大学统计学第七章练习题及答案

第第 7 章章 参数估计参数估计 练习题练习题 7.1 从一个标准差为 5 的总体中抽出一个样本量为 40 的样本，样本均值为 25。 （1）样本均值的抽样标准差等于多少? x （2）在 95%的置信水平下，边际误差是多少？ 解：已知25,40, 5xn 样本均值的抽样标准差79 . 0 4 10 40 5 n x 已知,， 540n25x 4 10 x %951 96 . 1 025 . 0 2 ZZ 边际误差55. 1 4 10 *96 . 1 2 n ZE 7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期 3 周的时间里选取 49 名顾客 组成了一个简单随机样本。 （1）假定总体标准差为 15 元，求样本均值的抽样标准误差； （2）在 95%的置信水平下，求边际误差； （3）如果样本均值为 120 元，求总体均值的 95%的置信区间。 解.已知.根据查表得=1.96 2/ z （1）标准误差：14 . 2 49 15 n X （2） 已知=1.96 2/ z 所以边际误差=*1.96*=4.2 2/ z n s 49 15 （3）置信区间： 2 . 124, 8 .11596 . 1 49 15 120 2 n s Zx 2 7.3 从一个总体中随机抽取的随机样本，得到，假定总体标准差100n104560x ，构建总体均值的 95%的置信区间。85414 96 . 1 2 Z 144.16741 100 85414 *96 . 1 2 n Z 856.87818144.16741104560. 2 n Zx 144.121301144.16741104560. 2 n Zx 置信区间：（87818.856，121301.144） 7.4 从总体中抽取一个的简单随机样本，得到，。100n81x12s （1）构建的 90%的置信区间。 （2）构建的 95%的置信区间。 （3）构建的 99%的置信区间。 解；由题意知, ,.100n81x12s （1）置信水平为，则.%901645 . 1 2 Z 由公式 n s zx 2 974 . 1 81 100 12 645 . 1 81 即,974.82,026.79974 . 1 81 则置信区间为 79.02682.974的的%90 （2）置信水平为， %95196 . 1 2 z 由公式得=81 n s zx 2 352 . 2 81 100 12 96 . 1 即 81=（78.648，83.352） ，352 . 2 则的 95%的置信区间为 78.64883.352 （3）置信水平为，则.%991576 . 2 2 Z 3 由公式=x n s z 2 096 . 3 81 100 12 576 . 2 81 即81 3.1 则置信区间为的的%99 7.5 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。 （1），置信水平为 95%。25x5 . 360n （2），置信水平为 98%。 6 . 119x89.23s75n （3），置信水平为 90%。419 . 3 x974 . 0 s32n 置信水平为 95%,60, 5 . 3,25nX 解：,96 . 1 2 Z 89 . 0 60 5 . 3 96 . 1 2 n Z 置信下限：X11.2489 . 0 25 2 n Z 置信上限：X89.2589 . 0 25 2 n Z ），置信区间为（89.2511.24 。，置信水平为，%9875n89.23s , 6 .119X 解：33 . 2 2 Z 43 . 6 75 89.23 33 . 2 2 n s Z 置信下限：X17.11343 . 6 6 . 119 2 n s Z 置信上限：X03.12643 . 6 6 . 119 2 n s Z ），置信区间为（03.12617.113 =3.419,s=0.974,n=32,置信水平为 90%x 4 根据 t=0.1，查 t 分布表可得.645 . 1 )31( 05. 0 Z283 . 0 )( 2/ n s Z 所以该总体的置信区间为 （=3.4190.283x 2/ ) n s 即 3.4190.283=（3.136 ，3.702） 所以该总体的置信区间为 3.1363.702. 7.6 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。 （1）总体服从正态分布，且已知，置信水平为50015n8900x 95%。 （2）总体不服从正态分布，且已知，置信水平为50035n8900x 95%。 （3）总体不服从正态分布，未知，置信水平为35n8900x500s 90%。 （4）总体不服从正态分布，未知，置信水平为35n8900x500s 99%。 （1）解：已知，1-%，50015n8900x9596. 1 2 z )9153,8647( 15 500 96 . 1 8900 2 n zx 所以总体均值的置信区间为（8647，9153） （2）解：已知，35n，1-%，5008900x9596. 1 2 z )9066,8734( 35 500 96 . 1 8900 2 n zx 所以总体均值的置信区间为（8734，9066） （3）解：已知，s=500,由于总体方差未知，但为大样本，35n8900x 可用样本方差来代替总体方差 置信水平 1=90% 645 . 1 2 z 置信区间为)9039,8761( 35 500 645 . 1 81 2 n s zx 所以总体均值的置信区间为（8761，9039） （4）解：已知，由于总体方差未知，但为大样35n8900x500s 5 本，可用样本方差来代替总体方差 置信水平 1=99% 58 . 2 2 z 置信区间为)9118,8682( 35 500 58 . 2 8900 2 n s zx 所以总体均值的置信区间为（8682，9118） 7.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校 7500 名学生中采取不重复抽样方法随机抽 取 36 人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见 Book7.7（单位：h） 。求该校大 学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为 90%、95%和 99%。 解：已知： n=363167 . 3 x6093 . 1 s 1.当置信水平为 90%时，645 . 1 2 z 4532 . 0 3167 . 3 36 6093 . 1 645 . 1 3167. 3 2 n s zx 所以置信区间为（2.88，3.76） 2.当置信水平为 95%时，96 . 1 2 z 所以置信区间为（2.80，3.84） 3.当置信水平为 99%时，58. 2 2 z 7305 . 0 3167 . 3 36 6093 . 1 58 . 2 3167 . 3 2 n s zx 所以置信区间为（2.63，4.01） 7.8 从一个正态总体中随机抽取样本量为 8 的样本，各样本值见 Book7.8。求总体均值 95%的 置信区间。 已知：总体服从正态分布，但未知，n=8 为小样本，05 . 0 365 . 2 ) 18( 2 05 . 0 t 5445 . 0 3167. 3 36 6093 . 1 96 . 1 3167 . 3 2 n s zx 6 根据样本数据计算得：46 . 3 ,10sx 总体均值的 95%的置信区间为： ，即89 . 2 10 8 46. 3 365 . 2 10 2 n s tx （7.11，12.89） 。 7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由 16 个人组成的一个随机样 本，他们到单位的距离（单位：km）数据见 Book7.9。求职工上班从家里到单位平均 距离 95%的置信区间。 已知：总体服从正态分布，但未知，n=16 为小样本，=0.05，131 . 2 ) 116( 2/05 . 0 t 根据样本数据计算可得：，s=4.113375 . 9 x 从家里到单位平均距离得 95%的置信区间为： ， 191 . 2 375. 9 14 113 . 4 131. 2375 . 9 2/ n s tx 即（7.18，11.57） 。 7.10 从一批零件中随机抽取 36 个，测得其平均长度为 149.5cm，标准差为 1.93cm。 （1）试确定该种零件平均长度 95%的置信区间。 （2）在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。 解：已知n=36, =149.5,置信水平为 1-=95%，查标准正态分布表得,103x =1.96. 2/ 根据公式得： =149.51.96x 2/ n 36 103 即 149.51.96=（148.9，150.1） 36 103 答：该零件平均长度 95%的置信区间为 148.9150.1 （3）在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。 答：中心极限定理论证。如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这 个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活 中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是 普遍存在的。样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样 本均值也趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。 7 7.11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为 100g。现从某天生产 的一批产品中按重复抽样随机抽取 50 包进行检查，测得每包重量（单位：g）见 Book7.11。 已知食品重量服从正态分布，要求： （1）确定该种食品平均重量的 95%的置信区间。 （2）如果规定食品重量低于 100g 属于不合格，确定该批食品合格率的 95%的置信 区间。 (1)已知:总体服从正态分布，但未知。n=50 为大样本。=0.05，=1.96 2/05 . 0 根据样本计算可知 =101.32 s=1.63 该种食品平均重量的 95%的置信区间为 45 . 0 32.10150/63 . 1 *96. 132.101/ 2/ ns 即（100.87，101.77） （2）由样本数据可知，样本合格率：。该批食品合格率的 95%的置信区9 . 050/45p 间为： =0.9=0.90.08，即（0.82，0.98） 2/ p n pp)1 ( 50 )9 . 01 (9 . 0 96. 1 答：该批食品合格率的 95%的置信区间为：（0.82，0.98） 7.12 假设总体服从正态分布，利用 Book7.12 的数据构建总体均值的 99%的置信区间。 根据样本数据计算的样本均值和标准差如下； =16.13 =0.8706 E= Z=2.58*=0.45x 2 n 5 8706 . 0 置信区间为E 所以置信区间为（15.68，16.58）x 7.13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了 18 名员工，得到他们每周加班的时间数据见 Book7.13（单位：h） 。假定员工每周 加班的时间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的 90%的置信区间。 解：已知=13.56 7.80 n=18x1 . 0 8 E=* 2 n 置信区间=-, +x 2 nx 2 n 所以置信区间=13.56-1.645*(7.80/), 13.56+1.645*(7.80/)1818 =10.36, 16.76 7.14 利用下面的样本数据构建总体比例的置信区间。 （1），置信水平为 99%。44n51 . 0 p （2），置信水平为 95%。300n82 . 0 p （3），置信水平为 90%。1150n48 . 0 p （1），置信水平为 99%。44n51 . 0 p 解：由题意,已知 n=44, 置信水平 a=99%, Z=2.58 2/a 又检验统计量为： PZ，故代入数值计算得， n pp)1 ( PZ=（0.316，0.704） ， 总体比例的置信区间为（0.316，0.704） n pp)1 ( （2），置信水平为 95%。300n82 . 0 p 解：由题意,已知 n=300, 置信水平 a=95%, Z=1.96 2/a 又检验统计量为： PZ，故代入数值计算得， n pp)1 ( PZ=（0.777，0.863） ， 总体比例的置信区间为（0.777，0.863） n pp)1 ( （3），置信水平为 90%。1150n48 . 0 p 解：由题意,已知 n=1150, 置信水平 a=90%, Z=1.645 2/a 9 又检验统计量为： PZ，故代入数值计算得， n pp)1 ( PZ=（0.456，0.504） ， 总体比例的置信区间为（0.456，0.504） n pp)1 ( 7.15 在一项家电市场调查中，随机抽取了 200 个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电 视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占 23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别 为 90%和 95%。 解：由题意可知 n=200，p=0.23 （1）当置信水平为 1-=90%时，Z=1.645 2/ 所以=0.230.04895 n pp zp )1 ( 2/ 200 )23 . 0 1 (23 . 0 645 . 1 23 . 0 即 0.230.04895=（0.1811，0.2789） ， （2）当置信水平为 1-=95%时，Z=1.96 2/ 所以=0.230.05832 n pp zp )1 ( 2/ 200 )23 . 0 1 (23 . 0 96 . 1 23 . 0 即 0.230.05832=（0.1717，0.28835） ； 答：在居民户中拥有该品牌电视机的家庭在置信水平为 90%的置信区间为 （18.11%，27.89%） ，在置信水平为 95%的置信区间为（17.17%，28.835%） 7.16 一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。他假设所有顾客月存 款额的标准差为 1000 元，要求估计误差在 200 元以内，应选取多大的样本？ 解：已知 ,E=1000,1000%99158 . 2 2/ z 由公式可知 n=(2.58*2.58*1000*1000)/(200*200)=167 2 2 2/ 2 * E z n 答：置信水平为 99%，应取 167 个样本。 7.17 要估计总体比例，计算下列个体所需的样本容量。 10 （1），置信水平为 96%。02 . 0 E40 . 0 （2），未知，置信水平为 95%。04 . 0 E （3），置信水平为 90%。05 . 0 E55 . 0 （1）解：已知， ， =2.0502 . 0 E,40 . 0 2/ 由得 2 2 2/ /)1 ( n =2522 22 02 . 0 )4 . 01 (40 . 0 05 . 2 n 答：个体所需的样本容量为 2522。 （2）解：已知， =1.9604 . 0 E 2/ 由得 2 2 2/ /)1 ( n 601 222 04 . 0 5 . 096 . 1 n 答：个体所需的样本容量为 601。 （3）解：已知， ， =1.64505 . 0 55 . 0 2/ 由得 2 2 2/ /)1 ( n =268 22 05 . 0 45 . 0 55 . 0 645 . 1 n 答：个体所需的样本容量为 268。 7.18 某居民小区共有居民 500 户，小区管理者准备采取一向新的供水设施，想了解居民是 否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了 50 户，其中有 32 户赞成，18 户反对。 （1）求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间，置信水平为 95%。 （2）如果小区管理者预计赞成的比例能达到 80%，应抽取多少户进行调查？ （1）已知：n=50 96 . 1 2 Z 根据抽样结果计算的样本比例为 P=32/50=60% 根据（7.8）式得： 50 %)641%(64)1( 96 . 1 %64 n PP P 即 %)63.76%,37.51(%63.12%64 答：置信区间为（51.37%，76.63%） 11 （2）已知 %80%1096. 1 2 Z 则有：62 1 . 0 )8 . 01 (8 . 0*96 . 1 )1 (* 2 2 2 2 2 Z n 答：应抽取 62 户进行调查 7.19 根据下面的样本结果，计算总体标准差的 90%的置信区间。 （1），。21x2s50n （2），。3 . 1x02. 0s15n （3），。167x31s22n 解：已知，%90195 . 0 2 1 ,05 . 0 2 %,10 1)查表知，67) 1( 2 2 n 34) 1( 2 2 1 n 由公式 2 2 1 2 2 2 2 2 ) 1() 1( snsn 得，解得（1.72，2.40） 34 2*) 150( 67 2*) 150( 22 2)查表知，6848.23) 1( 2 2 n 57063 . 6 ) 1( 2 2 1 n 由公式 2 2 1 2 2 2 2 2 ) 1() 1( snsn 得，解得（0.015，0.029） 57063 . 6 02 . 0 *) 115( 6848.23 02 . 0 *) 115( 22 3)查表知，6705.32) 1( 2 2 n 5913.11) 1( 2 2 1 n 由公式 2 2 1 2 2 2 2 2 ) 1() 1( snsn 得，解得（24.85，41.73） 5913.11 31*) 122( 6705.32 31*) 122( 22 12 7.20 顾客到银行办理业务时往往需要等待一些时间，而等待时间的长短与许多因素有关， 比如，银行的业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等等。为此，某银行准备 采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是所有顾客都进入一个等待队列；第二 种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等 待的时间更短，银行各随机抽取了 10 名顾客，他们在办理业务时所等待的时间（单位： min）见 Book7.20。 （1）构建第一种排队方式等待时间标准差的 95%的置信区间。 （2）构建第二种排队方式等待时间标准差的 95%的置信区间。 （3）根据（1）和（2）的结果，你认为哪种排队方式更好？ 7.21 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表： 来自总体 1 的样本来自总体 2 的样本 14 1 n7 2 n 2 . 53 1 x 4 . 43 2 x 8 . 96 2 1 s 0 . 102 2 2 s （1）求的 90%的置信区间。 21 （2）求的 95%的置信区间。 21 （3）求的 99%的置信区间。 21 7.22 从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表： 来自总体 1 的样本来自总体 2 的样本 25 1 x23 2 x 16 2 1 s20 2 2 s （1）设，求95%的置信区间。100 21 nn 21 （2）设，求的 95%的置信区间。10 21 nn 2 2 2 1 21 （3）设，求的 95%的置信区间。10 21 nn 2 2 2 1 21 （4）设，求的 95%的置信区间。20,10 21 nn 2 2 2 1 21 （5）设，求的 95%的置信区间。20,10 21 nn 2 2 2 1 21 13 7.23 Book7.23 是由 4 对观察值组成的随机样本。 （1）计算 A 与 B 各对观察值之差，再利用得出的差值计算和。d d s （2）设和分别为总体 A 和总体 B 的均值，构造的 95%的置信 1 2 21