关于线性变换的可对角化问题—数学本科毕业论文设计.doc

本 科 毕 业 论 文 （ 设 计 ） 题 目： 关于线性变换的可对角化问题 学 生： 学号: 学 院： 专业: 入学时间： 年 月 日 指导教师： 职称: 完成日期： 年 月 日 诚 信 承 诺 我谨在此承诺：本人所写的毕业论文关于线性变换的可对角 化问题均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观 点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。 承诺人（签名）： 年 月 日 关于线性变换的可对角化问题 摘 要：线性变换可对角化问题是高等代数的重要内容.我们可 以通过探讨矩阵的可对角化问题来研究线性变换的可对角化问题.本 文先给出可对角化的概念;再探讨线性变换可对角化的判定以及其在 高等代数中应用，并简略介绍几种特殊的可对角化问题. 关键词：线性变换可对角化；特征值；特征向量；最小多项式； 矩阵可对角化；实对称矩阵 diagonolization of linear transformation abstract: the diagonolization of linear transformation, which can be studied by the diagonalization of matrix, is important in higher algebra. in this paper, we first introduce the conception of diagonolization, then discuss the decision of diagonolization of linear transformation and its applications in the advanced algebra, moreover, we introduce briefly several kinds of special diagonolization problems. key words: diagonalization of linear transformation; eigenvalue; eigenvector; minimal polynomial ; matrix diagonalization; real symmetric matrices 目 录 1 引言. . 1 2 可对角化的概念. .1 3 判定方法. .1 4 两个矩阵同时合同对角化. .4 5 几类特别的可对角化矩阵. .6 6 应用. . 6 6.1 矩阵相似的判断. 6 6.2 方阵高次幂. 7 6.3 化实对称矩阵为对角形矩阵. 7 6.4 求特征值. 8 6.5 经典例题. 8 7 小结. 9 参考文献. .10 1 引言 我们要想研究可对角化问题,可以从它在某组基下的矩阵下手.那 我们该如何研究这个问题?它的概念是什么?对角化有哪些判断方法? 它们应该如何应用?下面将综合介绍一下以上问题. 2 可对角化的概念 定义 8 设 是 维线性空间 的一个线性变换, 为 在某一nva 组基下的矩阵且 与矩阵 相似，其中矩阵 是对角形矩阵，则称abb 可对角化,也称线性变换 可对角化.我们把 叫做 的相似对角形a 矩阵. 3 判定方法 3.1 定理 18 设 维线性空间内有一个线性变换，且 为它在某n a 一组基下的矩阵，要是 为对角形矩阵，那么 可对角化.a 例 1 设在三维线性空间内有一个线性变换 ， 是 4031 在基 下的矩阵，由于 为对角形矩阵，可知 可对角化.321,1a 3.2 定理 21 设 是 维线性空间内的一个线性变换，且 有 个n n 线性无关的特征向量，则 可对角化. 证明 “必要性” 假设 可对角化，令 .),(21n ),(21n m21 即 ， ；特征值为 ，则 是ii)(i, n21, n,21 的特征向量,由已学知识可知 是不相关的. n,21 “充分性” 设有 个不相关的向量 ，并且它们都是nn,21 的特征向量，设 ，其中 ； 将 作为ii)(in,21 线性空间中的一组基，则满足： )(,)(,(21n ),(21n ),(21n . m21 即 在基 下的矩阵为对角形矩阵，从而 可对角化.n,21 例 22 是 在基 下的矩阵，试利用定 1632a321, 理 2 判断 是否可对角化. 解 由于 ， 的特征值为：)4(21632ae a .4,231 对于 ，由 知基础解系是：210xae 和 . 10 由已学知识可知它们是线性无关的，故它们对应的特征向量为： , .21131 对于 ，由 知基础解系是：430xae . 132 由已学知识可知它是线性无关的，故它对应的特征向量为： .3213 由以上可知 包含三个特征向量 ， ， ，并且它们是线性无关的.其 个数刚好等于空间维数，由定理 1 知 可对角化. 3.2 推论 12 设 是 维线性空间 的一个线性变换，若在数域 中nvp 的特征多项式包含 个互不相等的根，那么 可对角化. 例 3 设二维线性空间内有一个线性变换 ， 是它在基3102a 下的矩阵，试利用推论 1 判断 是否可对角化 .21, 解 由 知 的特征值为302ae)3(2 .因为它们是不相等的，所以特征值的个数与空间维数相3,21 等.由推论 1 知 可对角化. 3.3 推论 25 设 维线性空间 内有一个线性变换 ，其中 的特nv 征值是 ，并且它们是不相同的.用 来表示 对,1 iri,21 i 应的 个特征向量， 那么：ir;,21ki ，则 可对角化.nri21 ，则 不可对角化.ri 例 4 已知 ，试利用推论 2 判断它,40132a40313a 们是否可对角化. 解 通过计算 和 知 的特征值是相同的，2ae3ae32, 它们全部为 （二重） ， .314 首先讨论 ，对于 （二重） ，由 知它的基础2a31032xae 解系是： .因为 是 的特征值而且是二重根，但只对t0,12a 应一个特征向量，故 只包含 个特征向量.它的个数比空间维数要2 少，由推论 2 知 不可对角化.a 最后讨论 ，对于 （二重） ，由 知它的基础33103xae 解系是： . 对于 ，由 知它tt0012，和， 423 的基础解系是： ；故 有 个特征向量而且它们是线性无3， 3a 关的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论 2 知 可对角化.3a 3.4 定理 37 在数域 上，设 是矩阵 的所有互不pk， 3,21 相同的特征值.如果满足 ，那么0eaeak 可以对角化.a 例 5 设有一个线性变换 ， 是它在基 1632 下的矩阵，试利用定理 3 判断 能否可对角化.321, 解 由上面例 2 知 ，故 是矩阵 的所有42ae4-2与 a 不同特征值.又 . 0362176324142a 通过定理 3 知 可以对角化. 3.5 定理 49 是复数域上的矩阵，当矩阵 的最小多项式没有重aa 根时，则 可以对角化. 例 6 设一个线性变换 ， 是它在基 下 1632a321, 的矩阵，试利用定理 4 判断 是否可对角化. 解 由上面例 2 知 ，则 的最小多项式有以42aea 下两种可能： .42或 计算 推出 的最小多项式为 .通过定理 4042eaa4 知 可对角化. 410 两个矩阵同时合同对角化 4.1 定义 10 设矩阵 ， ，若存在可逆矩阵 ，使 和abnrpat 同时为对角形矩阵，则 、 可同时合同对角化.bpt 4.210 同时合同对角化的计算方法 下面是以 为 阶实对阵正定矩阵， 为 阶实对阵矩阵为例给anbn 出计算步骤： （1）求出 的 个特征值，再求出特征向量； （2）对于每个不一样的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通 过列的形式构成 阶正交阵 ，那么 ，令n1pntdiaga， 211 ，ndiagp121， 则 是可逆的，同时满足 ；te （3）解出 ，再求出它的 个特征值 和它的 个特征向量 ；bt ini （4）对每个不同的特征值，把它们的特征向量标准正交化后通过列 的形式构成 n 阶正交矩阵 ，则 ；qntdiagbp， 21 （5）记 ，则 .pt ntiea， 21 例 7 设 ，求可逆矩阵 将 、 可同 201201， tab 时合同对角化. 解 计算 可知 为 的特征值.ae312， a 对于 ，由 得出它的一个特征向量为 ；101xt01， 对于 ，由 得出它的一个特征向量为 ；22 2， 对于 ，由 得出它的一个特征向量为 .33ae t3， 将其单位化得 .t t 021,10021321 ， 则正交矩阵 ， . 0121p321apt 记 ，则 . 02163121p 2103apt 其特征方程为 .13bpet 它们的特征值为 .1321， 由 知 是 的一个特征向量；01xbpett1，1 由 知 是 的一个特征向量；2 02， 2 由 知 是 的一个特征向量；03xbpett2313，3 将其单位化，则 ； 32032132032q 于是有： . 31qbpt ， 0210363621021pqt 则 可逆，且t ， 31bteqapqttt ， 故 就是合乎题意的矩阵. 5 几类特别的可对角化矩阵 命题 4.14 如果一个矩阵为实对称矩阵，那么该矩阵可以对角化. 命题 4.24 如果一个矩阵为对合矩阵 ，那么该矩阵可以对角ea2 化. 命题 4.34 如果一个矩阵为周期矩阵 ，那么该矩阵可以对)(eam 角化. 命题 4.47 如果一个矩阵为幂等矩阵 ，那么该矩阵可以对角2 化. 命题 4.57 如果一个矩阵为循回矩阵，那么该矩阵可以对角化. 命题 4.64 如果一个矩阵为幂零矩阵 ，那么该矩阵不)0(ma， 可以对角化. 解 通过计算 ， 和 知 的01ae23e321,a 特征值相同，它们全部为 （二重） ， ；其中 已经是对角34 形矩阵，所以只需判断 ， 是否可对角化.2 首先讨论 ，对于 （二重） ，由 知它的基础2a1032xae 解系是： .因为 是 的特征值而且是二重根，但只对t0,132a 应一个特征向量，故 只包含 个特征向量.它的个数比空间维数要2 少，由推论 2 知 不可对角化，则 与 不相似.a12 最后讨论 ，对于 （二重） ，由 知它的基础33103xae 解系是： . 对于 ，由 知它tt0012，和， 423 的基础解系为： ,故 有 个特征向量而且它们是线性无关3， 3a 的，特征向量的个数与空间维数相等，由推论 2 知 可对角化, 则3a 与 相似 .1a3 参考文献： 1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等代数m北 京，2003：299 2 邱森高等代数武汉：武汉大学出版社，2008：216-219 3 张禾端，郝炳新高等代数m4 版北京：高等教育出版社， 2000 4 李志慧，李永明高等代数中的典型问题与方法j北京：科 学出版社，2008：204 5 唐忠明，戴桂生高等代数m南京：