参数思想在解析几何中的应用 毕业论文.doc

编号：本科毕业论文参数思想在解析几何中的应用院 系：数学科学系姓 名: xxx学 号：专 业：年 级：2008级指导教师：xxx职 称：xx完成日期：2012.05ii摘 要参数是解析几何中最活跃的元素，也是在高中数学中经常出现的问题.所以树立合理的参数观念，是学好解析几何的重要环节.参数思想和参数方法在解析几何中有广泛的应用，比如用参数方程可以求动点的轨迹问题、变量范围及最值问题、定点问题和定值问题等等.这类问题，不仅涉及面广、综合性强、变量多、应用性强，而且情景新颖，能很好地考验出学生的创新能力和解决问题的能力.通过探讨和研究此课题，以便在平时的数学教学中不断提升学生的思维品质,使同学们获得必要的和较高的数学素养.关键词：参数方程；解析几何；构造方法；思维能力；启示abstract parameter is the most active elements of analytic geometry and frequently occurring problems in high school mathematics.so set up reasonable parameters idea, is the important link to learn analytic geometry.parameters and parameter method in analytic geometry, there are a wide range of applications, such as parametric equations can find fixed points of the trajectory, variable scope of the problem and on the least value, fixed point problems and constant problem and so on.this kind of problem, not only is broad, comprehensive strong, variables, applied is strong, and the scene is novel, can well test out the innovative ability of students and the ability to solve problems.through the discussion and research on this topic, so that in the usual mathematics teaching continuously improving students thought quality, make the students have access to the necessary and a higher quality of mathematics.key words: parameter equation; analytic geometry; construction method; thinking ability; reveltion目 录摘 要(i)1 引 言(1)2 参数方程的概念(2)3 参数的选取及参数方程的建立(3)3.1 选取参数的一般原则(3)3.2 选取参数的一般方法(3)3.3 参数方程的建立(3)3.4 几类常见曲线的参数方程(4)4 参数范围的求解方法(6)4.1 利用判别式求参数范围(6)4.2 根据曲线上点的坐标范围求参数范围(7)4.3 利用函数思想求参数范围(8)4.4 利用数形结合的方式求参数范围(9)4.5 利用几何性质法求参数范围(10)4.6 利用基本不等式求参数范围(10)4.7 利用实根分布或韦达定理求参数范围(11)5 参数方程的若干应用(13)5.1 探求几何中最值型问题(13)5.2 求证解析几何中证明型问题(13)5.3 探求解析几何定值型问题(14)5.4 求解关于直线对称型问题(15)5.5 由参数式表示的函数求导方式(16)5.6 曲线方程的变量参数问题(16)5.7 曲线方程的系数参数问题(17)6 总结与展望(19)参考文献(20)致谢(21)211 引 言 众所周知，由所给条件求动点的轨迹是解析几何的基本问题之一，在探究轨迹方程时，除了一些比较简单的曲线外，要直接用变量间的函数关系来表示曲线上的运动规律，即建立曲线的普通方程往往是比较困难的，这时一般需要借助于参数建立曲线的参数方程.有时建立和运用曲线的普通方程虽然不是太难，但是在解题时却很困难，如果在解题时选用参数方程，通过参数来联系几个变量的变化，便把几个变量的变化归结为参数的变化，这样便能化简为繁地解决问题. 解析几何中的参数问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的课题，因而成为了解析几何教学时的一个难点问题，特别是近几年来，以解析几何知识为载体的求参数取值范围问题，经常出现在中高考中，很好地考查了学生的创新能力和解决问题的能力. 参数思想和参数方法在数学中有着广泛的应用，比如用参数方程可以求轨迹问题、最值问题、定点问题和定值问题等等.通过探讨和研究这一课题,以便我们能在平时的数学教学中不断提升学生的思维品质,使同学们获得必要的和较高的数学素养. 参数方法是解析几何中经常用到的解决问题的一种方法.这种方法内容丰富、应用广泛.掌握了这种方法，就等于掌握了一把开启解析几何问题解决之门的钥匙.本课题当前在国内也是一个非常热门的研究课题，2007年，杨映柳、苏远东在数学通讯上发表文章参数思想及参数方法在解析几何中的应用,2008年，王进在江苏技术师范学院报上发表文章参数方法在解决几何问题中的应用,2009年，李红林在数学周刊上发表文章确定解析几何问题中的参数取值范围的策略等.2 参数方程的概念 在直角坐标系下，坐标平面上的点与有序实数对之间存在着一一对应的关系.当一个点的位置被确定时，它的坐标也就被唯一地确定；当点的位置变动时，点的坐标也相应地变动.在平面解析几何中，点的变动形成一条曲线,由点的变动规律，求出它的横坐标与纵坐标之间的关系，就得到一个关于的方程.这样，曲线与方程之间就有了一定的对应关系.当直接寻找变量之间的关系很难确定时，恰当地引入一个中间变量(参数)，分别建立起变量与参数之间的直接关系，从而可以求出与之间的关系，这种数学思想称为参数思想. 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数（1）,分别是参数的函数并且对于的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点()都在这条曲线上，那么方程（1）就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 参数是联系变数的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.3 参数的选取及参数方程的建立3.1 选取参数的一般原则 首先是参数的选择问题.一般地说，选择参数时应考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标都可由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与的相互关系比较明显，容易列出方程.参数的选取应根据具体条件来考虑.例如可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、截距，动点的坐标等.有时为了便于列出方程，也可选两个以上的参数，再设法消去参数得到的普通方程，或剩下一个参数方程.但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数一般应尽量少设.如果要把参数方程转化为普通方程，其基本方法是“消去参数”.消去参数的具体方法要根据参数方程的特点来考虑.一般地说，当都是多项式时，常采用代入消元法；当都是的三角函数时，常借助三角恒等式.在转化的时候，还必须使两种方程的变量的取值一致.3.2 选取参数的一般方法 参数方程在建立轨迹方程、计算有关几何量、证明几何量之间的关系、研究曲线的性态等方面应用较广.学生在学习中常感到参数难选又难消.因此，掌握选择参数的一般规律和消去参数的一般方法，对培养学生分析问题和解决问题的能力很有益处.参数思想和参数方法在解析几何中有着广泛的应用.比如利用参数方程可以求动点的轨迹问题，变量的范围及最值问题，定点和定值问题等等.为建立参数方程,(为参数),应选影响动点成迹，起制约作用的那些关键量作为参数，如角度、点、斜率、截距、长度等等.具体怎样选择要根据题给条件，结合图形特点进行.运用参数方法的关键在于参数的选择，即如何引参（常见的引参方式有：点参数；斜率参数；截距参数；距离参数；比例参数；角参数；时间参数等).然后通过必要的运算和推理，建立目标变量与参数的某种联系，最后又消去参数只保留目标变量而获解.解题时应注意参数范围的限定，以确保变形过程的等价性.3.3 参数方程的建立 曲线的普通方程是相对参数方程而言，它反映了坐标变量与之间的直接联系；而参数方程 是通过参数反映坐标变量与之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1.曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的. 消去参数恰当选择参数 参数方程 普通方程 ； 普通方程 参数方程.这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式. 求曲线参数方程一般程序： (1) 设点：建立适当的直角坐标系，用()表示曲线上任意一点的坐标； (2) 选参:选择合适的参数； (3) 表示:依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与的关系式； (4) 结论:用参数方程的形式表示曲线的方程. 3.4 几类常见曲线的参数方程1 (1) 一般曲线的参数方程（为参数）分别是参数的函数.设直线过定点，为其倾斜角，是上任一点，（有向线段的数量），则直线的参数方程是，当点在的上方（右方）时；当在的下方（左方）时.如果把直线看成以为原点，向上或向右为正方向的数轴，则是点的坐标.设是直线上的两个点，分别对应即，则线段的中点对应；线段的长度为|. (2) 圆的参数方程 圆：的参数方程为：（为参数，表示动半径的旋转角）. (3) 椭圆的参数方程 椭圆：的参数方程为：（为参数，表动点的离心角）.(4) 双曲线的参数方程双曲线:的参数方程为：（为参数，表双曲线上动点的离心角）. (5) 抛物线的参数方程 抛物线:的参数方程为：（为参数，表动点与顶点连线斜率的倒数）.4 参数范围的求解方法4.1 利用判别式求参数范围 例 1 设,两点在抛物线上,是的垂直平分线，当直线的率为2 时,求直线在 轴上截距的取值范围.解 设直线在轴上的截距为,依题意得的方程为 .过点的直线方程可写为.由 （1）消得 . 即是方程（1）的两个不同的解，得，即，且 . 设的中点的坐标为，则 , .由，得，于是.即得直线在轴上截距的取值范围为 . 启示：该题含有两个参数,，先由直线与抛物线有两个不同的交点, 应用判别式求出参数的范围, 再由题意找出两个参数,之间的关系式,最后求出参数的取值范围.4.2 根据曲线上点的坐标范围求参数范围 例 2 已知椭圆的左、右焦点分别为若椭圆上存在一点使，求该椭圆离心率的取值范围.解 因为在中，由正弦定理得，则由已知得，即 .设点，由焦点半径公式，得，则，得 .由椭圆的几何性质知，则 ，整理得，解得或.又，故椭圆的离心率的取值范围为. 启示：由椭圆的简单几何性质知,椭圆上任一点的横、纵坐标是有界的,通过有界性就可能找到变量间的不等关系,对于椭圆、双曲线它们的自身都包含了一些不等关系.如椭圆的长轴长大于短轴长,也大于焦距长,双曲线的实轴、虚轴长小于焦距长,它们的离心率都有一定的范围.对于椭圆、抛物线,当点位于其内部或外部时,都满足一定的不等关系.另外,圆锥曲线上的点的横坐标或纵坐标是有界的,因而也可以根据它的有界性建立不等关系.4.3 利用函数思想求参数范围 例 34 双曲线的两个焦点为 , 若为其上的一点, 且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）. 解 如图，设，则当在右顶点处时， ，所以 . 启示:本题考查离心率的公式及其意义,另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边来求解,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线.4.4 利用数形结合的方式求参数范围 例 4 已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解, 则的取值范围为( ）. 解 因为当时,将函数化为方程,实质上为一个半椭圆,同时在坐标系中作出当的图像,再根据周期性作出函数其它部分的图像.易知直线（1）与第2个椭圆（2）相交，而与第3个半椭圆（3）无公共点时，方程恰有5个实数解，将（1）代入（2）得 .令 ，则.由，得.由，且，得.同样将（1）代入（3），由得.综上知.故答案选b.启示：一般地,根据含参数方程表示曲线的几何特征,利用数形结合可确定参数范围.另外,解析几何恒成立问题可通过图形关系、隐含条件是解题的关键.4.5 利用几何性质法求参数范围 例 56 如果曲线： (为参数) 与直线恒有公共点，求实数的取值范围.解 由已知, 曲线的普通方程是.它表示以为圆心,半径为1的圆.要使直线与圆有公共点，则应满足圆心到直线的距离：.启示：利用圆心距与半径的关系问题是求解与圆有关范围的关键之所在.4.6 利用基本不等式求参数范围 例 6 已知双曲线:与直线:相交于两个不同的点，求双曲线的离心率的取值范围. 解 由与相交于两个不同的点, 知方程组 有两个不同的实数解，消去整理得，则 ，解得 ，且.而双曲线的离心率，所以且，即双曲线的离心率的取值范围为 启示：本题利用已知条件求出相关量的范围再建立离心率与的关系, 利用这种函数关系形式的特殊联想到重要不等式,从而求出其范围.4.7 利用实根分布或韦达定理求参数范围 例 78 如图，已知抛物线:与圆:相交于四个点，求的取值范围.解 将抛物线：代入圆：，消去，整理得 （1）抛物线与圆相交于4个点的充要条件是:方程（1）有两个不相等的正根,则解得 ，即. 启示：解析几何最重要的题型之一就是曲线与曲线的关系,这就要联立方程组,特别是直线与曲线的位置关系更是如此.5 参数方程的若干应用5.1 探求几何中最值型问题有时在求多元函数的几何最值有困难，我们不妨采用参数方程进行转化，化为求三角函数的最值问题来处理.例 19 求函数的最大值和最小值.解 设，则，且 .由于,故当时,当时，.启示：这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系.是纽带，三者之间知其一，可求其二.令换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值.5.2 求证解析几何中证明型问题运用直线和圆的标准形式的参数方程中参数的几何意义，能简捷地解决有关与过定点的直线上的动点到定点的距离有关的问题.例 210 以过点的直线的斜率为参数，将方程416化成参数的方程.解 设是椭圆上异于的任意一点，则，以代入椭圆方程，得，所以 另有点 因此所求椭圆的参数方程为 或. 启示：将普通方程化参数方程方法：消去 已知 5.3 探求解析几何定值型问题 在解析几何中点的坐标为，有二个变元，若用参数方程则只有一个变元，则对于有定值和最值时，参数法显然比较简单. 例 311 已知圆的方程为，过点作圆的任意弦，交圆于另一点,求的中点的轨迹方程. 解 设，由 ，消去,得 ，因与不重合，所以点的轨迹方程为:（）. 启示：是没有直接寻求中点的轨迹方程，而是通过引入第三个变量（直线的斜率），间接地求出了与的关系式，从而求得点的轨迹方程.实际上方程（1）和（）（2）都表示同一个曲线，都是点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式.方程组（1）是曲线的参数方程，变数是参数，方程（2）是曲线的普通方程. 由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参数方程并不陌生，在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量，先求得曲线的参数方程再化为普通方程，进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简捷、有效的方法.5.4 求解关于直线对称型问题 例 4 过原点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线于两点，则线段中点的轨迹方程是什么？ 解 设 则 （易知应存在且不为0），联立：得.同理.设中点为，则消去得.5.5 由参数式表示的函数求导方式例 5 求由参数方程确定的函数的导数.解 ， .启示：设参数方程为: .则 .5.6 曲线方程的变量参数问题例 6 求椭圆 上的点,使其到直线的距离为最大或最小，并求出这个值.解 设，则点到直线的距离所以，当时，有最大值.此时，点.当时，有最小值.此时，点.启示：点是椭圆上的点，根据椭圆的参数方程，采用引进已知曲线上点的坐标的参数设法，如（为参数），可以减少引进的参数，省略利用关系式消参的过程，并且这种带三角函数的参数设法，还为应用三角公式创造了条件。5.7 曲线方程的系数参数问题14例 714 中心在，一条准线是，离心率，求它的方程.解 根据题意，有解得所以，.于是所求的双曲线方程为.启示：若有的问题不易直接求出系数参数的值，则可先设出类型已明确的曲线的标准形方程，再利用所给定的条件列出关于未定系数的方程或方程组，即可求得曲线的方程.此法就是待定系数法.6 总结与展望 参数思想是一种重要的数学思想.尤其是在运动变化型问题中,如果能认真分析事物运动变化的机理及相互制约因素,适时进行变量扩张,引入相关变量作为参数,以参变量为桥梁,沟通变量之间的联系,明确相关两个变量之间的函数关系,既有利于揭示运动变化的本质规律,而且还能把变化中的量转为归结为参数的变化，这样便能化简为繁地解决问题. 参数法参数方程的引入拓宽了解析几何的解题