九年级数学第1章 特殊平行四边形教学案北师大版

1 第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形 1.掌握菱形、矩形、正方形的概念,以及它们之间的关系. 2.理解菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理,并能证明其他相关结论. 3.掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1.经历探索菱形、矩形、正方形的概念、性质与判定的猜想与证明的过程,丰富数学 活动经验,进一步发展合情推理和演绎推理的能力. 2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从 一般到特殊的思考问题的方法,提高发现问题和解决问题的能力. 3.在参与观察、试验、猜想、证明等数学活动中,有意识地渗透试验论证、逆向思维 的思想,提高学生的能力. 1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲. 2.经历图形的分类、性质探讨的过程,掌握图形与几何的基础知识和基本技能.通过 “猜想总结证明应用”的数学活动提升科学素养. 3.提高自主探究的能力和增强与他人合作交流的意识、方法. 四边形是人们日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、菱形、 矩形、正方形等特殊四边形的用处更多.因此,四边形既是几何中的基本图形,也是“空间 与图形”领域中主要研究对象之一.本章是在已经学过的多边形、平行线、三角形、平行 四边形的基础上对菱形、矩形、正方形的有关性质与常用的判定方法的证明与扩充.它们 的探索方法也都与平行四边形的性质和判定的探索方法一脉相承.本章的学习有助于深化 对平行四边形的理解,以及对识图、画图等操作技能的掌握,丰富学生的数学活动经验和体 验,促进其良好数学观的形成. 本章主要渗透归纳、类比、转化等数学思想,注重通过引导探索过程来渗透与展现证 明的思路.此外还要注意引导学生探索证明的不同思路与方法,并进行适当的比较和讨论, 提高分析、寻求证明思路的能力. 【重点】 菱形、矩形、正方形的定义、性质与判定. 【难点】 平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的联系与区别. 1.本章对菱形、矩形的性质与判定的研究,都需要先探索、猜想得到结论后再证明.教 学中,可以利用教科书上的素材,也可以根据实际情况构建更现实、更贴近学生的问题情境,引 导学生进行相关的探索、猜想活动.充分调动学生的积极性与主动性,引导学生探索、发现 2 结论、体会探索结论的各种方法,理解猜想后还应该给予证明的意义,感受合情推理与演绎 推理的关系. 2.在学习本章之前,学生已经掌握几何证明的基本要求、基本步骤和基本方法.本章中 的大部分结论都是先通过合情推理探索,再利用演绎推理加以证明.在教学中应把证明作为 探索活动的自然延续与必要发展,让学生对发现的结论进行分析说明,然后按照几何证明的 要求进行表达,实现合情推理和演绎推理的有机结合.注意通过一定的练习进一步培养学生 的几何证明能力,避免过分追求证明题的数量和证明技巧,把握证明的难度. 3.探索图形有关性质的过程,往往可以启发证明的思路,在教学过程中,应充分考虑探 索与证明的关系,为学生的积极思考创设条件.同时,要鼓励学生大胆探寻新颖独特的证明 思路和证明方法,引导学生与同学在交流中比较证明方法的异同,提高演绎推理的能力. 4.在菱形、矩形、正方形的性质与判定方法的探索与证明的过程中蕴含着一些数学思 想方法,教学中有目的地让学生感悟、领会这些思想方法,并应用于解决相关问题的过程中. 本章教学时间约需 8 课时,具体分配如下: 1 菱形的性质与判定3 课时 2 矩形的性质与判定3 课时 3 正方形的性质与判定2 课时 1 菱形的性质与判定 理解菱形的概念,了解它与平行四边形之间的关系. 1.经历菱形的性质定理与判定定理的探索过程,进一步发展合情推理能力. 2.能够用综合法证明菱形的性质定理与判定定理,进一步发展演绎推理能力. 体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学现象. 【重点】 1.菱形的概念和性质. 2.探索菱形的判定方法 【难点】 菱形的概念和性质在生活中的应用. 第课时 3 探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算. 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养 成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写. 从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图 形的和谐美与对称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快 乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识. 【重点】 菱形的概念和性质. 【难点】 菱形性质的灵活应用. 【教师准备】 1.教师在课前布置学生复习平行四边形的性质,搜集菱形的相关图片. 2.多媒体课件. 3.教师准备菱形纸片,上课前发给学生上课时使用. 【学生准备】 复习平行四边形的性质 导入一: 请同学们观察投影图片中的四边形并回答下列问题: (1)投影图片中有平行四边形吗? (2)这些平行四边形具有哪些特征?其中哪个特征不是平行四边形的性质? 【师生活动】 复习平行四边形的定义及性质. 【学生活动】 自主观察,小组合作交流,探究投影图片中平行四边形的新特征. 导入二: 1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流. 4 2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两 边相等的平行四边形形状的图案? 设计意图 通过这个环节,培养了学生的观察和对比分析能力.提高学生发现数学、 应用数学的意识和学习兴趣. 一、情景交流 过渡语 今天我们来学习一种特殊的平行四边形,让我们一起观察、猜想、探究、 归纳、论证吧! 结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平 行四边形是什么四边形? 【学生活动】 通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四 边形形状的实物. 【教师活动】 投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实 物. 二、学生活动,归纳概念 思路一 请口答下列问题. (1)上述图形都是平行四边形吗? (2)上述图形都有一组邻边相等吗? (3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗? 小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义. 【老师点评】 (1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等. 【课件展示】 像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 思路二 【师】 同学们,在观察上面图片之后,你能从中发现熟悉的图形吗?你能找出它们的 共同特征吗?请同学们观察,图中的平行四边形与黑板上所画的ABCD相比较,还有不同点 吗? 【生】 投影图片中的平行四边形不仅对边相等,而且任意两条邻边也相等. 【师】 同学们观察得很仔细,像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 设计意图 通过这个环节,培养了学生的观察和对比分析能力.让学生观察图形,从 直观上把握菱形的特点,从而给出菱形的定义,让学生明确菱形不但是平行四边形,而且有 5 其特点“一组邻边相等”.同时,让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩,从而提 高学生学习数学的兴趣. 三、共同探究 【想一想】 (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样 的性质吗? 【生】 菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分. (2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流. 【学生活动】 分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言, 并汇总结果. 【教师活动】 教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的 边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导, 激励学生. 【做一做】 请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题: (1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系? (2)菱形中有哪些相等的线段? 【学生活动】 分小组折纸探索答案.组长组织,并汇总结果. 【教师活动】 教师巡视并参与学生活动,引导学生怎样折纸才能得到正确的结论.学 生研讨完毕,教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论,以便于后面的教学. 【师生结论】 (1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,且是菱形的两条对角线所在的 直线,两条对称轴互相垂直.(2)菱形的四条边相等. 设计意图 通过学生自己操作剪、折菱形纸片,探索菱形的对称性,不仅增加学生学 习的兴趣,并为新课归纳菱形的性质做铺垫. 【验证提升】 证明菱形性质 【师】 通过折纸活动,同学们已经对菱形的性质有了初步的理解,下面我们要对菱形 的性质进行严谨的逻辑证明. 【教师活动】 如图所示,在菱形ABCD中,已知ABAD,对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)ABBCCDAD;(2)ACBD. 【师生共析】 (1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边 都相等了. (2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点.又因为在图形中可以 得到相关的等腰三角形,所以就可以利用“三线合一”来证明结论了. 【学生活动】 写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理. 指名学生在黑板上演示证明过程. 证明:(1)菱形ABCD是平行四边形, ABCD,ADBC(平行四边形的对边相等). ABAD, ABBCCDAD. (2)ABAD, ABD是等腰三角形. 6 四边形ABCD是菱形, OBOD(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中, OBOD, AOBD, 即ACBD. 【教师活动】 展示学生的证明过程,进行恰当的点评和鼓励,优化学生的证明方法, 规范学生的书写格式,提高学生的逻辑证明能力. 【教师活动】 请你根据上面的证明,归纳出菱形的性质. 【学生活动】 小组交流,共同总结. 【教师活动】 多媒体课件展示 定理:菱形的四条边相等. 定理:菱形的对角线互相垂直. 最后强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,让学生形成牢固记忆,留 下深刻印象. 设计意图 学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质,教师在参与学生活动的过程 中,应该关注学生的口述论证过程,并根据学生的认知水平加以引导,尽量减少学生推理论 证过程中的困难. 四、展示交流 【教师活动】 例题讲解. (教材例 1)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, BAD60, BD6,求菱形的边长AB和对角线AC的长. 解析 因为菱形的邻边相等,一个内角是 60,这样就可以得到等边三角形ABD, 由BD6 知菱形的边长也是 6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对 角线互相平分,可以得到OB3,根据勾股定理就可以求出OA的长度,再一次根据菱形的对 角线互相平分,即AC2OA,求出AC. 解:四边形ABCD是菱形, ABAD(菱形的四条边相等), ACBD(菱形的对角线互相垂直), OBODBD63(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中,BAD60, ABD是等边三角形.ABBD6. 在 RtAOB中,由勾股定理,得: OA2OB2AB2, OA3, AC2OA6. 知识拓展 (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质; (2)菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定方法. 7 1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质: (1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线; (2)菱形的四条边都相等; (3)菱形的对角线互相垂直平分. 3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理. 1.如图所示,在菱形ABCD中,AB5,BCD120,则对角线AC的长是( ) A.20 B.15 C.10 D.5 解析:因为四边形ABCD是菱形,所以ABCB,CDBA,所以ABC180- BCD180-12060,所以 ABC是等边三角形,所以ACAB5.故选 D. 2.如图所示,菱形ABCD的周长为 8 cm.BAD60,则AC cm. 8 解析:因为菱形ABCD的周长为 8 cm,所以ABAD2 cm.又因为BAD60,所以 ABD是等边三角形,所以BDAB2 cm,所以OBBD1 cm,所以OA(cm),所以AC2 cm.故填 2. 3.如图所示,在四边形ABCD中,ABCD,ABCDBC,则四边形ABCD是菱形吗?为什么? 解:四边形ABCD是菱形. 理由:ABCD,ABCD, 四边形ABCD是平行四边形. 又CDBC, 平行四边形ABCD是菱形. 4.如图所示,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于点E.求证AFDCBE. 证明:四边形ABCD是菱形, CBCD,CA平分BCD. BCEDCE. 又CECE, BCEDCE(SAS). CBECDE. 在菱形ABCD中,ABCD, AFDCDE. AFDCBE. 第 1 课时 菱形的定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形的性质: 菱形的四条边相等 菱形的对角线互相垂直 例 1 一、教材作业 【必做题】 教材第 4 页随堂练习. 9 【选做题】 教材第 4 页习题 1.1 的 1,2 题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.在菱形ABCD中,AB5 cm,则此菱形的周长为( ) A.5 cmB.15 cm C.20 cm D.25 cm 2.菱形的周长为 8 cm,高为 1 cm,则菱形两邻角的度数比为 ( ) A.31B.41C.51D.61 3.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线的长分别为AC6,BD8,则此菱形的边长为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 4.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC交BD于点O,AB8,E是CD的中点,则OE的长等于 . 5.如图所示,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4 和 1,则BC . 6.如图所示,在菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BEDF.求证AEFAFE. 【能力提升】 7.如图所示,两个全等菱形的边长均为 1 cm,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿 菱形的边循环运动,行走 2015 cm 后停下,则这只蚂蚁停在 点. 10 8.已知菱形ABCD的边长为 6,且A60,如果点P是菱形内一点,且PBPD2,那么AP 的长为 . 9.如图所示,在菱形ABCD中,A60,AB4,O为对角线BD的中点,过O点作OEAB,垂 足为E. (1)求ABD的度数; (2)求线段BE的长. 【拓展探究】 10.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC6,BD8,点E,F分别是边AB,BC的中点,点P在 AC上运动,在运动过程中,存在PEPF的最小值,则这个最小值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 11.如图所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC. (1)求证AEEC; (2)当ABC60,CEF60时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由. 【答案与解析】 1.C(解析:因为菱形ABCD的四条边相等,所以菱形的周长为 5420(cm).故选 C.) 2.C(解析:如图所示,因为菱形的周长为 8 cm,所以AD2 cm.因为高DE1 cm,所以 DEAD,所以A30,所以ADC180-30150,所以菱形两邻角的度数比为 51.故选 C.) 11 3.A (解析:因为四边形ABCD是菱形,所以OAAC3,OBBD4,AOB90,所以 AB5.故选 A.) 4.4(解析:因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,且ADAB8.又因为E是CD的 中点,所以OE是 ACD的中位线,所以OEADAB4.故填 4.) 5.5 (解析:因为点A,B在数轴上对应的数为-4 和 1,所以AB1-(-4)5.因为四边形ABCD 是菱形,所以BCAB5.故填 5.) 6.证明:在菱形ABCD中,有ABAD,BD. 在 ABE和 ADF中,ABEADF.AEAF.AEFAFE. 7.G(解析:因为两个全等菱形的边长均为 1 cm,所以蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序 走一圈的路程为 818(cm),20158251(cm)7(cm),所以当蚂蚁走完第 251 圈后 再走 7 cm 正好到达G点.) 8.2 或 4 9.解:(1)在菱形ABCD中,ABAD,A60,ABD为等边三角形.ABD60.(2) 由(1)可知BDAB4.又O为BD的中点,OB2.又OEAB,ABD60, BOE30.BE1. 10.C 11.证明:(1)如图所示,连接AC,BD是菱形ABCD的对角线,BD垂直平分 AC,AEEC.(2)点F是线段BC的中点.理由如下.四边形ABCD是菱形,ABCB.又 ABC60,ABC是等边三角形,BAC60. AEEC,EACACE.CEF60,EAC30.AF是 ABC中BAC的平分 线,BFCF,点F是线段BC的中点. 本课时的主要教学内容为菱形的定义和性质.学生已经学习了平行四边形的性质,这是 本课时知识的基础.关于菱形的定义和性质,就是在平行四边形的基础上,进一步强化条件 得到的.本课时授课思路为“创设情境猜想归纳逻辑证明知识运用”.课堂上 的折纸活动,可以让学生直观感知图形的特点,还可以激发学生学习的兴趣和积极性. 12 教师应该留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其 他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问. 教师要引导学生积极思考,抓住表面现象中的本质.在性质的证明和应用过程中,教师 要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生 在与其他同学的交流中进行证明方法的比较,优化证明方法,有利于提高学生的逻辑思维水 平. 随堂练习(教材第 4 页) 解:根据菱形的对角线互相垂直,可知 AOB是直角三角形,由勾股定理可求出OB3 cm, 再根据菱形的对角线互相平分可得BD2OB6 cm. 习题 1.1(教材第 4 页) 1.证明:在菱形ABCD中,ABBC,BCAD,BBAD180, BAD2B,B60,又BABC,ABC是等边三角形. 2.解:四边形ABCD 是菱形, ADDCCBBA,ACBD,AOAC84,DOBD63,在 RtAOD中,由勾股定理, 得AD5. 菱形ABCD的周长为 4AD4520. 3.证明:在菱形ABCD中,ADAB,ACBD,AC平分DAB,同理,CA平分DCB,BD平分 ABC和ADC. 4.解:共有 4 个等腰三角形,分别为 BAD,BCD,ADC,ABC.共有 4 个直角三角形,分别 为 AOB,AOD,COD,BOC. (1)在折纸过程中,教师要与学生探讨折纸的方法,明确折叠过程中的对应点及相应的 对称轴,便于学生正确迅速地找出菱形中的对称关系.掌握数学知识离不开“实践认识 再实践认识”这个重要的学习方法,通过说理论证可以使学生充分理解菱形的性 质,在这个过程中,教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨性. (2)类比方法是数学中重要的方法,所以本课时类比以前学过的平行四边形的有关概念、 性质,让学生通过自主学习,共同探究,很自然地突破了重难点. (3)本课时重难点、易错点的掌握要通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与, 培养合作意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学 生在快乐中掌握知识. (2014莆田中考)如图所示,菱形ABCD的边长为 4,BAD120.点E是AB 的中点,点F是AC上的一动点,则EFBF的最小值是 . 13 解析 如图所示,连接DE,EC,DF,则BFDF.四边形ABCD为菱形,BAD120, ABC60.ABC为等边三角形.E是AB的中点,CEAB,CECD.在 RtBEC 中,ABC60,BC4,BEBC2,CE2.在 RtECD中,CE2,DC4,ED2.根据 两点之间线段最短,可知EFDF的最小值为 2.EFBF的最小值为 2.故填 2. 第课时 1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算. 2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思 维能力. 尝试从不同角度寻求菱形的判定方法,并能有效地解决问题,尝试比较不同判定方法之 间的差异,并获得判定四边形是菱形的经验. 启发引导学生理解探索结论和证明结论的过程,掌握合情推理与演绎推理的相互依赖 和相互补充的辩证关系,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好习惯. 【重点】 探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法. 【难点】 明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达. 【教师准备】 木条和橡皮筋 【学生准备】 复习上课时的相关知识. 14 导入一: 人们戴的帽子的形状千奇百怪,有一段时间,电视上经常看到大学生戴的菱形帽,它是 受到外国博士帽的启发.在日本,到第二次世界大战为止,戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴 上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉. 那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢? 导入二: 什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法? 教师提示:判定方法应该从三个方面分析: 边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边 形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 那么,菱形的判定有什么方法呢? 设计意图 通过类比的方法引导学生发现判定菱形的方法. 一、由菱形的定义判定 过渡语 接下来我们研究怎样判断一个四边形是菱形. 【学生活动】 明确菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 【思考】 除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判 定菱形的其他方法吗? 二、菱形的判定(1) 思路一 已知:在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,ACBD.求证ABCD是菱形. 证明:四边形ABCD是平行四边形, OAOC. ACBD, BD所在的直线是线段AC的垂直平分线. BABC. ABCD是菱形(菱形的定义). 【思考】 从上述证明过程中,你得出什么结论? 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 思路二 【学生活动】 用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可动 的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形. 15 (1)转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗? 猜想:四边形的对角线互相平分. (2)继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形? 猜想:当木条互相垂直时,平行四边形的一组邻边相等,此时四边形为菱形. (3)你能证明你的猜想吗? 猜想:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形. 已知:在ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证ABCD是菱形. 证明:四边形ABCD是平行四边形, OAOC(平行四边形的对角线互相平分). 又ACBD, BD所在的直线是线段AC的垂直平分线, ABBC, ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 三、菱形的判定(2) 过渡语 菱形的判定还有其他的方法吗? 思路一 学生先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧 的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形? 请你画一画. 通过探究,容易得到:四条边相等的四边形是菱形. 证明上述结论. 设计意图 采用观察、操作、交流、演绎的手法来突破难点,通过严谨的推理和证 明培养学生的几何思维. 思路二 问题 我们如何画一个菱形呢?通常先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB 长为半径画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD即可. 16 【学生活动】 (1)观察画图的过程,你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?学生思 考后,展开讨论寻找原因. 原因:这个四边形的四条边相等,根据菱形定义即可判定. (2)你能得出什么结论? 学生得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形. 设计意图 通过教师画图演示,让学生从直观操作的角度去发现问题,使探究的问题 形象化、具体化,培养学生的形象思维能力.利用平行四边形的判定和菱形的定义判定该四 边形是菱形,进一步提高学生的抽象思维能力.本活动进一步体现了试验几何和论证几何的 有机结合. 猜想:四条边相等的四边形是菱形. 如图所示,在四边形ABCD,已知ABBCCDDA. 求证四边形ABCD是菱形. 证明:ABCD,BCAD, 四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). 又ABBC, 平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). 设计意图 由菱形的定义得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的 四边形是菱形,并激发学生探究的欲望. 知识拓展 四条边相等的四边形是菱形. 在ABCD中,已知对角线AC与BD相交于点O,AB,OA2,OB1. 求证ABCD是菱形. 证明:在 AOB中,AB,OA2,OB1, AB2AO2OB2. AOB是直角三角形,即AOB是直角. ACBD. ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形). 知识拓展 (1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证 明. (2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理. 17 1.下列命题正确的是( ) A.对角线互相平分的四边形是菱形 B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 答案:D 2.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( ) A.等腰梯形B.正方形 C.长方形D.菱形 答案:D 3.如图所示,在 ABC中,ADBC于D,点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点.求证四边形 AEDF是菱形. 解析:首先判定四边形AEDF是平行四边形,然后连接EF证明EFAD,利用对角线互相 垂直的平行四边形是菱形来判定. 证明:点D,E,F分别是BC,AB,AC的中点, DEAC,DFAB, 四边形AEDF是平行四边形. 连接EF,如图所示, 点E,F分别是AB和AC的中点, EFBC. 18 又ADBC,ADEF, 平行四边形AEDF是菱形. 第 2 课时 1.根据菱形的定义进行判定 2.定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.定理:四条边相等的四边形是菱形 例 1 例 2 一、教材作业 【必做题】 教材第 7 页随堂练习. 【选做题】 教材第 7 页习题 1.2 的 1,2 题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列说法正确的是( ) A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B.四条边都相等的四边形是菱形 C.一组邻边相等的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是菱形 2.已知ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:ACBD;ABBC;AC平分 BAD;AODO.使得ABCD是菱形的条件有 ( ) A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 3.如图所示,如果要使ABCD成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件是 . 4.如图所示,点E,F,G,H分别是四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边满 足条件: 时,四边形EFGH是菱形. 【能力提升】 5.如图所示,在 ABC中,CD平分ACB交AB于点D,DEAC交BC于点E,DFBC交AC于 点F.求证四边形DECF是菱形. 19 6.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线EFBD,分别 交AD,BC于点E,F,求证四边形BEDF是菱形. 【拓展探究】 7.如图所示,分别以 ABC的三边为边在BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形BCE,等 边三角形ACF,请回答下列问题: (1)四边形ADEF是什么四边形? (2)当 ABC满足什么条件时,四边形ADEF为菱形? (3)当 ABC满足什么条件时,以A,D,E,F为顶点的四边形不存在? 【答案与解析】 1.B 2.C 3.ABAD(答案不唯一) 4.ABCD 5.证明:如图所示,DEAC,DFBC, 四边形DECF为平行四边形,23. CD平分ACB, 12. 13, DEEC. 平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). 20 6.证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC,OBOD. EDOFBO,OEDOFB. OEDOFB. DEBF. 又EDBF, 四边形BEDF是平行四边形. EFBD, BEDF是菱形. 7.解:(1)四边形ADEF是平行四边形. (2)当ABAC时,四边形ADEF为菱形. (3)当BAC60时,DAF180,即D,A,F三点在一条直线上,此时以A,D,E,F为顶点 的四边形不存在. 为了体现新课标的要求,在菱形判定的教学方面,采用直观操作与几何论证相结合的探 究式的教学方法,既关注学生学习的结果,也关注他们学习的过程,进一步培养学生的形象 思维和逻辑推理能力,学生采用动手试验、自主探索与合作交流相结合的方式,使学习过程 直观化、形象化. 学习过程中要做到以学生为主体,这方面做得 不够到位.应该让学生自己动手探索并完成结论的证明,使学生觉得自己进行的探索是 有意义的,有价值的,也是有科学性的、有创造性的,从而培养他们树立自主学习的信心. 作业要更加合理,做到既有巩固新知识的基础性较强的习题,又有综合性较强、解题思 路较灵活的选做题,尽量满足不同层次的学生的要求. 随堂练习(教材第 7 页) 解:所画菱形ABCD如图所示,使对角线AC6 cm,BD4 cm. 21 习题 1.2(教材第 7 页) 1.证明:在平行四边形ABCD中,AEFC,EAOFCO,EF垂直平分AC,AOCO,又 AOECOF,AOECOF,OEOF.又OAOC,EFAC,四边形AFCE是菱形. 2.证明:四边形ABCD是菱形,OBOD,OAOC,ACBD.E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD 的中点,OHOF,OEOG,又HFEG,四边形EFGH是菱形. 3.解:四边形CDCE是菱形.证明如下:由题意得 CDCE,CDCD,ADBC,DCEBEC,CBEC,CEDC.四边形 CDCE是平行四边形.又CDCD,四边形CDCE是菱形. 如图所示,将一张正方形纸片经两次对折,并剪出一个菱形小洞后展开铺平,得到的图 形是( ) 答案 D 第课时 菱形面积的特殊计算方法. 22 通过三角形、平行四边形等特殊图形面积的计算,类比推导出菱形面积的计算方法. 培养类比推导的数学思维习惯,鼓励探索尝试精神. 【重点】 菱形面积计算的特殊方法. 【难点】 菱形面积计算的特殊方法的总结. 【教师准备】 课堂上演练的习题. 【学生准备】 复习巩固前面 2 个课时所学的内容. 导入一: 同学们已经了解了三角形、正方形、平行四边形等图形面积的计算,那么菱形的面积 怎样计算呢? 导入二: 如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD6 cm,ABC60,则四边形ABCD的面积等于 . 你能解答这个问题吗? 过渡语 我们借助三角形和平行四边形面积的计算方法,能不能计算出菱形的面积 呢? 菱形的面积计算 问题 (教材例 3)如图所示,四边形ABCD是边长为 13 cm 的菱形,其中对角线BD长 10 cm.求: 23 (1)对角线AC的长度; (2)菱形ABCD的面积. 解:(1)四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点E, AED90(菱形的对角线互相垂直), DEBD105(cm)(菱形的对角线互相平分). AE12(cm). AC2AE21224(cm)(菱形的对角线互相平分). (2)菱形ABCD的面积 ABD的面积CBD的面积 2ABD的面积 2BDAE 21012 120( cm2). 【思考】 如果例 3 中,已知菱形ABCD的两条对角线的长度为 12 cm 和 10 cm,怎样 直接计算出菱形的面积? 知识拓展 菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半. 菱形是特殊的平行四边形,所以平行四边形的面积公式同样适用于菱形,即“底高”,要 注意底与高必须是相互对应的.另外由于菱形的特殊性,它的面积等于其两条对角线长的乘 积的一半. 1.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线相交于点O,ABC的面积为 2,菱形ABCD的 面积是 . 24 答案:4 2.菱形的两条对角线长是 8 cm 和 10 cm,则菱形的面积是 cm2. 答案:40 3.一个菱形的两条对角线长分别为 7 cm 和 8 cm,则这个菱形面积为 ( ) A.56 cm2B.28 cm2 C.14 cm2D.36 cm2 答案:B 4.如图所示,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分 成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8 时,则阴影部分的面积为 . 解析:根据菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半求出面积,再根据中心对称的性质 判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答.菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8,菱形的面积6824,由中心对称的性质,得阴影部分的面积2412.故填 12. 第 3 课时 例 3 结论:菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半 一、教材作业 【必做题】 教材第 9 页随堂练习的 1,2 题 【选做题】 教材第 9 页习题 1.3 的 4 题 二、课后作业 【基础巩固】 1.如图所示,菱形ABCD的周长是 20,对角线AC,BD相交于点O,若BD6,则菱形ABCD的面 积是( ) A.6 B.12C.24D.48 25 2.(2014陕西中考)如图所示,在菱形ABCD中,AB5,对角线AC6.若过点A作AEBC, 垂足为E,则AE的长为 ( ) A.4 B.C.D.5 3.(2014兰州中考)如果菱形的两条对角线的长为a和b,且a,b满足(a-1)20,那么菱 形的面积等于 . 4.已知菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,并且CABD12,若AB3,求菱形ABCD的面积. 【能力提升】 5.如图所示,在菱形ABCD中,E是AB边上一点,且AEDF60,有下列结论: AEBF;DEF是等边三角形;BEF是等腰三角形;ADEBEF.其中结论正确 的个数是( ) A.3 B.4 C.1 D.2 6.如图所示,AD是 ABC的角平分线,DEAC交AB于点E,DFAB交AC于点F.四边形 AEDF是菱形吗?说明你的理由. 【拓展探究】 7.如图所示,在矩形ABCD中,AB4 cm,BC8 cm.点P从点D出发向点A运动,同时点Q从 点B出发向点C运动,点P,Q的速度都是 1 cm/s,在运动过程中,四边形AQCP可能是菱形 吗?如果可能,那么经过多少秒后,四边形AQCP是菱形?此时求出菱形AQCP的周长和面积. 26 【答案与解析】 1.C 2.C 3.2 4.解:设CAx,BD2x,则OAACx,OBx,所以x29,即x2x29,x2,所以S菱形 ABCDx2xx2. 5.A (解析:首先连接BD,易证得 ADEBDF,然后可证得DEDF,AEBF,即可得 DEF 是等边三角形,然后可证得ADEBEF.) 6.解:四边形AEDF是菱形.理由如下. DEAC,ADEDAF. AD是 ABC的角平分线,DAEDAF,ADEDAE,AEED. 又DEAC,DFAB, 四边形AEDF是平行四边形, 平行四边形AEDF是菱形. 7.解析:(1)设经过x s 后,四边形AQCP是菱形,根据菱形的四条边相等列方程即可求得所 需的时间.(2)根据(1)可求得菱形的边长,从而求得其周长及面积. 解:四边形AQCP可能是菱形. 设经过x s 后,四边形AQCP是菱形, 由题意,得 42x2(8-x)2,解得x3, 即经过 3 s 后,四边形AQCP是菱形. 此时菱形的边长为 5, 菱形AQCP的周长5420(cm), 菱形AQCP的面积5420(cm2). 本课时的重点是在计算三角形面积和平行四边形面积的基础上计算菱形的面积,充分 利用知识的迁移,通过类比,顺利地实现了本课时的教学目标. 在处理菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半的时候,应该提醒学生容易出错的地 方,特别是这种计算方法只适合菱形,而不适合一般的平行四边形. 在处理本课时教材的例题的时候,可以让学生自己去交流和证明,并鼓励学生用不同的 思路去证明同一结论. 随堂练习(教材第 9 页) 1.提示:(1)菱形的每一个内角的度数分别为 60,120,60,120. (2)另一条对角线 的长为 210. 2.证明:DE是BC的垂直平分线,DEBC,BDDC,BECE,又ACB90,即 ACBC,DEAC,又D为BC中点,E为AB边的中点,CEAEBE,BAC60, ACE是正三角形,CEAC.在 AEF中,AEFDEBCAB60,而AFCE,又 27 CEAE,AEAF,AEF也为正三角形,AFEF,CEACAFEF,四边形ACEF为 菱形. 习题 1.3(教材第 9 页) 1.证明:(1)四边形ABCD是菱形, ABBC,ADCD,AC,BEBF,AECF,ADECDF. (2)由(1)知 ADECDF,DEDF,DEFDFE. 2.证明:如图所示,在菱形ABCD中,ACBD,S菱形ABCDSABCSADCACOBAC ODAC(OBOD)ACBD. 3.解:四边形ABCD是菱形,AC16,BD12,ACBD,AOOCAC8,BOODBD6. 在 RtAOB中,由勾股定理得AB10,S菱形 ABCDACBDABDH,161210DH,DH9.6. 4.证明:四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,DC,AC,BD的中点, FGAD,HEAD,FHBC,GEBC.ADBC,FGFHHEEG.四边形EGFH是菱形. 如果仅知道菱形两条对角线的长,你能求出菱形的面积吗? 画图,想想菱形的对角线有什么特殊的地方呢? 不难发现,菱形的对角线将菱形分成了四个直角三角形(如图(1)所示),这四个直角三 角形还是全等的呢!(你能证明吗?) 于是菱形的面积就等于这四个直角三角形的面积之和,即S菱形 ABCDSADOSABOSCDOSBCO 28 4SADO44 ACBDACBD. 原来菱形的面积还可以由对角线长求出呀! 回顾一下解决问题的过程.我们解决问题的切入点是菱形的对角线互相垂直平分,如果 将条件改为“对角线互相垂直”,此时四边形的面积还能利用对角线长的乘积的一半表示 吗?这时和菱形情况类似,如图(2)所示四边形也被对角线分成四个直角三角形,那么S四边形 ABCDSADOSABOSCDOSBCOAOODAOBOOCODBOOCAO(ODOB) OC(ODOB)(AOOC)BDACBD. 2 矩形的性质与判定 1.掌握矩形的定义,理解矩形与平行四边形的关系. 2.理解并掌握矩形的性质及判定定理,会用矩形的性质及判定定理进行推导证明. 3.会初步运用矩形的定义、性质、判定来解决有关问题,进一步培养学生的分析能力. 1.经历探索矩形的概念、性质、判定的过程,发展学生合情推理的意识. 2.通过灵活运用矩形的性质和判定定理解决有关问题,掌握几何思维方法,并渗透运动 联系、从量变到质变的观点. 3.从矩形与平行四边形的区别与联系中,体会特殊与一般的关系. 1.在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中,体验数学知识充满探索性和创造性,感 受证明的必要性,提高严谨的推理能力,体会逻辑推理的思维价值. 2.通过小组合作展示活动,培养学生的合作意识和学习的自信心. 3.通过对实际问题的操作提高学生学会综合运用知识的能力,并能在此过程中让学生 感受解决问题后的成就感,提高他们对数学的学习兴趣. 【重点】 1.矩形的性质及判定. 2.直角三角形斜边上的中线和斜边的关系. 【难点】 矩形性质的灵活运用. 第课时 29 1.掌握矩形的概念和性质,理解矩形与平行四边形的区别和联系. 2.会初步运用矩形的概念和性质解决有关问题. 1.经历探索矩形的概念和性质的过程,渗透运动联系,从量变到质变的观点. 2.通过灵活运用矩形的性质解决有关问题,渗透几何思维方法. 1.通过小组合作展示活动,培养学生的合作意识和树立学习的自信心. 2.通过探究学习,培养学生严谨的推理能力,体会逻辑思维推理的价值. 【重点】 矩形的性质. 【难点】 矩形的性质的灵活应用. 【教师准备】 演示活动的平行四边形框架. 【学生准备】 课前预习矩形的性质,准备矩形纸片. 导入一: 回答下列问题: 【问题 1】 什么叫做平行四边形?它具有哪些性质? 【问题 2】 想一想,这里面展示的物体都是一些什么形状的图形? 【师】 咱们中国有句古话“不以规矩,不成方圆.”“方”指的就是我们小学学过的 长方形、正方形,“矩”就是古代画“方”的一种