高等数学课后习题答案3-3

习 题 3 3 1 按( x 4) 的 幂 展 开 多 项 式 x3x 4 解 设 f ( x ) x3x 4 因 为 f ( 4) 56 f ( 4) ( 45 x 3) | x421 f ( 4) ( 120x 2) | x474 f ( 4) ( 24x 30) | x466 f (4)( 4) 24 所 以 4)4(32 )4(!4 )4()4(!3 )4()4(!2 )4()4)(4()4()( 56 21( x 4) 37( x 4)211( x 4)3( x 4)4 2 应 用 麦 克 劳 林 公 式 按 x 幂 展 开 函 数 f ( x) ( x 1)3 解 因 为 f ( x ) 3( x 1)2( 2x 3) f ( x ) 6( x 1) ( 2 x 3)26( x 1)230( x 1) ( x 2) f ( x ) 30( 2x 3) ( x 2) 30( x 1) ( 2 x 3) 30( 2 x 3) ( 2 x 3) f (4)( x) 60( 2x 3) 30( 2x 3) ( 4 x 6) 360( x 2) f (5)( x) 360( 2 x 3) f (6)( x) 720 f ( 0) 1 f ( 0) 9 f ( 0) 60 f ( 0) 270 f (4)( 0) 720 f (5)( 0) 1080 f (6)( 0) 720 所 以 6)6(5)5(4)4(32 !6 )0(!5 )0(!4 )0(!3 )0(!2 )0()0()0()( 1 9x 30 50x5 3 求 函 数 )( 按( x 4) 的 幂 展 开 的 带 有 拉 格 朗 日 型 余 项 的 3 阶 泰 勒 公 式 解 因 为 24)4( f 4121)4( 421 32141)4( 423 328 383)4( 425 27)4( 1615)( 所 以 4)4(32 )4(!4 )()4(!3 )4()4(!2 )4()4)(4()4( 4732 )4()4(416 15!41)4(5121)4(641)4(412 ( 0 1) 4 求 函 数 f ( x ) l n x 按( x 2) 的 幂 展 开 的 带 有 佩 亚 诺 型 余 项 的 n 阶 泰 勒 公 式 解 因 为 f ( x ) x1 f ( x) ( 1) x2 f ( x ) ( 1) ( 2) x3 x !1()1()1( )2)(1()( 1)( )!1()1()2( 1)( ( k 1 2 n 1) 所 以 )2()2(! )2( )2(!3 )2()2(!2 )2()2)(2()2(32 )2()2(2)1( )2(23 1)2(22 1)2(2123322 5 求 函 数 )( 按( x 1) 的 幂 展 开 的 带 有 拉 格 朗 日 型 余 项 的 n 阶 泰 勒 公 式 解 因 为 f ( x) x1 f ( x) ( 1) x2 f ( x) ( 1) ( 2) x3 1)1()( !)1()( )2)(1()( x !)1( !)1()1( 1)( ( k 1 2 n) 所 以 )1(!3 )1()1(!2 )1()1)(1()1(1 32 1)1()( )1()!1( )()1(! )1( 12132 )1()1(1 )1()1( )1()1()1(1 ( 0 1) 6 求 函 数 f ( x) t a n x 的 带 有 拉 格 朗 日 型 余 项 的 3 阶 麦 克 劳 林 公 式 解 因 为 f ( x ) s e f ( x ) 2s e c x s x t a n x 2s e t an x f ( x ) 4s e c x s e c x t 2s e 4s e t a 2s e f (4)( x ) 8s t 8s e t an x 8s t an x x 22( f ( 0) 0 f ( 0) 1 f ( 0) 0 f ( 0) 2 所 以 4523 )(c o 2)() s i ns i n (31t a n xx ( 0 1) 7 求 函 数 f ( x ) x 带 有 佩 亚 诺 型 余 项 的 n 阶 麦 克 劳 林 公 式 解 因 为 f ( x ) exx f ( x ) exexx exx f ( x ) 2exexx exx f (n)( x) x f (k)( 0) k ( k 1 2 n) 所 以 )(! )0( !3 )0(!2 )0()0()0( )(32 )()!1( 1 !21 32 nn 8 验 证 当 210 x 时 按 公 式 621 32 x 计 算 近 似 值 时 所 产 生 的 误差 小 于 0 01 并 求 e 的 近 似 值 使 误 差 小 于 0 01 解 因 为 公 式 621 32 x 右 端 为 三 阶 麦 克 劳 林 公 式 其 余 项 为 43 !4)( 所 以 当 210 x 时 按 公 式 621 32 x 计 算 误 差 1(!43|!4|)(| 42143 6 4 1(61)21(21211 3221 9 应 用 三 阶 泰 勒 公 式 求 下 列 各 数 的 近 似 值 并 估 计 误 差 ( 1) 3 30 ( 2) s i 解 ( 1) 设 3)( 则 f ( x) 在 7 点 展 开 成 三 阶 泰 勒 公 式 为 2353233 )27)(2792(!21)27(273127)( 4311338 )27)(8180(!41)27)(272710(!31 ( 介 于 27 与 x 之 间) 于 是 3382353233 3)272710(!313)2792(!21327312730 1 0 7 2 531311(3 1063 其 误 差 为 511431143113 803278180!41|3)8180(!41|)30(| R ( 2) 已 知 43 !4s i n!31s i n ( 介 于 0 与 x 之 间) 所 以 s i n 18 0(!311010 其 误 差 为 4443 0(!4 610(!4)10(| R 10 利 用 泰 勒 公 式 求 下 列 极 限 ( 1) )23( 343 23 ( 2) )1 202 ( 3) 2220 解 ( 1) t 30434 343 23 21311313( 因 为 )(1313 )(211214 所 以 23)(23l i m)(211)(13(04 343 23 t ( 2)1)(41!2