现代数学与中学数学考试卷a卷

研究生课程进修班试卷封面 姓 名： 单 位 专 业： 数学 考试科目：现代数学与中学数学 考试分数： 20112011 年年 1212 月月 2525 日日 东东北北师师范大学研究生范大学研究生课课程程进进修班考修班考试试试试卷卷评评分表分表 题题 号号分分 数数签签 名名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课课程名称程名称 现现代数学与中代数学与中 学数学学数学 姓姓 名名 单单 位位 专专 业业 数学数学 2011 年年 12 月月 25 日日 总 分 评阅教师签字： 年 月 日 现代数学与中学数学现代数学与中学数学 考试卷考试卷 一、(10 分) 对下列各式，判断其对错，或加以证明，或举出反例 （1） （2） ()fghfgfh()ghfgfhf 解：（1）令xxhxxgxxf1)(,)(,)( 2 则1) 1 ()()()(fxhxgfhgf 122)1 ()()( 222 xxxxxhfxgfhfgf hfgfhgf )( （2）设的定义域分别为 A、B、C，)(),(),(xhxgxfCBAD 对fhgxfhxfgfhfgDx)()()(, 二、 （10 分） 若函数在点可导，计算( )f xxa （1） （2） 0 (2 )( ) lim t f atf a t 0 (2 )() lim 2 t f atf at t 解：（1）)(2 2 )()2( lim2 )()2( lim 00 af t aftaf t aftaf tt （2） t tafafaftaf t taftaf tt 2 )()()()2( lim 2 )()2( lim 0 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 )()( lim 2 )()2( lim 2 )()( lim 2 )()2( lim 00 00 afafaf t aftaf t aftaf t tafaf t aftaf tt tt 三、 （10 分） 求一函数，其曲线过坐标原点且曲线上每一点切线斜( )yf x 率是该点横坐标的 2 倍。 解：由题意，即 xxf2)( xdxdy2 式两边积分，有Cxdxdy 2 又过点，从而 C=0Cxy 2 )(xf)0 , 0( 2 )(xxf 四、 （10 分）证明：若，则 123 0xxx 3221 2132 sinsinsinsinxxxx xxxx 解：记，由于，故在上连续，在xxfsin)( 21 0xx)(xf, 21 xx 内可导。),( 21 xx 由拉格朗日中值定理存在，有，),( 211 xx)(cossinsin 12112 xxxx 即，同理存在，有 12 12 1 sinsin cos xx xx ),( 322 xx 23 23 2 sinsin cos xx xx 又在上递减，xxfcos)( ), 0(), 0(, 21 ，也就是： 21 coscos 23 23 12 12 sinsinsinsin xx xx xx xx 五、 （10 分）求顶点在坐标原点的锥面与平面所围成的 222 222 0 xyz abc zc 锥体的体积。 解：任取，过点作垂直于轴的平面，截面为椭圆，其方程), 0(cz), 0 , 0(zz 为，截面面积1 2 22 2 2 22 2 c zb y c za x 2 2 )( c abz zS 故abcdzz c ab dz c abz V cc 3 1 0 2 0 22 2 六、 （10 分） 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.3,0.6。今各投 2 次。 求甲比乙投中次数多的概率。 解：设甲、乙两人各投篮两次，投中的次数分别为，则，,)3 . 0 , 2( B 。)6 . 0 , 2( B 1248 . 0 0672 . 0 0144 . 0 0432 . 0 4 . 07 . 03 . 04 . 03 . 04 . 06 . 03 . 0 )0, 1()0, 2() 1, 2()( 20 2 1 2 20 2 22 2 1 2 22 2 CCCCCC PPPP 甲比乙投中次数多的概率为 0.1248。 七、 （10 分） 要研究某种物质致癌性质，用小白鼠做试验。假定把 50 只小 白鼠随机地分成 10 组，每组 5 只，对每只小白鼠注射该物质，经过一段时 间后，观察每组小白鼠患癌的个数，得到，则 1021 ,XXX ，这里就是这种物质致癌的概率。试导出的最10, 2 , 1), 5(ipBXipp 大似然估计值的计算公式。 解：由有：10,2, 1), 5(ipBXi 10, 2 , 1)1 ()( 5 5 ippCxXP iii xxx ii 现有样本，故似然函数为 1021 ,XXX 10 1 10 1 50 5 10 1 5 5 10 1 )1 ()1 ()( i i i i iiii x x x i xxx i ppCppCpL 10 1 10 1 50 5 10 1 )1 ()( i i i i i x x x i ppCpL 式两边取自然对数，得： pxpxC ppCpL i i i i x i xx x i i i i i i i ln)1ln()50()ln( )1 (ln)(ln 10 1 10 1 5 10 1 50 5 10 1 10 1 10 1 两边对求导，得：p p x p x dp pLd i i i i 1 )50( )(ln 10 1 10 1 令，解得0 )(ln dp pLd 50 10 1 i i x p 的最大似然估计值的计算公式为p 50 10 1 i i x p 八、 （10 分） 甲同学在他的盒子中放了 200 个玻璃球（盒子中黑球、白球 究竟各有多少他并未告诉其他任何人） ，甲同学当众宣布：他的这些球中黑 球所占比例 p=3%，乙同学从甲同学的盒子中任意取若干个球（比如：10 个） ， 观察并记录取到球的颜色。该实验的结果有多种可能。 （1）假如乙同学发现 他任取的 10 个球中 2 个黑球，问此时乙同学能否相信甲同学的说法？（2） 假如乙同学发现他任取的 10 个球没有黑球，问此时乙同学对甲同学的说法 又应做何反应？ 解：（1） 、把甲同学的说法当作一种假设，即令 H0：p=3%，假定 p=3%真确， 这时 200 个球中的黑球数应为 6，用我们在概率中学过的方法，来计算任取 10 个球中至少有 2 个是黑球的概率。 令表示任取 10 个球中恰有 个黑球这一事件的概率，则 i p i = P“乙同学所取的 10 个球中无黑球” 0 p 10 200 10 194/C C 732140 . 0 )195199200()185189190( = P“乙同学所取的 10 个球中恰有一个黑球” 1 p 10 200 9 194 1 6 / )(CCC )191199200()186193194(106 =0.237451 于是 1 = 10.7321400.237451 = 0.030409。 0 p 1 p 上述结果表明，若甲同学所说的 200 个球中黑球所占比例为 3%为真的话， 则任取 10 个球，出现至少 2 个黑球的概率为 0.030409。这样的抽样做 100 回，遇到这种情况（至少取到 2 个黑球）将不到 4 回，现在，只做一回抽样 （乙同学取 10 个球）就遇上了这种罕见的事情，这和实际推断原理断定的结 果：小概率事件在一次实验中实际上是不可能发生的，产生了矛盾，究其原 因，产生这种矛盾的根源在于甲同学的说法 p=3%，因此乙同学应该拒绝假设 H0：p=3%，认为甲同学的 200 个球中黑球所占比例将远大于 3%，从而拒绝甲 同学的说法，认为甲同学宣称的 200 个球中黑球所占比例为 3%不可信。 （2） 、如果乙同学任取的 10 个球中没有黑球，全是白球的话，则乙同学 只好承认甲同学宣称的 200 个球中黑球所占比例为 3%可能是可信的。 九、 （10 分） 用选主元素的 Gauss 消元法求解 123 123 123 2326,(1 ) 2334,(1 ) 3239.(1 ) xxxa xxxb xxxc 请指明消元、回代过程。 解：3/, 2/, 01, 3 11313111212111 aalaalan 做（第 i 个方程）+（第 1 个方程） ，。完成第一步消元得： 1 i l3 , 2i 3984 185 2632 32 32 321 xx xx xxx 4/, 01 )1( 22 )1( 3232 )1( 22 aala 做第三个方程+第二个方程，完成第二步消元得： 32 l 3312 185 2632 3 32 321 x xx xxx 回代求得： 4 37 3226, 4 17 518, 4 11 321323 xxxxxx 所以原方程组的解为) 4 11 , 4 17 , 4 37 (),( 321 xxx 十、 （10 分） 使用二分法求解于1,2内的根，二分 3 次即可。 2 20x 解：记，2)( 2 xxf0)2() 1 (, 222)2(, 321) 1 ( 22 ffff 在区间（1，2）内有零点，记为。)(xf 0 x 取区间（1，2）的中点，所以;5 . 1 2 21 1 x025 . 0 )5 . 1 (f