发表在中国科学院智慧火花文章--利用抽屉原理证明素数无穷多

发表在中国科学院智慧火花栏目文 章-利用抽屜原理證明素數無窮多 /viewdoc.action?docid =31740 王曉明 素數無窮多的證明自歐幾里得起，已經有十幾種方法證明，現在我再利用抽屜原理提 供一種新的證明方法。抽屜原理又稱鴿巢原理，它是組合數學的一個基本原理，最先是德 國數學家狄利克雷明確地提出來的，因此，也稱为狄利克雷原理。 其中一種簡單的表述法為：若有 n 個籠子和 n+1 只鴿子，所有的鴿子都被关在鴿籠里， 那麼至少有一个籠子有至少 2 只鴿子。 或者另外一種表述法為：若有 n+1 个籠子和 n 只鴿子，所有的鴿子都關在鴿籠里，那 麼至少有一籠子没有鴿子。 證明分為三個板塊： 第一，素数的公式 公元前 300 年古希臘的埃拉斯特尼創造了一種篩法，可以產生任意大的數以内的全部素數： 要得到不大于某個自然數 n 的所有素数，只要在 2n 中將不大于 素數的倍數全部劃 去即可。 上述筛法可以總結為： 1，如果 n 是合數，則它有一個因子 d 滿足 16 时，最后一项分子大于分母，即从 =7 开始， ，17-2=15 2x7=14= 。即从 k=7 开始，分子 ( )大于分母 。 其他各项都是分子大于或者等于分母。 【4】就是说，如果相差 6 的孪生素数是有限的，就会造成解数少于（1）（2） 式的固有解数，有鸽笼是空的。而固有解数（鸽笼）是孙子定理得到的，孙子 定理是说在知， . 范围内有： ( )( )( )( ).( )个鸽笼，每一个笼子都有一个 鸽子。 与孙子定理矛盾必然是错误的。证毕。 利用抽屜原理证明特殊类型的素数-孿 生素數對 孿生素數的公式 利用素數的判定法則，可以得到以下的結論：若自然數 與 都不能被任何不大於 的素數 整除，則 與 都是素數。這是因為一個自然數 是素數当且仅当 它不能被任何小於等於 的素數整除。用數學的語言表示以上的結論，就是： 存在一組自然數 ，使得 其中 表示從小到大排列時的前 k 個素數： 2，3，5，。並且滿足 這樣解得的自然數 如果滿足 ,則 與 是一對孿生素數。 我們可以把（1）式的內容等價轉換成為同餘方程組表示： 由於（2）的模 , ,., 都是素數，因此兩兩互素，根據孫子定理（中國剩餘定理）知， 對於給定的 ，（2）式有唯一一個小於 的正整數解。 範例 例如 k=1 時， ，解得 。 由於 ，所以可知 與 ； 與 都是孿生素數。這樣就求得了區 間 里的全部孿生素數對。 又比如 k=2 時，列出方程 ，解得 。 由於 ，所以 與 ； 與 都是了孿生素數。 由於這已經是所有可能的 值，所以這樣就求得了區間 的全部孿生素數 對。 k=3 時 = 11,和 41 17 29 由於這已經是所有可能的 值，所以這樣就求得了區間 的全部孿生素數 對。 仿此下去可以一個不漏地求得任意大的數以內的全部孿生素數對。 對於所有可能的 值，根據孫子定理，(1)和(2)式在 . 範圍內，有 （ ）（ ）( ).（ ）（3）個解。 結論推廣 孿生素數猜想就是在 k 值任意大時（1）和（2）式都有小於 的解。孪生素数猜 想已经转入初等数论范围. 引理：參見利用抽屜原理證明素數無窮多 证明 【1】假定最後一對孿生素數是 ，我們按照（1 ）式和（2）式寫上。那 麼根據假定，就沒有小於 的解。當然也沒有小於 的解。kp1 【2】將 1 至 . 按 為一組，劃分成 . 個組（或區間） 1， ； （ ）+1，2 ； . （ ） +1， . 。 假定 -2 之内无解，那么 之内无解。 【3】我们用反证法证明 有解， 之内有解就是 -2 之内有 解。 【4】，如果第一区间无解，根据引理：“两个含自然数个数相等的区间筛 k 次 被筛数相差不超 k“。其它区间的解数就不会超高 2k。 因为：（1）式（ 2）式（ 0; ） 还有 . 1 个区间，总解数不超过（ . 1）x 2k 个。 而： （ . -2 -1) x 2k 26.34 分子与分母比例逐渐加大，这是因为每增加一项 都是分子大于或者等 于分母，经常是大于分母；而（5）式末端 也是随着 k 值增大，商也增 大。 【6】就是说，如果第一区间1 ， 无解，(或者任何一個區間無解)其他 區間的解數不會超過 2k 個，於是，（ 1）式（2）式總解數少於 （ ）（ ）（ ）.（ ）個，而（2 ）式的解數是根 據孫子定理得到的，與孫子定理矛盾的結果必然是錯誤的。 從第一第二部分看到的內容都是與埃拉特斯尼篩法有關，顯示了歷久彌新的魅力。數論也 因此重新洗牌。 參考文獻： 1，談談素（質）數表達式【中等數學】1999 年 2 期 吳振奎 2，關於一個尋找素數方法的理論依據【中等數學】200