凸函数及其在不等式证明中的应用 数学与应用数学毕业论文.doc

分类号 编 号 2012010119 毕业论文题 目 凸函数及其在不等式证明中的应用 学 院 数学与统计学院 姓 名 专 业 数学与应用数学 学 号 281010119 研究类型 研究综述 指导教师 杨钟玄 提交日期 2012年5月 原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名: 年 月 日 论文指导教师签名:凸函数及其在不等式证明中的应用 王红娟（天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000）摘 要: 凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。关键词:凸函数; 性质; 不等式; jensen不等式convex function and its application in the proof inequalitywang hong-juan( tianshui normal university ,academic of mathematics and statistics, tianshui741000,china)abstract convex function is a kind of important function, it has a far-ranging application in a lot of mathematical problems .the paper related and analyzed the definition, property, and discriminant method of the convex function .at the same time,the theme talked about the convex functions important in the proof inequality and popularized about the convex function.key words convex function; property; inequality; jensen inequality目 录题目：凸函数及其在不等式证明中的应用1摘 要1关键词1引言11 凸函数的定义、性质及判定定理11.1凸函数的定义11.2凸函数的几种等价定义21.3凸函数的性质及定理32 关于凸函数的四个不等式42.1 jensen不等式142.2 jensen不等式242.3 holder不等式152.4 holder不等式263 凸函数在不等式证明中的应用73.1 利用jensen不等式1和凸函数性质证明不等式73.2利用jensen不等式2和凸函数性质证明不等式93.3凸函数在积分不等式中的应用.104 凸函数的推广114.1凸函数的定义推广114.2凸函数的性质及定理推广124.2.1凸函数的性质推广124.2.2 凸函数的定理推广13结束语14参考文献15致谢16数学与统计学院2012届毕业论文凸函数及其在不等式证明中的应用 王红娟（天水师院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000）摘 要: 凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。关键词: 凸函数;性质;不等式; jensen不等式1引言在很多数学问题的分析与证明中,我们都需要用到凸函数,例如在数学分 析、函数论泛函分析、最优化理论等当中.大家都熟悉函数的图像,它的特点是:曲线上任意两点间的弧线总在这两点连线之下,我们可以下这样一个定义:设在上有定义,若曲线上任意两点间的弧线总位于直线的之下,则称函数是凸函数. 上面的定义只是几何描述性的,为了便于函数的应用,用严格的分式来定义是非常必要的.1.凸函数的定义、性质及判定定理1.1凸函数的定义 设函数在区间上有定义,若对上任意两点, 和正数,总有 , 则为区间上的凸函数. 若不等式中的不等号改为严格不等号,则称为内的严格不等式.常见的凸函数有:() 均为内的严格凸函数(ii) 均为内的严格凸函数1.2凸函数的几种等价定义设函数在区间上有定义, 对及,恒有对任意恒有证明 记,则 从而有 所以有 同理可证 综上所述 (4)在区间上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线以下,则称为凸函数. 1.3凸函数的性质及定理 （）（）.设都是单调非负凸函数,则也是上的凸函数证明 对任意,因为与在上单调递增,故即 由知注 非负不能少, 单调递增不能少.设是单调递增函数, 是凸函数,则复合函数也是凸函数.若为区间内的凸函数,且不是常数,则在内部不能达到最大值.如果 是 上的凸函数,则 在 的任一闭子区间上有界.如果是 内的凸函数,则在 内连续.定理 1 若在 内二阶可导,且 f( x)0,则 是 内的凸函数. 若上面的不等号变为严格不等号,则 是 内的严格凸函数.2.关于凸函数的四个不等式2.1 jensen不等式1 设为在区间上有定义, 为凸函数,当且仅当有证明只是2.2 jensen不等式2 设则证明 应用数学归纳法,当时,由凸函数的定义知命题成立. 设当是命题成立. 即对任意设当是命题成立.即对任意及,都有,现设及,令则,有数学归纳假设可推得 这就证明了对任何正整数,凸函数总有不等式成立.2.3 holder不等式1对任给定的证明: , ;证明 令 则 所以 即 2.4 holder不等式2 定义如前,在上可积,证明:（范数形式为）证明 用定积分定义证明,将 等分,设,由holder不等式1得两边同时乘以,由得:当时,由的可积性得3.凸函数在不等式证明中的应用3.1 利用jensen不等式1和凸函数性质证明不等式例1 在中,求证: 若为锐角三角形,则. 证明 （1）令由,则在是凸函数.所以由jensen不等式1得:,即得:故（2）,由,则为上的凸函数.所以由 jensen不等式1得: 又由（1）知:,所以有: 则有= = 所以: （3）而在上恒大于零.所以在是凸的.所以由jensen不等式得: 又 所以 即 又 证明如下 = = = = 所以 3.2利用jensen不等式2和凸函数性质证明不等式例2 用凸函数的方法证明代数平均数于几何平均数，在条件并且有,设 证明 ： 证明 设=,有根据定理1知=在上是严格凸函数,根据jensen不等式2,得,其中,并且又取,=,则有等价于式子 即 即不等式的后半部分成立只需证明不等式成立即可同理有 所以 于是,有 3.3凸函数在积分不等式中的应用例3 设是区间上的凸函数,则 证明 由的凸性保证了有意义,当,有 因此 令得=因此 , 又 所以 即 另外令得,有 所以 综上所述不等式成立.4.凸函数的推广4.1凸函数的定义推广定义1若区域满足:其中任意两点的连线仍属于d,即,则称d为凸区域.定义2设d为凸区域, ,若有,则称为d上的凸函数.4.2凸函数的性质及定理推广4.2.1凸函数的性质推广 设二元函数在凸区域上有定义, 函数为上为凸函数，则以下命题成立. ,线段上一点，不妨设 总有证明 设则或,由二元凸函数的定义知特别的当时，有.即凸函数上任意两点中点函数值不大于这两点函数的平均值. 设在凸区域d上有连续的一阶偏导.则对于有 证明 由于为d上的凸函数，故,有即 因在凸区域d上有连续的一阶偏导，故可微:有=其中因此又，所以有整理得 4.2.2 凸函数的定理推广定理2 （jensen不等式）是凸区域d上凸函数的充要条件是及有证明 充分性 当n=2时有定义知命题成立.假设当n=k时命题成立,即: .有当n=k+1时,及且,令则且,即当n=k+1时成立,根据数学归纳法知命题成立.必要性显然.证毕.结束语凸函数的应用领域非常广泛，特别是在不等式的证明当中，运用它解题显得巧妙，简练。利用函数的凸性来证明不等式,通常需要构造适当的凸函数, 再运用函数的凸性的定义及几个等价论断,可将一些初等不等式, 积分不等式转化为研究函数的性态, 从而使不等式简化进而得到证明.。参考文献1 华东师大数学系. 数学分析m . 北京: 高等教育出版社, 1999.2 翟连林,姚正安. 数学分析方法论m .北京:北京农业大学出版社, 2000.3 孙本旺, 汪浩. 数学分析中的典型例题和解题方法4 林源渠,方企勒. 数学分析习题集m .北京:高等教育出版社, 2002. 5 刘玉琏.数学分析讲义m.北京:高等教育出版社,1997. 6 刘玉琏,傅沛仁.数学分析（上册、下册）（第三版m.北京:教育出版社,1988.7 华东师范大学数学系.数学分析（上册）m.北京：高等教育出版社，2001.75) 致谢在本论文的写作过程中,我的导师杨钟玄倾注了大量的心血,从选题到开题报告, 从写作提纲，到一遍又一遍的指出具体问题,严格把关,循循善诱,在此我表示衷心感谢.同时我还要感谢在我学