七年级数学思维探究（28）实验与操作（含答案）

王选（ 1937 江苏无锡人， 1958年毕业于北京大学数学系，从事计算机科学的研究 他于 1976年设计出一套把汉字轮廓快速复原成点阵的算法，进一步研究于 20 世纪 80 年代研制出 “激光照排系统 ”，并在全国的报社、出版社和印刷厂使用，使中国的印刷业告别 “铅与火 ”的历史 他是中国科学院院士，中国工程院院士，激光照排实现了汉字印刷的革命性创造 28 实验与操作 解读课标 数学实验指的是为了探究数学知识、发现数学结论或假设而进行的某种操作、试验或思维活动 数学实验是通过操作或借助计算机技术，从而获得经验，发现规律，进而解决问题，构建知识和促进发展 在一定的规则下进行某种 实验或操作，问是否或证明能够达到一个预期的目的，这就是实验操作题 数学实验操作题常借助两种手段完成：一是动手操作，运用事物或教具进行实验与操作；二是以计算机软件的应用为平台，模拟实验，利用数学模型解决问题 这类问题强调手脑并用，注重在 “做 ”的过程中体验问题情境和经历解决、研究问题的 过程 有效的数学学习不是单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索是学习数学 的重要方法 解实验操作题的关键是：在实验与操作获得直观形象经验的基础上，能发现规 律，或成功转化为一个数学问题 问题解决 例 1 循环往复 图中的程序表示，输入一个整数 x 便会按程序进行计算 设输入的 x 值为 18，那么根据程序，第 1次计算的结果是 9 ；第 2 次计算的结果是 4 ， 这样下去第5 次计算的结果是 _，第 2009次计算的结果是 _ 试一试 从具体的运算中找规律 例 2 将一个正方形纸片依次按图 、图 方式对折，然后沿图 中的虚线裁剪 最后将图 的纸再展开铺平，所看到的图案是 （ ） A B C D 试一试 既可以亲自裁剪，又可以按照折纸的先后顺序，逐步倒推 例 3 如图，有一正方形，通过多次划分，得到若干个正方形，具体操作如下： 第 1次把它等分成 4 个小正方形，第 2 次将上次分成小正方形的其中一个又等分成 4 个小正方形 依此操作下去 （ 1） 请通过观察和猜想，将第 3 次、第 4 次和第 n 次划分图中得到的正方形总个数 m 填入下表 将得数当做 次计算满1 万次x2 x 是偶数时( )x -5 x 是奇数时( )输入 向上对折( )图 向右对折( )图 图 第 1次( ) 第 2次( ) 第 3次( )次数（ n ） 1 2 3 4 n 正方形总个数（ m ） 5 9 （ 2）请你推断 ， 按上述 操作方法，能否得到 103个正方形？为什么？ 试一试 略 例 4 有 1997枚硬币，其中 1000枚国徽朝上， 997枚国徽朝下 现在要求每一次翻转其中任意 6 枚，使它们的国徽朝向相反 问：能否经过有限次翻转后，使所有硬币的国徽都朝上？给出你的结论，并给出证明 试一试 国徽朝上朝下具有相反意义，将国徽朝上赋值 “1 ”，朝下赋值 “1 ” 这样，若干枚国徽的朝向情况可用若干个数的乘积来表示，把一个实际操作 题转化为一个数学问题 例 5 在 22 方格纸中，以格点连线为边作面积为 2 的多边形（含凹多边形），请尽可能多地找出答案，在寻找答案的过程中你能发现什么规律吗？ 分析与解 若没有规律性的认识，则要无遗漏重复地找出全部解答是困难的 恰当的方法是：选择一些图形作基本图形，通过基本图形的组合找出解答，可将下列 7 个图形作为基本图形： 由此可得如下 23 个解答，其中凸多边形 7 个，凹多边形 16个： 俄罗斯方块 例 6 游戏机的 “方块 ”中共有下面 7 种图形，每种 “方块 ”都由 4 个 11 的小方格组成 现用这 7 种图形拼成一个 74 的长方形（可以重复使用某些图形） 问：最多可以用这 7 种图形中的几种图形？ 分析与解 为了形象化地说明问题，对 74 的长方形的 28 个小方格黑白相间染色，除 “品 ”字形必占 3 个黑格 1个白格或 3 个白格 1个黑格外，其余 6 个方块各占 2 个黑格 2 个白格 用其中的 6 种不同的图形方块可以拼成 74 的长方形，方法很多，如图 仅出示一种 下面证明不能 7 种图形方块都各用一次，将 74 的长方形的 28 个小方格黑白相间染色，则如图 所示，黑、白格各 14个，若 74 的长方形能用 7 种不同的方块拼成，则每个方块用到一次且只用一次 其中“品 ”字形如图 必占 3 个黑格 1个白格或 3 个白格 1个黑格，其余 6 个方块各占 2 个黑格 2 个白格 7 种不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个，不会等于 14 矛盾 因此，不存在 7 种图形方块每个各用一次拼成 74 的长方形的方法 1( ) 2( ) 3( ) 4( ) 5( ) 6( ) 7( )1( ) 2( ) 3( ) 4( ) 5( ) 6( ) 7( ) 8( )9( ) 10( ) 11( ) 12( ) 13( ) 14( ) 15( ) 16( )17( ) 18( ) 19( ) 20( ) 21( ) 21( ) 23( )所出，要拼成 74 的长方形，最多可以用这 7 种图形方块中的 6 种 数学冲浪 知识技能广场 1 乐在其中 七巧板的起源要追溯到我国先秦时期，古算书周髀算经中即有正方形分 割术，经历代演变而成 “七巧图 ”（又称为 “益智图 ”和 “智慧板 ”，如图 ） 19世纪传到国外，多称其为 “唐图 ”（意为 “来自中国的拼图 ”），引起人们的极大兴趣，欧美许多国家纷纷出版书籍予以介绍 如果有一副七巧板的总面积是 100平方厘米，那么其中正方形的那一块的面积是 _平方厘米 图 “乐在其中 ”的每个字都是由一副七巧板摆拼所得，请在图中用线段画出模块之间的 “拼缝 ” 2 如图，在 33 的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 _种 3 如图，将长度为 20宽为 2长方形的纸带，折成如图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为 _ 2 4 定义一种对正整数 n 的 “F ”运算： 当 n 为奇数时，结果为 35n ； 当 n 为偶数时，结果为2中 k 是使2并且运算重复进行 例如：取 26n ，则2 6 1 3 4 4 1 1F F F 第 一 次 第 二 次 第 三 次 若 449n ，则第 449 次 “F ”运算的结果是 _ 5 图中的大正三角形是由 9 个相同的小正三角形拼成的，将其部分涂黑，如图 、 所示 观察图 、图 中涂黑部分构成的图案 它们具有如下特征： 都是轴对称图形， 涂黑部分都是三个小正三角形 请在图 、图 内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征 图 图 图 图 图 思维方法天地 6 折折剪剪 一张正方形纸片，通过两次对折，然后按阴影部分进行裁剪并展开，可以得到如图 （ 1） 末的 “蝴蝶结 ”： 请你仿图 ，将下面 的 正方形纸片经过两次对折后裁剪并展开，得到如图 末的图形，请画出虚线和实线表示折叠过程，并用阴影表示剪去的部分 7 把四个完全相同的空啤酒瓶放置在桌面上，使得四个啤酒瓶底中心的距离两两相等 请写出摆法关键步骤（可画图辅助说明）：_ 8 方格纸上有 3 个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？ 9 有依次排列的 3 个数： 3 ， 9 ， 8 对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串： 3 ， 6 ， 9 ， 1 ， 8 ，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串： 3 ， 3 ， 6 ， 3 ， 9 ， 10 ， 1 ， 9 ， 8 继续依次操作下去 问：从数串 3 ，9 ， 8 开始操作至第 100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？ 10 有三堆石子的个数分别是 19， 8 ， 9 ，现在进行如下的操作：每次从这三堆石子中的任意两堆中各取出 1个石子，然后把这 2 个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得： （ 1） 三堆石子的数分别是 2 ， 12， 22 ； （ 2） 三堆都是 12 如能，请用最快的操作完成；不能，则说明理由 注：若从第一、二堆各取 1个到第三堆，可表示为 1 9 , 8 , 9 1 8 , 7 , 1 1 等 图 图 图 图 裁剪并展开第二次对折第一次对折11 如图 a 所示的展览馆有 36 个陈列室，每两个相邻陈列室之间有门可通，其入口与出口位置如图 b 所示，现有人希望每个陈列室都能参观，但只经过每个展室一次，这可能吗？如果可能，请为他设计一条参观路线；如不可能，请说明理由 应用探究乐园 12 如图是一张 “35 ”（表示边长分别为 3 和 5 ）的长方形，现要把它分成若干张边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两张纸片都不完全相同 （ 1） 能否分成 5 张满足上述条件的纸片？ （ 2） 能否分成 6 张满足上述条件的纸片 ？ 若能分，用 “”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由 13 图形的操作过程 （本题中四个矩形的水平方向的边长均为 a ，竖直方向的边长均为 b ） 在图 中， 将线段 12右平移 1个单位到 12得到封闭图形 1 2 2 1 ，（即阴影部分）； 在图 中，将折线 1 2 3右平移 1个单位到 1 2 3得到封闭图形 1 2 3 3 2 1A A A B B B （即阴影部分） （ 1） 在图 中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移 1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影； （ 2） 请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： 1S _， 2S _， 3S _； （ 3） 联想与探索： 如图 ，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是 1 个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的 微探究 设而不求 字母示数是代数的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃 字母示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用 为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义 例 1 老师报出一个 5 位数，同学们将它的顺序倒排后得到的 5 位数减去原数，甲、乙、丙、丁的结果分别是 34567 ， 34056 ， 23456 ， 34956 ，老师判定 4 个结果中只有 1 个正确，答对的是 _ A 2 B 2B 1A 1图 B 3A 3B 2A 2A 1 B 1图 图 草地草地路小试一试 设原数为 化简并判断 e 的特征 例 2 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失 10% 假设不计超市其他费用，如果超市要想获得 20% 的利润，那么这种水果的售价在进价基础上应至少提高 （ ） A 40% B C D 30% 试一试 若要表示利润，则需指明质量、进价 例 3 某地区 民 用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价 某户 8 月份白天时段用电量比晚间时段用电量多 50% ， 9 月份白天时段用电量比 8 月份白 天时段用电量少 60% ，结果 9 月份的用电量虽比 8月份的用电量多 20% ，但 9 月份的电费却比 8 月份的电费少 10% 求该地区晚间时段民用电的单价比白天时段的单价低的百分数 试一试 本例数量关系复杂，既涉及白天与晚间用电量的关系，不同月份用电 量的关系，又关联月份间的电费，故要全面增设未知数 例 4 从两个重量分别为 12千克和 8 千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两个合金含铜的百分数相等 求所切下的合金的重量是多少千克？ 试一试 由于已知条件中涉及合金中含铜的百分数，因此只有增设这两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数，才能充分利用已知，为列方程创造条件 例 5 能否找到 7 个整数，使得这 7 个整数沿圆周排成一圈后，任 3 个相邻数的和都等于 29 ？如果能，请举一例；如果不能，请简 述理由 分析 假设存在 7 个整数 1a ， 2a ， 3a ， 4a ， 5a ， 6a ， 7a 排成一圈后，满足题意，由此展开计算推理 若推得矛盾，则原假设不成立 解 由题意得 1 2 3 29a a a 23429a a a 6 7 1 29a a a 7 1 2 29a a a 将上述 7 式相加，得 1 2 3 4 5 6 73 2 9 7a a a a a a a ， 1 2 3 4 5 6 7 267 3a a a a a a a ，与 1 2 3 4 5 6 7a a a a a a a 为整数矛盾，故不存在满足题设要求的 7 个整数 难解的结 英国剑桥大学有一位数学家（真名叫道奇逊），用刘易士 卡洛尔的笔名写了 不少非 常有趣的科普读物，其中有一本乱纷纷的结，书中的每一章都叫做 “绳结 ”，意即这些问题像绳结一样复杂难解，下面就是一个 “绳结 ”的题目： 例 6 两个步行者正在急促地以每小时 6 千米的速度向山下走去，一个年轻人像羚羊似的边跳边走，他的同伴吃力地跟在后面 年轻人说，只怪我们上山的时候走得太慢了，每小时只走 3 千米 在平地的时候走得多快？他的同伴回答，在平路上每小时走 4 千米 年轻人说，能赶得上回去吃夜饭吗？同伴说，这要看我们了，我们 3 点钟出来， 8 点钟该我们回到旅馆的时候了 今天可真走了不少路 年轻人说，到底走了多少路呢？同伴不耐烦地说，你自己去想吧， 题目就是这样， 似乎条件不充分，你能解开这个 “结 ”吗？ 解 设旅行者一共走过的路程为 x 千米，上坡（或下坡）走过的路程为 y 千米 整个行程分为四段：走平路、上坡、下坡、再走平路 a 7a 6 a 5a 4a 3a 2a 1开始走平路所花的时间是 12 4时，上坡所花的时间是3坡所花的时间是6走平路所花的时间是 12 4时 依题意可得方程： 1122 54 3 6 4x y x ， 原方程化简得 1 54x， 20x ， 故他们一共走了 20 千米 练一练 1 已知 2 3 5 6x y z ， 6 9 1 4y z x ，则 x ， y ， z 的平均数是 _ 2 A 、 B 两校男生、女生人数的比分别为 8:7 ， 30:31 ，两校合并后男生、女生人数的比是 27:26 若用一位整数的比近似表示合并前 A 、 B 两校的人数的比，则这个近似比是 _ 3 甲、乙两车从 A 向 B 行驶，甲比乙晚出发 6 小时，开始时甲、乙的速度比是 4:3 甲出发 6 小时后，速度提高 1倍，甲、乙两车同时到达 B 则甲从 A 到 B 共走了 _小时 4 某服装厂生产某种定型冬装， 9 月份销售每件冬装的利润是出厂价的 25%（ 每件冬装的利润 出厂价 成本）， 10月份将每件冬装的出厂价调低 10%（每件冬装的成本不变），销售件数比 9 月份增加 80% ，那么该厂 10月份销售这种冬装的利润总额比 9 月份的利润总额增长 （ ） A 2% B 8% C D 62% 5 甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为 29 ， 23 ， 21 和 17，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是 （ ） A 28 B 27 C 19 D 18 6 一辆汽车从 A 地匀速驶往 B 地，如果汽车行驶的速度增加 %a ，则所用的时间减少 6% ，则 a 、 b 的关系是 （ ） A 1001%ab a B 1001%b a C1ab a D 100100ab a 7 如图 33 数表各行、各列及两条对角线之和彼此相等，设为 S 求证： （ 1） 3； （ 2） 24a c g i b d f h e 8 在一次数学竞赛中，组委会决定用 司赞助的款购买一批奖品 若以 1台 算器和 3 本数学竞赛讲座书为一份奖品，则可买 100份奖品；若以 1台 算器和 5 本数学竞赛讲座书为一份奖品，则可买 80 份奖品 问这笔钱全部用来购买计算器或数学竞赛讲座书，可各买多少？ 9 甲、乙二人分别从 A 、 B 两地出发，相向而行 若同时出发，经 24 分钟相遇；若乙比甲提前 10分钟出发，甲出发 20 分钟与乙相遇，求甲从 A 地到 B 地、乙从 B 地到 A 地各需多少分钟？ 10 在车站开始检票时，有 0名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需 30 分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需 10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在 6 分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，问需 要同时开放几个 检票口？ 微探究 借助图形思考 与形，以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题 当代美国数学家斯蒂恩说： “如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就 整体地把握了问题，并能创造性地思考问题 ” 现阶段借助图形思考主要体现为：通过构造图形或拼图解与数量关系相关联的问题 例 1 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出 A 、 B 、 C 、D 、 E 五队已分别比赛了 5 、 4 、 3 、 2 、 1场球，则还没有与 B 队比赛的球队是 _ 试一试 用算术或代数方法解，易陷入困境，用 6 个点表示 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 这 6 个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点间连一条线，这样用图来辅助解题，形象而直观 例 2 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如：他们研究过图 中的 1 ， 3 ， 6 ， 10， ，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，类似地，称图 中的 1 ， 4 ， 9 ， 16， ，这样的数为正方形数，下列数中，既是三角形数，又是正方形数的是 （ ） A 289 B 1024 C 1225 D 1378 试一试 分析三角形数、正方形数的特征，并用 n 的代数式表示 例 3 有足够 长 的长方形和正方形卡片，如下图： （ 1）如果选取的 1号、 2 号、 3 号卡片分别为 1张、 2 张、 3 张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义 这个长方形的代数意义是 _ （ 2） 小明想用类似方法解释多项式乘法 2223 32 7a a ba bb a b ，那么需要用 2 号卡片 _张， 3 号卡片 _张 试一试 为避免拼图的盲目性，从整式的乘法入手 眼见亦可为虚 例 4 一只小渔船在海上遇到了台风，触到礁石上，船身撞出了一个窟窿 如果不把它堵上，渔船就有沉没的危险 船中只有一块边长是 8正方形木板，但是和船的窟窿相比，木板的面积少 21 怎么办好呢？ 正在焦急当中，有一个船员用锯把这块正方形的木板裁开（如下图），然后用胶 粘接拼成了长方形木板 图 10631图 169411图中的计算可知：原来的正方形木板的面积是 264可是改成长方形以后木板的面积却变成 265正好多出 21 船员赶紧把它堵在窟窿上，避免了渔船的沉没 可是大家都感到惊奇的是，这 21能告诉他们吗？ 试一试 略 横看成岭侧成峰 例 5 22 1 242 2 2a b a ba b a b a b a b a b 下面的图形，形象直观验证了平方差公式： 柳卡趣题 例 6 法国数学家柳卡 施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于 1836年当选为法国科学院院士，他对射影几何与微分几何研究都作出了重要贡献，在某次国际科学会议期间，一次有许多著名数学家参加的晚宴上，他提出了如下的一个轮船问题，人们称它为 “柳卡趣题 ” 每天中午有一艘轮船从法国巴黎的勒阿佛尔开往美国的纽约，且每天同一时间也有一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔，轮船在途中需要七天七夜，假定所有轮船都以同一航线、同速匀速行驶，问某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在到达纽约时，能遇到几艘从纽约开来的轮船？ 这个问题难倒了在场的所有数学家，连柳卡本人也没有彻底解决 后来有一位数学家通过构图解法，才使问题最终得以解决 解 用 “时间 路程图 ”解答 8 8 = 6 4 53531 3 5 = 6 5 3855 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1717161514131211109871 2 3 4 5 6从图上可以很清楚地看到，某艘从勒阿佛尔开出的轮船，在中途可以遇到 13艘从纽约开来的 轮船，加上开航时与到达时相遇的 2 艘，因此一共遇到了 15艘从纽约开出的轮船 练一练 1 如图，甲类纸片是边长为 2 的正方形，乙类纸片是边长为 1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为 2 和1的长方形，现有甲类纸片 1张，乙类纸片 4 张，则应至少取丙类纸片 _张，才能用它们拼成一个新的正方形 2 有若干张如图 所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为 2，宽为 的矩形，则需要 A 类卡片 _张， B 类卡片 _张， C 类卡片 _张，请你在图 中的大矩形中画出 一 种拼法 3 小明在拼图时，发现 8 个一样大小的长方形如图 所示，恰好可以拼成一个大的长方形 小红看见了，说： “我来试一试， ”结果七拼八凑，拼成如图 那样的正方形 咳，怎么中间还留下了一个边长为 2正方形洞！ 你能帮他们解开其中的奥秘吗？ 4 如图 ，现有 、 的正方形纸片和 的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹），使拼出的矩形面积为 222 5 2a ab b，并标出此矩形的长和宽 5 用新方法解释旧模式常会推导绝妙的公式 请你依下列图形直观分别写出相应公式 甲 乙 丙图 2 a + 图 如图，九块大小不等的正方形纸片 A ， B ， ， I 无重叠、无缝隙地铺满了一块长方形，已知 E 的边长为 7 ，求其余各正方形的边长 图 图 图 42322212图 4 + 3 + 2 + 1） =+3 （8 实验与操作 问题解决 例 1 4 ； 4 输入 18，依次得到的结果为： 9 ， 4 ， 2 ， 1， 4 ， 2 ， 1 ， 6 ， 3 ， 8 ， 4 ，2 ， 1 ， 显然，除去前 4 次的结果外，从第 5 次的结果 4 开始，每 6 次一个循环，而 2 0 0 9 4 6 2 0 0 5 6 3 3 4 余 1，故第 2009次计算的结果为 4 例 2 D 例 3 （ 1）当 3n 时， 13m ； 4n 时， 17m ； 一般的 41 （ 2）由 41，得 103 4 1n， ，因 n 不是正整数，故按此要求操作不可能得到 103个正方形 例 4 用 1997枚硬币的朝向情况可用 1997个数的乘积来表示 若这些数之积为 1 （或 1 ），表明有奇数（或偶数枚硬币朝下） 开始时，其乘积为 1 0 0 0 9 9 71 1 1 每次翻折 6 枚硬币，即每次改变 6 个数的符号，其结果是 1997个数之积仍为 1 经过有限次翻转后，这个结果总保持不变，即国徽朝下的硬币数永远是奇数枚，故回答是否定的 数学冲浪 1 画图略 2 5 3 36 4 8 5 略 6 7 先将三个空啤酒瓶放置成底面中心成 “正三角形 ”的位置，再将一个空啤酒瓶倒置放在这个三角形中心 P 的位置，保持中心 P 的位置不变，适当移动三个底朝下的空啤酒瓶，放大或缩小 “正三角形 ”，可使瓶底中心构成四个边长相等的 “正三角形 ”如图（答案不唯一） 8 9 一个依次排列的 n 个数组成一个数串： 1a ， 2a ， 3a ， ， 依题设操作方法可得新增的数为： 21，32， 43， ， 1，则新增数之和为： 2 1 3 2 4 3 1 1n n na a a a a a a a a a （ ） 原数串为 3 个数： 3 ， 9 ， 8 第 1次操作后所得数串为： 3 ， 6 ， 9 ， 1 ， 8 ，根据（ ）可知，新增 2 项之和为： 6 1 5 8 3 ，第 2 次操作后所得数串为： 3 ， 3 ， 6 ， 3 ， 9 ， 10 ， 1 ， 9 ， 8 ，根据（ ）可知，新增 4 项之和为 3 3 1 0 9 5 8 3 ，按这个规律下去，第 100次操作后所得新数串所有数的和为： 3 9 8 1 0 0 8 3 5 2 0 或10 （ 1）经过 6 次操作可达到要求： 1 9 , 8 , 9 2 1 , 7 , 8 2 3 , 6 , 7 2 5 , 5 , 6 2 4 , 4 , 8 2 3 , 3 , 1 0 2 2 , 2 , 1 2 （ 2）不可能 因为每次操作后，每堆码数要么加 2 ，要么少 1，而 19， 8 ， 9 被 3 除余数分别为 1 ， 2 ，0 ，经过任何一次操作后余数分别是 0 ， 1， 2 ，不可能同时被 3 整除 11 不可能 我们设想 36 个展室都依次相间地铺上了两种颜色的地毯，则参观者无论怎样走法，只能按白 黑 白 黑 白 的次序前进 因此，不管参观者怎样走法，第 36 次只能走到一间黑色地毯的展室，绝不可能走到铺白色地毯的展室出口 12（ 1）把可分得的边长为整数的长方形按面积从小到大排列，有 11 ， 12 ， 13 ， 14 ， 22 ， 15 ，23 ， 24 ， 33 ， 25 ， 34 ， 35 若能分成 5 张满足条件的纸片，因为其面积之和应为 15，所以满足条件的有 11 、 12 、 13 、 14 、 15 （如图 ）或 11 、 12 、 13 、 22 、 15 （如图 ） （ 2）若能分成 6 张满足条件的纸片，则其面积之和仍应为 15，但上面排在前列的 6 个长方形的面积之和为 1 1 1 2 1 3 1 4 2 2 1 5 1 9 1 5 所以分成 6 张满足条件的纸片是不可能的 13 （ 1）略；（ 2） 1S 、 2S 、 3S 的结果都是 ab b ； （ 3）这是有关道路形状及草地面积的研究题，其中包含阅读、作图、计算及猜想等步骤 关键是探索：当道路由笔直到任意弯曲的变化中，矩形中空白部分（即草地）面积情况 猜想：依据前面的计算，无论小路怎么弯曲，可以猜想草地的面积仍然是 ab b 方法是将 “小路 ”沿左右两个边界剪去，将其中一侧的草地平移一个单位向另一侧草地靠拢，得到一个新的矩形 此时，在新的矩形中，其纵向宽仍然是 b ，其水平方向的长度变成了 1a ，所以草地面积是 1b a a b b 设而不求（微探究） 例 1 乙 所得差 1 1 9 0 9 9 0e a d b 是 11的倍数 例 2 B 设水果质量为 m ，进价为 a ，售价在进价的基础 上至少提高 x ，则 101120 100100m x a m ，解得 33.4%x 例 3 设白天的单价为 a 元 /度，晚间的单价比白天低的百分数为 x ，即晚间的单价为 1 元 /度，又设 8 月份晚间用电量为 n 度，则 8 月份白天用电量为 1 5 0 % 1 n 度， 8 月份电费为 1 . 5 1 2 . 5n a x n a x n a 元， 9 月份白天用电量为 1 . 5 1 6 0 % 0 . 6度， 9 月份晚间用电量为出口进口图 图 草地草地 1 . 5 1 2 0 % 0 . 6 2 . 4n n n n 度， 9 月份电费为 0 . 6 2 . 4 1 3 2 . 4n a x n a x n a 由题意得， 3 2 . 4 2 . 5 1 1 0 %x n a x n a ，解得 0%x 例 4 设所切下的合金的重量为 x 千克，重 12千克的合金的含铜百分数为 p ，重 8 千克的合金的含铜百分数为 q p q ，于是有 1 2 81 2 8x q x p x p x q ， 整理得 5 2 4q p x q p 因为 ，所以 0 ，因此 ，即所切下的合金重 克 练一练 1 4932 45 361 43 设甲出发 6 小时后再用 t 小时即可追上乙，甲原速为 u ，乙速为 v ，由题设知当甲出发行驶 6 小时时，乙已经行驶了 12小时，故有 1 2 6 2t v u t u ，即 62