七年级数学思维探究（三）有理数的运算（含答案）

杨辉，中国南宋时期杰出的数学家，大约于 13世纪中叶至末叶生活在钱塘（ 今 杭州）一带 他一生著作很多，著名的数学书共 5 种 21 卷 大家熟悉的“杨辉三角”数表就在他 1261年所著的详解九章算术一书里记载着，他在续古摘奇算法中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法 3 有理数的运算 有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上 深刻理解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础 有理数的运算不同于算术数的运算：这是因为有理数的运算每一步要确定符号，有理数的运算很多是字母运算，也就是常说的符号演算 运算能力是运算技能与推理能力的结合 这就要求我们既能正确地算出结果，又善于观察问题的结构特点，选择合理的运算路径，提 高运算的速度 有理数运算常用的技巧与方法有： 利用运算律；以符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等 问题解决 例 1 （ 1） 已知 2 1 , 2 , 3 ,1n ，记 1121， 2 1 22 1 1b a a ， 122 1 1 1a a a ，则通过计算推测 表达式 _ （用含 n 的代数式表示） （ 2） 若 a 、 b 是互为相反数， c 、 d 是互为倒数， x 的绝对值等于 2 ，则 42x a b 的值是 _ 试一试 对于 （ 2） ，运用相关概念的特征解题 例 2 已知整数 a 、 b 、 c 、 d 满足 25 ，且 a b c d ， 那么 a b c d 等于 （ ） A 0 B 10 C 2 D 12 试一试 解题的关键是把 25 表示成 4 个不同整数的积的形式 例 3 计算 （ 1） 1 1 2 1 2 3 1 2 5 92 3 3 4 4 4 6 0 6 0 6 0 ； （ 2） 1 1 111 2 1 2 3 1 2 3 1 0 0 ； （ 3） 7 7 3 7 1 2 1 7 3 81 7 2 7 1 1 1 3 8 52 7 1 7 3 9 1 7 2 7 3 9 试一试 对于 （ 1） ，设原式 S ，将各括号反序相加；对于 （ 2） ，若计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形 入 手；对于 （ 3） ，视除数为一整体，从寻找被除数与除数的关系 入 手， 例 4 在数学活动中，小明为了求2341 1 1 1 12 2 2 2 2 n 的值（结果用 n 表示），设计了如图所示的几何图形 （ 1） 请你用这个几何图形求2341 1 1 1 12 2 2 2 2 n 的值； （ 2） 请你用图，再设计一个能求2 3 41 1 1 1 12 2 2 2 2 n 的值的几何图形 试一试 求原式的值有不同的解题方法，而剖分图形面积是构造图形的关键 例 5 在 1， 2 ， 2002前面任意添上正号和负号，求其非负和的最小值 分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限，然后通过构造法证明这个下限可以达到即可 整数的和差仍是整数，而最小的非负整数是 0 代数和的最小值能是 0 吗？能是 1吗？由于任意添“ +”号或“ -”号，形式多样，因此，不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质入手 图 12 412 312 212图 因 与 的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与 2 0 0 2 1 2 0 0 21 2 3 2 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 2 0 0 32 的奇偶性相同，即为奇数 因此，所求非负代数和不会小于 1 又 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 9 9 9 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 2 1 ， 所求非负代数和的最小值为 1 类比 类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特 征上也可能相似的结论 触类旁通，即用类比的方法提 出问题及寻求解决问题的途径和方法 例 6观察下面的计算过程 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 411 2 2 3 3 4 4 5 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 问： （ 1） 从上面的解题方法中，你发现了什么？用字母表示这一规律 （ 2） “学问”，既要学会解答，又要学会发问 爱因斯坦曾说：。提出问题比解决问题更重要” 请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题 分析与解 （ 1） 1 1 111n n n n （ 2） 从连续自然数到连续偶数，从 2 个到 3 个，从分数到整数，类比可提出下列计算问题： 1 1 12 4 4 6 2 0 1 2 2 0 1 4 ； 1 1 11 2 3 2 3 4 2 0 1 2 2 0 1 3 2 0 1 4 ； 1 2 2 3 3 4 2 0 1 2 2 0 1 3 ； 2 2 2 21 2 3 2 0 1 2 数学冲浪 知识技能广场 1 如图，每一个小方格的面积为 1，则可根据面积计算得到如下算式： 1 3 5 7 2 1n _ （用 n 表示， n 是正整数） 2 某数学活动小组的 20 位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加 1，第 1 位同学报 1 11， 第 2 位同学报 1 12， 第 3 位同学报 1 13，这样得到的 20 个数的积为 _ 3 计算 ： （ 1） 2 1 1 4 5 5 3 6 5 4 5 5 2 1 1 5 4 5 5 4 5 3 6 5 _ （ 2） 2 3 1 8 1 9 2 02 2 2 2 2 2 _ 4 “数学王子”高斯从小就善于观察和思考，在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1 2 3 9 8 9 9 1 0 0 5 0 5 0 ，今天我们可以将高斯的做法归纳如下： 1 2 3 9 8 9 9 1 0 0S 1 0 0 9 9 9 8 3 2 1S +有 2 1 1 0 0 1 0 0S ， 5050S 2 n 3 4 答下列问题： 若 n 为正整数 ， 3 5 7 2 1 1 6 8n ， 则 n _ 5 设 0a ，在代数式 a ， a ， 2009a ， 2010a ， a ， 2a ， 2a 中负数的个数 是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 6 我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下： 100克以内 ，每增加 100克（不足 100克按 100克计） 某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量为 470 克，则他应付邮资 （ ） 元 A B C 3 D 7 为了求 2 3 2 0 0 81 2 2 2 2 的值，可令 2 3 2 0 0 81 2 2 2 2S ，则2 3 4 2 0 0 92 2 2 2 2 2S ，因此 20092 2 1 ，所以 2 3 2 0 0 8 2 0 0 91 2 2 2 2 2 1 仿照上面推理计算出 2 3 2 0 0 91 5 5 5 5 的值是 （ ） A 200951 B 201051 C 2009514D 20105148 下面是按一定规律排列的一列数： 第 1个数： 11122； 第 2 个数： 2311111 1 13 2 3 4 ； 第 3 个数： 23451 1 1 1111 1 1 1 14 2 3 4 5 6 ； 第 n 个数： 2 3 2 11 1 1111 1 1 11 2 3 4 2 那么，在第 10个数、第 11个数、第 12个数、第 13个数中， 最大的数是（ ） A 第 10个数 B 第 11个数 C 第 12个数 D 第 13个数 9 观察图形，解答问题： （ 1） 按下表已填写的形式填写表中的空格： 图 图 图 三个角上 三个数的积 1 1 2 2 3 4 5 6 0 三个角上 三个数的和 1 1 2 2 3 4 5 1 2 积与和的商 2 2 1 （ 2） 请用你发现的规律求出图中的数 y 和图中的数 x 10 观察下列等式： 第 1个等式：1 1 1 111 3 2 3a ； 第 2 个等式：2 1 1 1 13 5 2 3 5a ； 第 3 个等式：3 1 1 1 15 7 2 5 7a ； 451717-2 个等式：4 1 1 1 17 9 2 7 9a ； 请解答下列问题： （ 1） 按以上规律列出第 5 个等式： 5a _=_； （ 2） 用含 n 的代数式表示第 n 个等式： _=_（ n 为正整数）； （ 3） 求 1 2 3 4 1 0 0a a a a a 的值 思维方法天地 11 计算： （ 1） 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 3 2 4 3 5 4 6 9 7 9 9 9 8 1 0 0 _ （ 2） 1 5 1 1 9 1 4 1 1 7 1 11 2 3 4 5 6 7 8 92 6 1 2 2 0 3 0 4 2 5 6 7 2 9 0 _ （ 3） 5 5 5 1 1 11 3 9 1 3 99 9 3 3 1 1 9 9 3 3 1 1 _ 12 设三个互不相等的有理数，既可分 别 表示为 1， ， a 的形式，又可分别表示为 0 ， b 的形式，则 2004 2001_ 13 已知 31， 则 200526 4 4 8 9 _ 14 已知 a 、 b 、 c 满足 0a b b c c a 且 0，则代数式 的 值是 _ 15 1 1 1 1 1 16 1 1 1 1 1 6 1 6 2 1 2 1 2 6 2 6 3 1 3 1 3 6 的值是 （ ） A 118B 136C 133D 16616 如果 4 个不同的正整数 m 、 n 、 p 、 q 满足 7 7 7 7 4m n p q ， 那么 m n p q 等于（ ） A 10 B 21 C 24 D 26 E 28 17 如 果 3121 2 31t t， 那么 123123值为 （ ） A 1 B 1 C 1 D 不确定 18 观察下列各式： （ 1） 211 ； （ 2） 22 3 4 3 ； （ 3） 23 4 5 6 7 5 ； （ 4） 24 5 6 7 8 9 1 0 7 ； 请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是 （ ） A 21 0 0 5 1 0 0 6 1 0 0 7 3 0 1 6 2 0 1 1 B 21 0 0 5 1 0 0 6 1 0 0 7 3 0 1 7 2 0 1 1 C 21 0 0 6 1 0 0 7 1 0 0 8 3 0 1 6 2 0 1 1 D 21 0 0 7 1 0 0 8 1 0 0 9 3 0 1 7 2 0 1 1 19 观察下面的等式： 2 2 4 ， 2 2 4； 313422 ， 313422 ； 414533 ， 414533 ； 515644 ， 515644 （ 1） 小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？ （ 2） 请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想 20 同学们，我们曾经研究过 的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为2 2 2 21 2 3 n 但 n 为 100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来研究并解决这个问题 首先，通过探究我们已经知道 10 1 1 2 2 3 1 1 13n n n n n 时，我们可以这样做： （ 1） 观察并猜想： 221 2 1 0 1 1 1 2 1 0 1 2 1 2 1 2 0 1 1 2 ， 2 2 21 2 3 1 0 1 1 1 2 1 2 3 1 0 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 1 1 1 2 2 3 ， 2 2 2 21 2 3 4 1 0 1 1 1 2 1 2 3 _ _ _ _ 1 0 1 2 1 2 3 2 3 _ _ _ _ _ _ 1 2 3 4 _ _ _ _ _ _ _ _ ； （ 2）归纳结论： 2 2 2 21 2 3 1 0 1 1 1 2 1 2 3 1 1n n n 1 0 1 2 1 2 3 2 3 1n n n =（ _） +（ _） =_+_ 1 _6 ； （ 3） 实践应用： 通过以上探究过程， 我们就可以算出当 n 为 100时，正方形网格中正方形的总个数是 _ 应用探究乐园 21 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难 入 微；数形结合 百般好，隔离分家万事休” 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着 十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透 数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系问题， 或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化， 化难为易，获得简便易行的成功方案 例如，求 1 2 3 4 n 的值，其中 n 是正整数 对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对 n 的奇偶性进行讨论 如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观，现利用图形的性质来求 1 2 3 4 n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为 1， 2 ， 3 ， n 个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1 2 3 4 n 的值 为求式子的值，现 把 左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形 此时，组成平行四边形的小圆圈共有 n 行，每行有 1n 个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为 1个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为 12 即 11 2 3 4 2 12341）仿照上述数形结合的思想方法；设计相关图形，求 1 3 5 7 2 ?n 的值，其中 n 是正整数（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明） （ 2）试设计另外一种图形，求 1 3 5 7 2 1n 的值，其中 n 是正整数（要求：画出图形，并利用图形作必要的推理说明） 22 在“ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ”的小方格中填上“ +”、“ -”号，如果可以使其代数和为 n ，就称数 n 是“可被表出的数”（如 1是可被表出的数，这是因为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 是 1 的一种可被表出的方法） （ 1）求证： 7 是可被表出的数，而 8 是不可被表出的数； （ 2）求 25 可被表出的不同方法的种数 3 有理数的运算 问题解决 例 1 （ 1） 21（ 2） 20 例 2 D 5 1 1 5a b c d ， 5a ， 1b ， 1c ， 5d 例 3 （ 1） 885 设原式 S ，又 1 2 1 3 2 1 5 9 5 8 12 3 3 4 4 4 6 0 6 0 6 0S ，两式相加得2 1 2 3 5 9 1 7 7 0S ，所以 885S ； （ 2） 200101 1 1 2 1 1211 2 3 1 12n n n n ； （ 3） 2 原式 3 4 2 4 7 61 6 2 6 1 0 2 22 7 2 7 3 9 A A A ，其中 1 7 1 2 3 88 1 3 52 7 2 7 3 9A 例 4 （ 1）原式 112n；（ 2）略 数学冲浪 1 2n 2 21 3 （ 1） 154000；（ 2） 6 12 2 2n n n 4 12 由 3 2 1 1682 ，得 2 1 2 1 4 5 B 6 A 4 7 0 1 0 0 3 1 0 0 7 0 7 D 8 A 提示：第 n 个数为 1122n ，把第 10、 11、 12、 13个数分别求出 9 （ 1）略 （ 2）图： 5 8 9 3 6 0 ， 5 8 9 1 2 ， 3 6 0 1 2 3 0y ； 图： 133，解得 2x 10 （ 1）5 1 1 1