河北省2017届高三二模考试文数试题含答案

河北省 2017 届高三下学期二模考试 数学（文）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1.设 i 是虚数单位，复数 1i 为纯虚数，则实数 a 为（ ） A 1 B 0 C. 1 D 2 x x ， 23g x m x n ，若对任意的 0,x 总有 f x g x恒成 立，记 23的最小值为 ,则 ,f 大值为 （ ） A 1 B 121为 直 角 坐 标 系 的 坐 标 原 点 ， 双 曲 线 22: 1 0b 上 有 一 点 5 , 0P m m ， 点 P 在 x 轴上的射影恰好是双曲线 C 的右焦点，过点 P 作双曲线 C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 ,平行四边形 面积为 1，则双曲线的标准方程是（ ） A 22 14B 22123C. 22 16D 2213722 4. 在 中， 43B， ， ,B 上的两个动点，且 2，则N 的取值范围为（ ） A 52,2B 4,6 C. 119 48,25 5D 144 53,25 55. 设 c o s 5 0 c o s 1 2 7 c o s 4 0 c o s 3 7a ， 2 s i n 5 6 c o s 5 62b ， 221 91 9c ，则 ,关系是 （ ） A B C. c a b D a c b 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧 面 的 面 积 为 （ ） A 1 B 22C. 52D , 0, ， 则 “ 1”是“ 1”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充分必要条件 D既不充分也不必要条件 x ax e x 与 2x e x 的图象有三个不同的公共点，其中 e 为自然对数的底数 ,则实数 a 的取值范围为（ ） A B 1a C. D 3a 或 1a 2 20y px p的焦点 F 的直线与抛物线交于 , 3B ，抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 C ，1AA l于点1A，若四边形12 3 ，则准线 l 的方程为（ ） A 2x B 22x C. 2x D 1x 上的可导函数 ， 且满足 10x f x x f x ， 则 （ ） A 0 B 0 C. D 制造三角形支架，如图，要求 60 ， 长度大于 1 米，且 ，为了稳固广告牌，要求 短越好，则 短为 （ ） A 31 2米 B 2 米 C. 13 米 D 23 米 一 小球 A 从1v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（ 无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计 )， 若小球第一次回到1所用的最长时间是最短时间的 5 倍，则椭圆的离心率为（ ） A 13B 512C. 35D 23第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 己 知 两 个 平 面 向 量 , , 2 2 1a a b ， 且 a 与 b 的夹角为 120 ，则b 邱健算经有“分钱问题”如下：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱， 次一人与五钱，以次与之，转多一钱。与讫，还敛聚与均分之，人得 百钱，问人几何？” 意思是：“将钱分给若干人，第一人给 3 钱，第二人给 4 钱，第三人给 5 钱，以此类推，每人比前一人多给 1 钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得 100钱，问有多少人？”则分钱问题中的人数为 22 2x kf x x e x k x (k 是常数， e 是自然对数的底数， )在区间 0,2 内存在两个极值点，则实数 k 的取值范围是 16. 某运动队对 , , ,A B C D 四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、 丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是 C 或 D 参加比赛”；乙说 ：“是 B 参加比赛”； 丙说：“是 ,丁说：“是 C 参加比赛” 获得参赛的运动员是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 函数 f x a b 在 R 上的最大值为 2. （ 1）求实数 a 的值； （ 2 ） 把函数 y f x 的图象向右平移6个 单 位 ， 可 得 函 数 y g x 的图象，若 y 在 0,4上为增函数，求 的最大值 . 2 x x a x ， 2g x a x . （ ）求函数 （ ） 若 函 数 F x f x g x有两个零点12,（ 1）求满足条件的最小正整数 a 的值； （ 2）求证：1202 . 四棱锥 P 中，底面 菱形 6 0 ,D A B P A A D ， M 为 中点， 平面 平面 （ 1 ） 求证： M ； （ 2）若 9 0 , 2A P D P A ， 求点 A 到平面 距离 . 22: 1 0a 的左、右焦点分别为 121, 0 , 1, 0 点 21, 2A在椭圆 C 上 . （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）是否存在斜率为 2 的直线 l ，使得当直线 l 与椭圆 C 有两个不同交点 时，能在直线 53y上找到 一点 P ,在椭圆 C 上找到一点 Q ， 满足 Q ？ 若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 . 21 af x x x x （ ， a 为常数 )，函数 1221 12x ag x e x （ e 为自然对数的底） . （ 1 ） 讨论函数 （ 2） 若不等式 f x g x 对 1,x 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 33,f x x x x R . （ 1） 求 在 2,3 上 的最大值和最小值； （ 2）设曲线 y f x 与 x 轴正半轴的交点为 P 处的切线方程为 y g x ,求证：对于任意的正实数 x ，都有 f x g x . ，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 的极坐标方程为 2c o s 4 s i n 0 ， P 点的极坐标为3,2,在平面直角坐标系中，直线 ，斜率 为 3 . （ 1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 相交于 , 11B的值 . 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 2 14. 195 15. 21, ,e e e 、解答题 1） 1 c o s 3 s i n 2 s i n 16f x x a x x a ， 因为函数 上的最大值为 2，所以 32a ， 故 1a . （ 2）由（ 1）知 2 s i x x ， 把函数 2 s i x x 的图象向右平移6个单位 ， 可得函数 2 s i ny g x x ， 又 y g x 在 0,4上为增函数 ， 所以 T ， 即 2 ， 所以 的最大值为 2. ） 2220a x af x x . 当 0a 时， 0 在 0, 上恒成立，所以函数 0, ， 此时 当 0a 时，由 0 ，得 22 0 ，得 202， 所以函数 ,2a， 单调 减区间为 20, 2a. （ ） （ 1） 22 2 2 12 2 0x a x a x a x x a xx x x . 因为函数 以 0a ，此时函数 a单调递增，在0,2a单调递减 . 所以 ，即2 4 4 2aa a a . 因为 0a ，所以 4 2 . 令 4 a a ，显然 0, 上为增函数，且 3 8 12 2 0 , 3 4 l n 1 l n 1 02 1 6 ， 所以存在 0 2,3a ， 0 0. 当0， 0；当00 时， 0，所以满足条件的最小正整数 3a . 又当 3a 时， 3 3 2 l n 3 0F ， 10F ,所以 3a 时， 综上所述，满足条件的最小正整数 a 的值为 3. （ 2） 证明：不妨设120 ，于是 221 1 1 2 2 22 l n 2 l nx a x a x x a x a x ， 即 221 1 1 2 2 22 l n 2 l n 0x a x a x x a x a x ， 221 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2 l n l n l n l nx x x x a x a x a x a x a x x x x . 所以 221 1 2 21 1 2 222l n l nx x x xa x x x x ； 因为 02 ，当 0,2时， 0 ， 当 ,2 时， 0 ， 故只要证1222即可 ，即证明 221 1 2 2121 1 2 222l n l nx x x x x x x ， 即证 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 2l n l n 2 2x x x x x x x x x x ， 也就是证1 1 22 1 222ln x x xx x x . 设 1201 . 令 22t t t ，则 22211411t t t . 因为 0t ，所以 0 ， 当且仅当 1t 时， 0 . 所以 0, 上是增函数 . 又 10m ，所以当 0 ,1 , 0m m t总成立，所以原题得证 . 19.（ 1）证明：取 点 E ，连接 ,M 底面 菱形， C . ,中点， /C ， D . D ， D 平面 平面 平面 D . 平面 D ， E E， 平面 平面 M . （ 2） 2 , 9 0 , 6 0P A P D A P D D A B , 21A D A B B D P E ，. 1 32C,在直角 和 中， 221 3 2P M P B ， 在等边 中， 3. 394. 1 2 3 32 . 设三棱锥 A 高为 h ，则由A 得： 1133P B M A B P E S , 4 1313h， 点 A 到平 面 距离为 41313. 20.（ 1）设椭圆 C 的焦距为 2c ，则 1c ， 因为 21, 2A在椭圆 C 上，所以122 2 2a A F A F ， 因此 2a ， 2 2 2 1b a c ， 故椭圆 C 的方程为 22 12x y. （ 2）椭圆 C 上不存在这样的点 Q ，证明如下： 设直线 l 的方程为 2y x t， 设 1 1 2 2 3 4 45, , , , , , ,3M x y N x y P x Q x y， 中点为 00,D x y， 由222,1,2y x tx y 得 229 2 8 0y ty t ， 所以1229，且 224 3 6 8 0 ， 故120 29yy ，且 33t 由 Q 知 四边形 平行四边形， 而 D 为线段 中点，因此， D 也是线段 中点， 所以 4053 29y ，可得4 2 159， 又 33t ，所以47 13 y ， 因此点 Q 不在椭圆上 . 1） 3221 0a x x af x x xx x x ， 由 0 得 ： 3a x x ， 记 3h x x x ， 则 213h x x ， 由 0 得 33x，且 303x时， 0 ， 33x时， 0 ， 所以当 33x时， 39，又 00h ， （ ） 当 239a时， 0 恒成立，函数 （ ） 当 2309a时， 0 有两个解12,10 时， 0 时，12x x x时， 0 ，2 ， 0 ，所以函数 （ ）当 0a 时，方程 0 有一个解0x，且00 时， 0 ，0， 0 ，所以函数 （ 2）记 12l n 1 1x ax g x f x e x a x ， 由 01 l n 1 1 0e a a ， 1 21 2x ax e a ， 1 1 1 3 3 2 ， 由 2103a ， 又当 2 ,13时， 112 3 2 31 2 1 12 2 1 0xx ax e a e ax x x x ， 10x， x 在区间 1, 上单调递增， 所以 10x恒成立，即 g x f x 恒成立， 综上实数 a 的取值范围是 2,322.【解析】 （ 1)由 33f x x x， 可得 223 3 3 1f x x x . 令 0 ， 解得 1x ， 或 1x . 当 x 变化时， 的变化情况如表： 所以 ， , 1 , 1, 上单调递减，在 1,1 上单调递增 . (2)设点 P 的坐标为 0,0x， 则0 3x , 36f . 曲线 y f x 在点 P 处的切线方程为 33y f x， 即 63g x x . 令 F x f x g x，则 63F x f x x ， 所以 6F x f x, 由于 231f x x 在 0, 上单调递减，故 在 0, 上单调递减 . 又因为 3 =0F ， ,所以当 0, 3x 时， 0 . 当 3,x 时， 0 ,所以 0, 3 内单调递增，在 3, 上单调递减，所以对于任意的正实数 x ，都有 30F x F. 故对于任意的正实数 x ，都有 f x g x . 1）曲线 C 的极坐标