湖南张家界市2012届高三数学一轮复习直线、平面垂直的判定与性质过关检测

湖南张家界市湖南张家界市 2012 届高三数学一轮复习直线、平面垂直的判定与届高三数学一轮复习直线、平面垂直的判定与 性质过关检测性质过关检测 一选择题 （每小题分，共 40 分） 1. 已知二面角的大小为，为异面直线，且，则所成l 0 60,m n,mn,m n 的角为 A. B. C. D. 0 30 0 60 0 90 0 120 2. 对于任意的直线与平面，在平面内必不直线与aba A.平行 B.相交 C.互为异面直线 D.垂直 3. 在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 A.BC/平面 PDF B.DF平面 PA E C.平面 PDF平面 ABC D.平面 PAE平面 ABC 4. 如图所示，ADP 为正三角形，四边形 ABCD 为正方形平面 PAD平面 ABCD.点 M 为平面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC.则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为 A B C D A B C D A B C D C D AB A B C D 5. 在正ABC 中，CD 为 AB 边上的高，E、F 分别为边 AC、BC 的中点，将ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A DCB（如图） ，则异面直线 BE 与 DF 所成的角为 A. B. 8 2 arccos 4 2 arcsin C. D.) 8 2 arccos( 4 2 arccos 6. 已知直线 m、n 及平面 、，则下列命题正确的 是 A. B. m n / / / / / / m mn n / / / / / / C. D. m m / / m n m n / / 7. 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是ba,ba A. B. ,/,ba/,ba C. D./,ba,/,ba 8. 已知直线 m,n 和平面满足,则,amnm A B A.n 或 或,/.nBnnC.,/.nDn 第卷（非选择题 共 7 道填空题 6 道解答题） 请将你认为正确的答案代号填在下表中 12345678 二.填空题 （每小题 5 分，共 35 分） 9. 给定下列四个命题： 如果一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行； 垂直于同一直线的两直线相互平行； 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 如果两个平面垂直，那么在一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直. 则其中真命题的序号是 10. 如图，二面角的大小是 60，线段.，与 所成的角为 30.l ABBlABl 则与平面所成的角的正弦值是_.AB 11. 已知菱形中，沿对角线将ABCD2AB 120A BD 折起，使二面角为，则点到所在平面的距离等于ABDABDC120ABCD _ 12. 如图,矩形中,沿对角线将折起得到且点ABCD3,4,ABBCBDABD 1 ,ABD 在平面上的射影落在边上,记二面角 1 ABCDOBC 的平面角的大小为，则的值等于 1 CABDsin _ 13. 已知点在二面角的棱上，点在内，且OABP .若对于内异于的任意一点，都有45POB OQ ，则二面角的大小是_45POQ AB 14. 如右图，A 是BCD 所在平面外一点，M、N 分别 是ABC 和ACD 的重心，若 BD6,则 MN_. 15. 正的边长为，是边上的高，沿把折起，使，ABC2ADBCADABC90BDC 则折起后的的余弦值是_BAC D B B A C D C A 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 3 页 共 12 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 M B A N D C N M A B D C O 三.解答题 （共 75 分） 16. 如图，在四棱锥中，底面四边长为 1 的菱OABCDABCD 形，, , ,为 4 ABC OAABCD 于于2OA M 的中点，为的中点OANBC (1)证明：直线；MNOCD于于 (2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； (3)求点 B 到平面 OCD 的距离。 17. 如图，正三棱锥的三条侧棱、两两垂直，且长度均为 2.、OABCOAOBOCE 分别是、的中点，是的中点，过作平面与侧棱、或FABACHEFEFOAOBOC 其延长线分别相交于 1 A (1)求证：平面； 11 BCOAH (2)求二面角的大小； 111 OABC 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，则面 PAD底面 ABCD，侧棱PA=PD，底面ABCD为直角梯形，2 其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点. (1)求证：PO平面 ABCD； (2)求异面直线 PB 与 CD 所成角的大小； (3)(理)线段 AD 上是否存在点Q，使得它到平面 PCD 的距离为？若存在，求出的值； 2 3AQ QD 若不存在，请说明理由. (文) 求点 A 到平面 PCD 的距离. 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形已ABCDP ABCD 知 60,22, 2, 2, 3PABPDPAADAB (1)证明平面；ADPAB B1 C1 A1 H F E C B A O (2)求异面直线与所成的角的大小；PCAD (3)求二面角的大小ABDP 20. 四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，ABCDEBCDEABC BCDE2BC ，.2CD ABAC (1)证明：；ADCE (2)设与平面所成的角为，求二面角的大小.CEABE45CADE C D E A B 21. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为 1 的菱形，BCD60，E是CD的中点， PA底面ABCD，PA2. (1)证明：平面PBE平面PAB; (2)求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小. 参考答案（仅供参考）参考答案（仅供参考） 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 5 页 共 12 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 Q E N M A B D C O P 12345678 BDCAADCD 2. A 错，原因是如；B 错，原因是如；C 错，原因是如。 aa a 7. A、B、D 的反例如图 二.简答题答案: 9. 10. 4 3 11. 3 2 12. , 又, 面 CDBC 1 CDAO 1 AOBCOCD 1 ABC 1 CDAB 又平面 11 ABAD 1 AB 1 CAD 是二面角的平面角. 1 CAD 1 CABD 在中, .Rt 1 ACDsin 1 3 4 CD AD 命题意图与思路点拨:认识线面关系，求二面角 13. 90o 14. 2 15. 3 4 三.解答题答案: 16. 方法一（综合法） （1）取 OB 中点 E，连接 ME，NE MECDMECD于AB,AB 又,NEOCMNEOCD于于于于 MNOCD于于 （2）CDAB, 为异面直线与所成的角（或其补角）MDCABMD 作连接,APCDP于MP 于于ABCD于O AC DM P 2 , 42 ADP D P= ， 22 2MDMAAD 1 cos, 23 DP MDPMDCMDP MD 所以 与所成角的大小为ABMD 3 xy z N M A B D C O P （3）点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，连接 OP,过点 A 作AB于于O C D , 于点 Q，AQOP,APCD OACDCDOAPAQCD于于 又 ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离,AQOPAQOCD 于于 ， 22222 13 2 4 1 22 OPODDPOAADDP 2 2 APDP ，所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 2 2 2 33 2 2 OA AP AQ OP A A 2 3 方法二(向量法) 作于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系APCD, ,x y z , 22222 (0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,0) 22244 ABPDOMN (1) 22222 (1, 1),(0, 2),(, 2) 44222 MNOPOD 设平面 OCD 的法向量为,则( , , )nx y z0,0n OPn OD AA 即 2 20 2 22 20 22 yz xyz 取,解得2z (0,4,2)n 22 (1, 1) (0,4,2)0 44 MN n A A MNOCD于于 (2)设与所成的角为,ABMD 22 (1,0,0),(, 1) 22 ABMD , 与所成角的大小为 1 cos, 23 AB MD ABMD A ABMD 3 (3)设点 B 到平面 OCD 的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,ddOB (0,4,2)n 由 , 得.所以点 B 到平面 OCD 的距离为(1,0, 2)OB 2 3 OB n d n 2 3 17. （1）证明：依题设，是的中位线，所以/，EFABCEFBC 则/平面，所以/。EFOBCEF 11 BC 又是的中点，所以，则。HEFAHEFAH 11 BC 因为，OAOBOAOC 所以面，则，OAOBCOA 11 BC 因此面。 11 BCOAH （2）作于，连。因为平面ON 11 ABN 1 C N 1 OC N M B1 C1 A1 H F E C B A O 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 7 页 共 12 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 ， 11 OAB 根据三垂线定理知， 1 C N 11 AB 就是二面角的平面角。 1 ONC 111 OABC 作于，则/，则是的中点，则。EM 1 OBMEMOAMOB1EMOM 设，由得，解得， 1 OBx 11 1 OBOA MBEM 3 12 x x 3x 在中，则，。 11 Rt OAB 22 1111 3 5 2 ABOAOB 11 11 3 5 OA OB ON AB 所以，故二面角为。 1 1 tan5 OC ONC ON 111 OABCarctan5 解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，OAOCOB、xy、z 则Oxyz 1 1 (2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(1, ) 2 2 ABCEFH 所以 1 11 1 ( 1, ),(1, ),(0,2, 2) 2 22 2 AHOHBC 所以0,0AH BCOH BC 所以平面BC OAH 由得，故：平面EFBC 11 BCBC 11 BC OAH (2)由已知设 1 3 ( ,0,0), 2 A 1(0,0, ) Bz 则 11 1 (,0,1),( 1,0,1) 2 AEEBz 由与共线得:存在有得 1 AE 1 EB R 11 AEEB 1 1 3(0,0,3)2 1(1) zB z 同理: 1(0,3,0) C 1111 33 (,0,3),(,3,0) 22 ABAC 设是平面的一个法向量,1 111 ( ,)nx y z 111 ABC 则令得 3 30 2 3 30 2 xz xy 2x 1yx 1 (2,1,1).n 又是平面的一个法量 2 (0,1,0)n 11 OAB 12 16 cos, 64 1 1 n n B1 C1 A1 H F E C B A O x y z 所以二面角的大小为 6 arccos 6 （3）由（2）知，平面的一个法向量为。 1 3 ( ,0,0) 2 A(0,0,2)B 111 ABC 1 (2,1,1)n 则。 1 3 (,0,2) 2 AB 则点到平面的距离为B 111 ABC 11 1 326 66 AB n d n 18. 解法一： (1)证明：在PAD中PA=PD,O为AD中点，所以POAD, 又侧面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，PADPO 所以PO平面ABCD. (2)连结BO，在直角梯形ABCD中、BCAD，AD=2AB=2BC, 有ODBC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OBDC. 由(1)知，POOB,PBO为锐角， 所以PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD=2AB=2BC=2,在 RtAOB中，AB=1,AO=1, 所以OB，2 在 RtPOA中，因为AP，AO1，所以OP1，2 在 RtPBO中，tanPBO 122 ,arctan. 222 PG PBO BC 所以异面直线PB与CD所成的角是. 2 arctan 2 (2)假设存在点 Q，使得它到平面 PCD 的距离为. 3 2 设QDx，则，由（）得CD=OB=， 1 2 DQC Sx 2 在 RtPOC中， 22 2,PCOCOP 所以PC=CD=DP, 2 33 ( 2), 42 PCD SA 由Vp-DQC=VQ-PCD,得 2，所以存在点Q满足题意，此时. 1 3 AQ QD 解法二： (1)同解法一. (2)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正OC OD OP 、 方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0), D(0,1,0), P(0,0,1), 所以110111CDPB （，），（，）. F O A CD EB 18 题图 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 9 页 共 12 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 所以异面直线PB与CD所成的角是 arccos， 6 3 (3)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为， 3 2 由(2)知( 1,0,1),( 1,1,0).CPCD 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0). 则所以即， 0, 0, n CP n CD A A 00 00 0, 0, xz xy 000 xyz 取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). 设由，得解y=-或y=(0, ,0)( 11),( 1, ,0),QyyCQy 3 2 CQ n n A 13 , 2 3 y 1 2 (舍去)， 5 2 此时，所以存在点Q满足题意，此时. 13 , 22 AQQD 1 3 AQ QD (文) 设平面PCD的法向量为n（x0,y0,x0） ， 由（）知=（-1，0，1） ，（-1，1，0） ，CPCD 则 n0，所以 -x0+ x0=0,CP n0， -x0+ y0=0， CD 即x0=y0=x0, 取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1). 又=(1,1,0).AC 从而点A到平面PCD的距离d. 3 32 3 2 n nAC 19. 本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想 象能力，运算能力和推理论证能力满分 12 分 (1)证明：在中，由题设可得PAD22, 2PDPA 于是.在矩形中， 222 PDADPAPAAD ABCD .又，ABAD AABPA 所以平面ADPAB (2)解：由题设，所以（或其补角）ADBC /PCB 是异面直线与所成的角.PCAD 在中，由余弦定理得PAB 7cos2 22 PABABPAABPAPB 由(1)知平面，平面，ADPABPBPAB 所以，因而，于是是直角三角形，PBAD PBBC PBC 故 2 7 tan BC PB PCB 所以异面直线与所成的角的大小为PCAD 2 7 arctan (3)解：过点 P 做于 H，过点 H 做于 E，连结 PEABPH BDHE 因为平面，平面，所以.又，ADPABPHPABPHAD AABAD 因而平面，故 HE 为 PE 再平面 ABCD 内的射影.由三垂线定理可知，PHABCD ，从而是二面角的平面角。PEBD PEHABDP 由题设可得， 13 4 ,13, 2 , 160cos, 360sin 22 BH BD AD HE ADABBDAHABBH PAAHPAPH 于是再中，PHERT 4 39 tanPEH 所以二面角的大小为ABDP 4 39 arctan 20. （1）取中点，连接交于点，BCFDFCEO ，ABACAFBC 又面面，面，ABC BCDEAF BCDE G .AFCE ， 2 tantan 2 CEDFDC ，即，90OEDODE 90DOE CEDF 面，.CEADFCEAD （2）在面内过点作的垂线，垂足为.ACDCADG ，面，CGADCEADADCEGEGAD 则即为所求二面角的平面角.CGE ， 2 3 3 AC CD CG AD A6 3 DG 22 30 3 EGDEDG ，则，6CE 222 10 cos 210 CGGECE CGE CG GE A ，即二面角的大小. 10 arccos 10 CGE CADE 10 arccos 10 21. 解法一(1)如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且BCD=60知，BCD是等边三角形.因为E 是CD的中点，所以BECD,又ABCD,所以BEAB.又因为PA平 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 第 11 页 共 12 页 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 面ABCD，平面ABCD，所以PABE.而AB=A,因此BE平面PAB.BE PA 又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.BE (2)延长AD、BE相交于点F，连结PF. 过点A作AHPB于H，由（）知 平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE. 在 RtABF中，因为BAF60， 所以，AF=2AB=2=A