热力学与统计物理复习总结级相关试题 电子科大

热力学与统计物理考试大纲 第一章 热力学的基本定律 基本概念：平衡态、热力学参量、热平衡定律 温度，三个实验系数（，T ）转换关系，物态方程、功及其计算，热 力学第一定律（数学表述式）热容量（C，CV，Cp的概念及定义） ，理想气体的内 能，焦耳定律，绝热过程及特性，热力学第二定律（文字表述、数学表述） ，可逆 过程克劳修斯不等式，热力学基本微分方程表述式，理想气体的熵、熵增加原理及 应用。 综合计算：利用实验系数的任意二个求物态方程，熵增（S）的计算。 第二章 均匀物质的热力学性质 基本概念：焓（H） ，自由能 F，吉布斯函数 G 的定义，全微公式，麦克斯韦 关系（四个）及应用、能态公式、焓态公式，节流过程的物理性质，焦汤系数定义 及热容量（Cp）的关系，绝热膨胀过程及性质，特性函数 F、G，空窖辐射场的物 态方程，内能、熵，吉布函数的性质。 综合运用：重要热力学关系式的证明，由特性函数 F、G 求其它热力学函数 （如 S、U、物态方程） 第三章、第四章 单元及多元系的相变理论 该两章主要是掌握物理基本概念： 热动平衡判据（S、F、G 判据） ，单元复相系的平衡条件，多元复相系的平衡 条件，多元系的热力学函数及热力学方程，一级相变的特点，吉布斯相律，单相化 学反应的化学平衡条件，热力学第三定律标准表述，绝对熵的概念。 统计物理部分 第六章 近独立粒子的最概然分布 基本概念：能级的简并度，空间，运动状态，代表点，三维自由粒子的空 间，德布罗意关系（ kP ， ） ，相格，量子态数。 等概率原理，对应于某种分布的玻尔兹曼系统、玻色系统、费米系统的微观态 数的计算公式，最概然分布，玻尔兹曼分布律（ l ll ea ）配分函数（ sl l sl eeZ 1 ） ，用配分函数表示的玻尔兹曼分布（ l ll e Z N a 1） ， fs，Pl，Ps的概念，经典配分函数（ due h Z l r 0 1 1 ）麦态斯韦速度分布律。 综合运用： 能计算在体积 V 内，在动量范围 PP+dP 内，或能量范围 +d 内，粒 子的量子态数；了解运用最可几方法推导三种分布。 第七章 玻尔兹曼统计 基本概念：熟悉 U、广义力、物态方程、熵 S 的统计公式，乘子 、 的意 义，玻尔兹曼关系（SKln） ，最可几率 Vm，平均速度V，方均根速度 s V ，能量 均分定理。 综合运用： 能运用玻尔兹曼经典分布计算理想气体的配分函数内能、物态方程和熵；能运 用玻尔兹曼分布计算谐振子系统（已知能量 （n+2 1 ） ）的配分函数内能和 热容量。 第八章 玻色统计和费米统计 基本概念： 光子气体的玻色分布，分布在能量为 s的量子态 s 的平均光子数（ 1 1 KT s e f ） ，T0k 时，自由电子的费米分布性质（fs=1） ，费米能量(0)，费 米动量 PF，T0k 时电子的平均能量，维恩位移定律。 综合运用：掌握普朗克公式的推导；T0k 时，电子气体的费米能量(0)计算， T=0k 时，电子的平均速率V的计算，电子的平均能量的计算。 第九章 系综理论 基本概念： 空间的概念，微正则分布的经典表达式、量子表达式，正则分布的表达式， 正则配分函数的表达式。 经典正则配分函数。 不作综合运用要求。 四、考试题型与分值分配 1、题型采用判断题、单选题、填空题、名词解释、证明题及计算题等六种形 式。 2、判断题、单选题占 24，名词解释及填空题占 24，证明题占 10，计 算题占 42。 热力学与统计物理复习资料 一、单选题 1、彼此处于热平衡的两个物体必存在一个共同的物理量，这个物理量就是（ ） 态函数 内能 温度 熵 2、热力学第一定律的数学表达式可写为（ ） WQUU AB WQUU BA WQUU AB WQUU BA 3、在气体的节流过程中，焦汤系数= ）（1T C V P，若体账系数T 1 ，则气体 经节流过程后将（ ） 温度升高 温度下降 温度不变 压强降低 4、空窖辐射的能量密度 u 与温度 T 的关系是（ ） 3 aTu TaVu 3 4 aVTu 4 aTu 5、熵增加原理只适用于（ ） 闭合系统 孤立系统 均匀系统 开放系统 6、在等温等容的条件下，系统中发生的不可逆过程，包括趋向平衡的过程，总是 朝着（ ） G 减少的方向进行 F 减少的方向进行 G 增加的方向进行 F 增加的方向进行 7、从微观的角度看，气体的内能是（ ） 气体中分子无规运动能量的总和 气体中分子动能和分子间相互作用势能的总和 气体中分子内部运动的能量总和 气体中分子无规运动能量总和的统计平均值 8、若三元 相系的自由度为 2，则由吉布斯相律可知，该系统的相数 是（ ） 3 2 1 0 9、根据热力学第二定律可以证明，对任意循环过程 L，均有 L T 0 L T 0 LT 0 L S T 10、理想气体的某过程服从 PVr常数，此过程必定是（ ） 等温过程 等压过程 绝热过程 多方过程 11、卡诺循环过程是由（ ） 两个等温过程和两个绝热过程组成 两个等压过程和两个绝热过程组成 两个等容过程和两个绝热过程组成 两个等温过程和两个绝热过程组成 12、下列过程中为可逆过程的是（ ） 准静态过程 气体绝热自由膨胀过程 无摩擦的准静态过程 热 传导过程 13、理想气体在节流过程前后将（ ） 压强不变 压强降低 温度不变 温度降低 14、气体在经准静态绝热过程后将（ ） 保持温度不变 保持压强不变 保持焓不变 保持熵不变 15、熵判据是基本的平衡判据，它只适用于（ ） 孤立系统 闭合系统 绝热系统 均匀系统 16、描述 N 个三维自由粒子的力学运动状态的 空间是( ) 6 维空间 3 维空间 6N 维空间 3N 维空间 17、服从玻尔兹曼分布的系统的一个粒子处于能量为 l的概率是（ ） l e Z Pl 1 1 l e Z P l l 1 l e N Pl 1 l e Z Pl 1 1 18、T0k 时电子的动量 PF称为费米动量，它是 T0K 时电子的（ ） 平均动量 最大动量 最小动量 总动量 19、光子气体处于平衡态时，分布在能量为 s的量子态 s 的平均光子数为（ ） 1 1 s e 1 1 KT e 1 1 s e 1 1 KT e 20、由 N 个单原子分子构成的理想气体，系统的一个微观状态在空间占据的相 体积是（ ） N h3 N h6 3 h 6 h 21、服从玻耳兹曼分布的系统的一个粒子处于能量为 s的量子态 S 的概率是（ ） s e N Ps 1 s ePs s e N Ps 1 s ePs 22、在 T0K 时，由于泡利不相容原理限制，金属中自由电子从能量 0 状态 起依次填充之(0)为止，(0)称为费米能量，它是 0K 时电子的（ ） 最小能量 最大能量 平均能量 内能 23、平衡态下，温度为 T 时，分布在能量为 s的量子态 s 的平均电子数是（ ） 1 1 KT u s e f 1 1 KT s e f 1 1 KT u s e f 1 1 KT u s e f 24、描述 N 个自由度为 1 的一维线性谐振子运动状态的 空间是（ ） 1 维空间 2 维空间 N 维空间 2N 维空间 25、玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布的条件（非简并性条件）是（ ） 1 e 1 e 1 e 1 e 26、由 N 个自由度为 1 的一维线性谐振子构成的系统，谐振子的一个运动状态在 空间占据的相体积是（ ） h h2 hN h2N 27、由 N 个自由度为 1 的一维线性谐振子构成的系统，其系统的一个微观状态在 空间占据的相体积是（ ） h h2 hN h2N 28、由两个粒子构成的费米系统，单粒子状态数为 3 个，则系统的微观状态数为（ ） 3 个 6 个 9 个 12 个 29、由两个玻色子构成的系统，粒子的个体量子态有 3 个，则玻色系统的微观状态 数为（ ） 3 个 6 个 9 个 12 个 30、微正则分布的量子表达式可写为（ ） e s e s s 1 s 二、判断题 1、无摩擦的准静态过程有一个重要的性质，即外界在准静态过程中对系统的作用 力，可以用描写系统平衡状态的参量表达出来。 （ ） 2、在 P-V 图上，绝热线比等温线陡些，是因为 r= 1 V P C C 。 （ ） 3、理想气体放热并对外作功而压强增加的过程是不可能的。 （ ） 4、功变热的过程是不可逆过程，这说明热要全部变为功是不可能的。 （ ） 5、绝热过程方程对准静态过程和非准表态过程都适用。 （ ） 6、在等温等容过程中，若系统只有体积变化功，则系统的自由能永不增加。 （ ） 7、多元复相系的总焓等于各相的焓之和。 （ ） 8、当孤立系统达到平衡态时，其熵必定达到极大值。 （ ） 9、固相、液相、气相之间发生一级相变时，有相变潜热产生，有比容突变。 10、膜平衡时，两相的压强必定相等。 （ ） 11、粒子和波动二象性的一个重要结果是微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐 标。 （ ） 12、构成玻耳兹曼系统的粒子是可分辨的全同近独立粒子。 （ ） 13、具有完全相同属性的同类粒子是近独立粒子。 （ ） 14、玻色系统的粒子是不可分辨的，且每一个体量子态最多能容纳一个粒子。 （ ） 15、定域系统的粒子可以分辨，且遵从玻耳兹曼分布。 （ ） 16、热量是热现象中特有的宏观量，它没有相应的微观量。 （ ） 17、玻尔兹曼关系 S=Kln 只适用于平衡态。 （ ） 18、T=0k 时，金属中电子气体将产生巨大的简并压，它是泡利不相容原理及电子 气的高密度所致。 （ ） 三、填空题 1、孤立系统的熵增加原理可用公式表示为（ ） 。 2、一孤立的单元两相系，若用指标 、 表示两相，则系统平衡时，其相变平衡 条件可表示为（ ） 。 3、吉布斯相律可表示为 f=k+z-，则对于二元系来说，最多有（ ）相平衡。 4、热力学系统 由初始状态过渡到平衡态所需的时间称为（ ） 。 5、热力学第二定律告诉我们，自然界中与现象有关的实际过程都是（ ） 。 6、热力学第二定律的普遍数学表达式为（ ） 。 7、克拉珀珑方程vT L dT dP 中，L 的意义表示 1mol 物质在温度不变时由相转变 到相时所吸收的（ ） 。 8、在一般情况下，整个多元复相系不存在总的焓，仅当各相的（ ） 相同时，总的焓才有意义。 9、如果某一热力学系统与外界有物质和能量的交换，则该系统称为（ ） 。 10、热力学基本微分方程 dU=( )。 11、单元系开系的热力学微分方程 dU=( )。 12、单相化学反应的化学平衡条件可表示为（ ） 。 13、在 s、v 不变的情形下，平衡态的（ ）最小。 14、在 T、V 不变的情形下，可以利用（ ）作为平衡判 据。 15、设气体的物态方程为 PV=RT，则它的体胀系数（ ） 。 16、当 T0 时，物质的体胀系数（ ） 。 17、当 T0 时，物质的 CV（ ） 。 18、单元系相图中的曲线称为（ ） ，其中汽化曲线 的终点称为（ ） 。 19、能量均分定理告诉我们，对处在温度为 T 的平衡态的经典系统，粒子能量中每 一个平方项的平均值都等于（ ） 。 20、平衡态下，光子气体的化学势 为零，这是与系统中的光子数（ ）相联系的。 21、平衡态统计物理的一个基本假设是（ ） 。 22、空窖内的辐射场可看作光子气体，则光子气体的能量 和圆频率 遵循的德 布罗意关系为（ ） 。 23、若系统由 N 个独立线性谐振子构成，则系统配分函数 Z 与粒子配分函数 Z1的 关系为（ ） 。 24、用正则分布求热力学量实质上相当于选取（ ）作为特性 函数。 25、由 N 个单原子分子构成的理想气体，粒子配分函数 Z1与系统正则配分数 Z 的 关系为（ ） 。 26、T0k 时，电子气体的总能量 U )0( 5 3 N ，式中 N 为电子数， )0( 为费米 能，则一个电子的平均能量为（ ） 。 27、已知 T0k 时，自由电子气体的化学势 322 2 )3( 2 )0( V N m ，则电子的费米 功量 P（0）（ ） 。 28、等概率原理的量子表达式为（ ） 。 29、用微正则分布求热力学量实质上相当于选取（ ）作为特性函数。 30、由麦克斯韦速度分布律可知，如果把分子速率分为相等的间隔，则（ ）速率所在的间隔分子数最多。 四、名词解释 1、热力学平衡态 2、驰豫时间 3、广延量 4、强度量 5、准静态过程 6、可逆过程 7、绝热过程 8、节流过程 9、特性函数 10、熵增加原理 11、等概率原理 12、 空间 13、态密度 14、粒子全同性原理 15、最概然速率 16、能量均分 定理 17、玻耳兹曼分布 18、玻色分布 19、费米分布 20、空间 五、证明题 1、证明热力学关系式 1 VVU T P TP CV T 2、 )(为体胀系数式中 TV C V S P P 3、证明热力学关系式 为压力系数）（式中 VS C TP V T 4、证明热力学关系式 为体胀系数）为压缩系数，（式中 T T V P T 5、证明热力学关系式 SV T V T P U 6、对某种气体测量得到 6 V R T P V， 23 )( 2 bV RT V a V P T ，式中 R，a，b 为常数，试证该气体的物态，方程为范德瓦斯方程。 7、证明热力学关系 TV P S V P C C V P 。 8、证明 PPS T V C T P T ，并说明其物理意义。 9、证明 dV T P TdTCTds V V 10、证明 VVU U P T U T P V T 六、计算题： 1、已知某气体的体胀系数T 1 ，等温压缩系数P KT 1 ，试求该气体的物态方程。 2、已知某热力学系统的特性函数 F 4 3 1 avT ，式中为常数。试求该系统的熵 s 和物态方程。 3、实验测得 1mol 气体的体胀系数和压强系数分别为TPV R1 , ，试求该气体 的物态方程。 4、一体积为 2V 的容器，被密闭的隔为等大的两部分 A 和 B，开始时，A 中装有 单原子理想气体，其温度为 T，而 B 为真空。若突然抽掉隔板，让气体迅速膨胀充 满整个容器，求系统的熵变。 5、对某固体进行测量，共体胀系数及等温压缩系数分别为V bT V bPaT T , 2 ， 式中 a,b 为常数，试求该固体的物态方程。 6、实验测得某气体的体胀系数和等温压缩系数分别为V a PPV nR T 1 , ，式中 n，R，a 均为常数。试求该气体的物态方程。 7、已知某表面系统的特性函数 F A ，式中为表面张力系数，且 )(T ，A 为表面积。试用特性函数法求该系统的熵。 8、已知 1mol 范德瓦耳斯气体的物态方程为 2 v a bv RT P ，试求气体从体积 v1等 温膨胀到 v2时的熵变 s。 9、有两个体积相同的容器，分别装有 1mol 同种理想气体，令其进行热接触。若气 体的初温分别为 300k 和 400k，在接触时保持各自的体积不变，且已知摩尔热容量 CV=R，试求最后的温度和总熵的变化。 10、已知某系统的内能和物态方程分别为 UPVbVTU 3 1 , 4 ，其中 b 为常数。 设 0K 时的熵 S0=0，试求系统的熵。 11、设压强不太高时，1mol 真实气体的物态方程可表示为 PV=RT(1+BP)，其中 R 为常数，B 为温度的函数，求气体的体胀系数 和等温压缩系数T 。 12、对某气体测量得到如下结果： )( 2 PTf P V T a P R T V TP ， ，式中 ,R 为常数，f(P)只是 P 的函数。试求（1）f(P)的表达式。 （2）气体的物态方程。 13、已知水的比热为 4.18J/g.c，有 1kg 0的水与 100的恒温热源接触，当水温达 到 100时，水的熵改变了多少？热源的熵改变了多少？水与热源的总熵改变了多 少？ 14、设高温热源 T1与低温热源 T2与外界绝热。若热量 Q 从高温热源 T1传到低温 热源 T2，试求其熵度。并判断过程的可递性。 15、1mol 范德瓦斯气体从 V1等温膨胀至 V2，试求气体内能的改变 U。 16、已知理想气体的摩尔自由能 f=(CVS0)TCVTlnTRTlnV+f0,试求该气体的摩 尔熵。 17、试由玻耳兹曼分布求单原子理想气体的物态方程和内能。 （积分公式： a e ax 2 ） 18、试求 T0k 时，金属中自由电子气体的费米能量 （0） 。 19、若固体中原子的热运动可看作是 3N 个独立的线性谐振子的振动，振子的能量 , 2 , 1 , 0, 2 1 nhvn）（ 。试用玻耳兹曼分布求振子的配分函数 Z1和固体的内 能 U。 20、试由玻耳兹曼分布推导热力学系统内能 U 的统计表达式 1 lnZ Nu 。 21、由 N 个经典线性谐振子组成的系统，其振子的能量 22 2 1 2 1 bqap ，式中 a，b 为常数，试求振子的振动配函数 Z1（积分式 dxe x2 ） 22、空窖辐射看作由光子气体构成。已知光子气体的动量与能量的关系为c p ， 式中为圆频率，c 为光速。试求在体积 V 的空窖内，在到+d的圆频率范 围内，光子的量子态数为多少？ 23、设空窖辐射场光子气体的能量 cp ，试求温度为 T，体积为 V 的空窖 内，圆频率在 d到 范围内的平均光子数。 24、对于金属中的自由电子气体，已知电子的能量m p 2 2 ，试求在体积 V 内，能 量在 d到 范围内电子的量子态数。 25、设双原子分子的转动惯量为 I，转动动能表达式 ) sin ( 2 1 2 2 2 Q P P I ，试求双 原子分子的转动配分函数。 26、假充电子在二维平面上运动，密度为 n，试求 T=0K 时二维电子气体的费米能 量 （0） 。 27、气柱的高度为 H，截面积为 S，处于重力场中，并设气柱分子能量 mgzPPP m zyx )( 2 1 222 ，试由玻耳兹曼分布求气柱分子的配分函数 Z1和内能 U（积分公式： a dxe ax 2 ） 28、服从玻耳兹曼分布的某理想气体，粒子的能量与动量关系为 cp ，式中 c 为 光速。气体占据的体积设为 V，试求粒子的配分函数。 29、试求温度为 T，体积为 V 的空窖内，圆频率在 d到 范围内的平均光子 数及辐射场内能按频率分布的规律。 30、对于金属中自由电子气体，电子的能量m p 2 2 ，试求在体积 V 内，T=0K 时 系统的总电子数。 部分参考答案 一、单选题 17、 19、 21、 23、 28、 29、 二、证明题 1、利用 T、V、U 构成的链式关系 1 VTU T U U V V T 及能态公式 P T P T U V VT 即可证明。 10、选取 U=U(T，V)以 P V S T V U TT 代入下式 U T V U V T TU = VT U T P V S T 且 VT T P V S 代入即得 六、计算题 2、 3 3 4 aVT T F S V 4 3 1 aT T F P T 3、选取 TT（P，V）可求微分得 V dV p dP dT 将 、 代入再改写为 dP P RT dT P R dV 2 凑成全微分后积分可得P RT V 6、选取 V=V(T,P)微分得 dPdT V dV T 以 ，T 代入积分：PV=nRT- Cap 2 2 1 确定 C=0 PV=nRT- 2 2 1 ap 8、 dV T P dT T C S V T T V V V 2 1 dV T P V V V 2 1 以范氏气体方程代入求偏导数再积 分即得 bv bv RS 1 2 ln 10、由题中已知条件代入热力学基本微分方程T PdVdU dS 然后积分可得 VbTS 3 3 4 12、 （1）选取 V=V(T，P)得 dV= dPPTfdT T a P R )( 2 由全微分条件可得 2 )( P R Pf (2)将 f(P)代入 dV 式 dV= 22 T adT P TdP P dT R 积分并由物理边界条件确定积分 常数 V=T a P RT 15、 dV T P TPdTCU V V 以范氏气体方程代入 21 111 1VV a V adV U V V 16、 0 lnlnSVRTC T f S V V 17、配分函数 )( 2 3 1 222 1zyx PPP m e h Z dxdydzdpxdpydpz 2 3 2 1 2 h m VZ 20、 )(. 11 l ll ll l ll l ll ll e Z N e z NaPNU 11 1 lnZ N Z Z N 21、 T abh k abh dqdpe h Z bqap v 2121 ) 2 1 2 1 ( 1 22 23、光的 0 KT 在体积 V 的空窖内，在动量 P 至 P+dP 范围内光子的量子态 数为 2 3 2 4 h dPVP （考虑自旋） 将 cP代入得 体积 V 内，在圆频率d范围内光子的量 子态数 d C V 2 32 以1 1 KT s e f 代入 得体积 V 的空窖内，圆频率在d范围内 的平均光子数为1 2 32 KT e d C V 24、 dm h V dD m p h dpVp pdPD 2 1 2 3 3 2 3 2 )2( 4 2 8 )(）（代入得以 25、见教材 P275 26、动量在 yyyxxx dPPPdPPP至至, 范围内电子的量子态数 2 2, h dPSdP dPdPPPD yx yxyx ）（ （1） PdP P PP dPdP yx yx 2 ),( ),( （2） 又 mP2 2 （3） md h s dD 2 4 )( （4） T0K 时， )0(0 )0(1 s f )0( 44 )( 2 )0( 0 2 h sm d h sm dDfN s )( 4 )0( 2 S N n m nh 式中 27、 )1 ()2( 1 2 3 3 0 )( 2 1 3 1 222 KT mgH zyx HPPP mKT e mg KT mKT h s dPdPdPedzdxdy h Z zyx 1 2 ln 0 1 KT mgH e NmgH NKTU Z NU 28、 0 2 3 0 2 33 1 4 4 1 dpep h V dppe h V pydpzdxdydzdpxde h Z pcpcpc 3 33 3 333 818 T ch VK ch V 30、 3 22 8 )( h dPPV pdPD 代入 m P 2 2 dm h V dD 2 1 2 3 3 2 4 )(）（ )0(0 )0(1 s f 2 3 2 3 2 )0( 0 )0() 2 ( 3 8 )( h mV dDfN s 热力学与统计物理二 00