x）在上的最小值 ” 推出 h（ x） f（ x） 过 当 b 1时， 当 1 b 2时， 当 b 2时，分别利用极值与最值求解 【解答】解：（ 1） h（ x） =（ x a+1） h（ x） =0得 x=a 1 当 a 1 1即 a 0 时，在上 h（ x） 0，函数 h（ x） =（ x a） ex+h（ x）的最小值为 当 1 a 1 1即 0 a 2时，在 x 上 h（ x） 0， h（ x）为减函数，在 x 上 h（ x） 0， h（ x）为 增函数 h（ x）的最小值为 h（ a 1） = 1+a 当 a 1 1即 a 2时，在上 h（ x） 0， h（ x）递减， h（ x）的最小值为 h（ 1） =（ 1 a）e+a 综上所述，当 a 0时 h（ x