历届高考数学真题汇编专题14_复数_理(2000-2006)

【2006 高考试题】 一、选择题（共 11 题） 2 （北京卷）在复平面内，复数 对应的点位于1i （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 解： 故选 D1ii（ ） 3 （福建卷）设 a、 b、 c、 dR，则复数( a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 A.ad bc=0 B.ac bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 4 （广东卷）若复数 满足方程 ，则z20z3z A. B. C. D. 22i2i 解析：由 ，故选 D.zizz203 5 （江西卷）已知复数 z 满足（ 3 i）z3 i，则 z（ ） A B. C. D.32i 4i 32i 34i 解： 故选 D。3312iiz（ ） 6 （全国卷 I）如果复数 是实数，则实数()mim A B C D122 解析：复数 =(m2m)+(1+m 3)i 是实数， 1+m 3=0，m=1，选 B.2()1i - 2 - 8(陕西卷)复数 等于( ) (1+i)21 i A.1i B.1+i C.1+ i D.1i 解析: 复数 = ，选 C (1+i)21 i ()1ii 11 （浙江卷）已知 niminmnii 是 虚 数 单 位 ， 则是 实 数 ， 其 中1 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。 解析： ，由 、 是实数，得inniim11 mn10 ，故选择 C。i22 二、填空题（共 4 题） 12 （湖北卷）设 为实数，且 ，则 。,xy51213xyiiixy 解： ，()()()()125i ii 而 所以 ，解得 x1，y5，5(13)02iii12355xyxy且 所以 xy4。 13(上海卷)若复数 同时满足 2 ， （ 为虚数单位） ，则 zz izi z 解：已知 ；21iZi 14(上海卷)若复数 满足 （ 为虚数单位） ，其中 则z(2)(mimR 。_z 【2005 高考试题】 1（广东卷）若 ，其中 、 ， 使虚数单位，则 (D)(2)aibiabRi2ab （）（）（） （）5 2.（北京卷）若 , ，且 为纯虚数，则实数 a 的值为 12zai34zi12z 38 3. （福建卷）复数 的共轭复数是 （ B ）iz1 A B C Di21ii1 4. （湖北卷） （ C ）i)( A B C Dii2i 5. （湖南卷）复数 z i i2 i3 i4的值是 （B） A1 B0 C1 D i 6. （辽宁卷）复数 在复平面内， z 所对应的点在 （B ）.iz A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 - 4 - 7. (全国卷 II) 设 、 、 、 ，若 为实数，则 ( A)abcdRiabcd (A) (B) (C) (D) 0bcd000bcad 8. (全国卷 III) 已知复数 .zzziz 则 复 数满 足复 数 ,3,23 i231 9. （山东卷） （1） （ D 221ii ） （A） （B） （C）1 （D）i i 1 10. （天津卷）2若复数 （ aR， i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数 a 的值为213 （ C ） A2 B4 C6 D6 11. （浙江卷）在复平面内，复数 (1 i)2对应的点位于( B )1i3 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限 12. (重庆卷) （ A ）205)1(i A B C Di205205 13. （江西卷）设复数： 为实数，则 x=（ A）1 12,(),zixiRz若 A2 B1 C1 D2 14.（上海）在复数范围内解方程 (i 为虚数单位)iz3)( 【2004 高考试题】 1.（北京）当 时，复数 在复平面上对应的点位于（ D 231mzmi()()321 ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 （上海）若复数 满足 ，则 的实部是 1 。z2)1(iz 3 （湖北）复数 的值是 （ A ）i3(2 A16 B16 C D41i3 4 （湖南）复数 的值是 （ D ）)(i A B C4 D4i 【2003 高考试题】 3.（2002 京皖春，4）如果 （ ， ） ，那么复数（1 i） （cos isin ）的辐角的2 主值是（ ） A. B. C. D. 494447 4 （2002 全国，2）复数（ i） 3的值是（ ）21 A. i B.i C.1 D.1 - 6 - 5.（2002 上海，13）如图 121，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是 （ ） 6.（2001 全国文，5）已知复数 ，则 arg 是（ ）i62z1 A. B. C. D.661335 9.（2000 上海理，13）复数 z （ i 是虚数单位）的三角形式是（ )5sin(co3 ） 图 121 A.3cos（ ） isin（ ） B.3（cos isin ）555 C.3（cos isin ） D.3（cos isin ）465 10.（2000 京皖春，1）复数 z13 i， z21 i，则 z z1z2在复平面内的对应点位 于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.（1998 全国，8）复数 i 的一个立方根是 i，它的另外两个立方根是（ ） A. B. i213213 C. D.ii 13.（1996 全国，4）复数 等于（ ）5 4)31(2i A.1+ i B.1+ i 3 C.1 i D.1 i 14.（1994 上海，16）设复数 z= i（ i 为虚数单位） ，则满足等式 zn=z 且大于23 1 的正整数 n 中最小的是（ ） - 8 - A.3 B.4 C.6 D.7 15.（1994 全国，9）如果复数 z 满足| z+i|+|z i|=2，那么| z+i+1|的最小值是（ ） A.1 B. C.2 D.25 二、填空题 16.（2003 上海春，6）已知 z 为复数，则 z+ 2 的一个充要条件是 z 满足 . 17.（2002 京皖春，16）对于任意两个复数 z1 x1 y1i， z2 x2 y2i（ x1、 y1、 x2、 y2 为实数） ，定义运算“”为： z1 z2 x1x2 y1y2设非零复数 w1、 w2在复平面内对应的点 分别为 P1、 P2，点 O 为坐标原点如果 w1 w20，那么在 P1OP2中， P1OP2的大小为 18.（2002 上海，1）若 z C，且（3 z） i1（ i 为虚数单位） ，则 z 19.（2001 上海春，2）若复数 z 满足方程 i=i1（ i 是虚数单位） ，则 z=_. 20.（1997 上海理，9）已知 a= （ i 是虚数单位） ，那么 a4=_.21 21.（1995 上海，20）复数 z 满足（1+2 i） =4+3i，那么 z=_.z 三、解答题 26.（2001 上海理，20）对任意一个非零复数 z，定义集合 Mz w|w z2n1， nN （）设 是方程 x 的一个根，试用列举法表示集合 M ；21 （）设复数 Mz，求证： M Mz 27.（2001 上海文，20）对任意一个非零复数 z，定义集合 Mz w|w zn， nN （）设 z 是方程 x+ =0 的一个根，试用列举法表示集合 Mz若在 Mz中任取两个数，1 求其和为零的概率 P； （）若集合 Mz中只有 3 个元素，试写出满足条件的一个 z 值，并说明理由 28.（2000 上海春，18）设复数 z 满足| z|5，且（34 i） z 在复平面上对应的点在第 二、四象限的角平分线上，| z m|5 （ mR） ，求 z 和 m 的值.2 30.（1999 全国理，20）设复数 z3cos i2sin .求函数 y arg z（0 ）的最大值以及对应的 值.2 31.（1999 上海理，19）已知方程 x2（4 i） x4 ai0（ aR）有实数根 b，且 z=a+bi，求复数 （1 ci） （ c0）的辐角主值的取值范围.z 32.（1999 上海文，19）设复数 z 满足 4z+2 =3 +i， =sin icos （ R）.3 求 z 的值和| z |的取值范围. 33.（1998 上海文，18）已知复数 z1满足（ z12） i=1+i，复数 z2的虚部为 2，且 z1z2是实数，求复数 z2的模. 34.（1998 上海理，18）已知向量 所表示的复数 z 满足（ z2） i=1+i，将 绕OZOZ - 10 - 原点 O 按顺时针方向旋转 得 ，设 所表示的复数为 z，求复数 z+ i 的辐41OZ1 2 角主值. 35.（1997 全国文，20）已知复数 z= i， w= i，求复数 zw+zw3的模2312 及辐角主值. 38.（1996 上海理，22）设 z 是虚数， w=z+ 是实数，且1 2. （）求| z|的值及 z 的实部的取值范围； （）设 u= ，求证： u 为纯虚数；1 （）求 w u2的最小值. 39.（1995 上海，22）已知复数 z1、 z2满足| z1|=|z2|1，且 z1+z2= i.求3 z1、 z2的值. 40.（1995 全国文，22）设复数 z=cos +isin ， （ ，2 ）.求复数 z2+z 的模 和辐角. 41.（1995 全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 Z1， Z2， Z3， O（其中 O 是原点） ，已知 Z2对应复数 z2=1+ i，求 Z1和 Z3对应的复数. 42.（1994 全国理，21）已知 z=1+i， （）设 w=z2+3 4，求 w 的三角形式. （）如果 =1 i，求实数 a， b 的值.12zbax 43.（1994 上海，22）设 w 为复数，它的辐角主值为 ，且 为实数，求复数434)( 2 w. 答案解析 2.答案：A 解析：由已知 z= （ m4）2（ m+1） i在复平面对51)2(12imi 应点如果在第一象限，则 而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于 04 第一象限. 3.答案：B 解析：（1 i） （cos isin ） （cos isin ） （cos isin ）24 - 12 - cos（ ） isin（ ） 244 （ ， ） （ ， ）35 该复数的辐角主值是 4 6.答案：D 解法一： 35arg21ar),3sin(co2)321( zziz 解法二： )(i1z 应在第四象限，tan ， arg ,023,213z1 arg 是 z5 8.答案：B 解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是 iiiii 32)1)(3)sn()3)co(3( 9.答案：C 解法一：采用观察排除法.复数 对应点在第二象限，而选项)5sin(coz A、B 中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项 D 不是复数的三角形式，也可排除，所 以选 C. 解法二：把复数 直接化为复数的三角形式，即)5sin(co3z).54sin(co3 )5si(z 12.答 案：D - 14 - 解法一： i=cos +isin23 i 的三个立方根是 cos （ k=0，1，2）32sin3k 当 k=0 时， ；iii 2sco2sn3co 当 k=1 时， ；iii 21367snc3s3cs 当 k=2 时， .iii s1co42sn42cos 13.答案：B 解法一： ，)4sin(co2i 故（2+2 i） 4=26（cos +isin ）=2 6，1 ，)3sin(co23i 故 .35sinco)31(5i 于是 ,iiii 31)2(2)()31(25654 所以选 B. 解法二：原式= iii 231)231()231( 62554 iii 314)(31 应选 B 14.答案：B 解析： z= i 是 z3=1 的一个根，记 z= ， 4= ，故选 B.21 17.答案： 2 - 16 - 解析：设 iyxziyxzOPOP2121, w1 w20 由定义 x1x2 y1y20 OP1 OP2 P1OP2 21.答案：2+ i 解析：由已知 ，iiiz 25)83(641)2(342 故 z=2+i. 22.解法一：设 z a bi（ a， bR） ，则（13 i） z a3 b（3 a b） i 由题意，得 a3 b0 | | ，25|i | z| 102ba 将 a3 b 代入，解得 a15， b15 故 （7 i） i25 解法二：由题意，设（13 i） z ki， k0 且 kR， 则 )31(ik | |5 ， k502 故 （7 i） 23.解： z1 i， az2 b （ a2 b）（ a2 b） i， （ a2 z） 2（ a2） 244（ a2） i（ a24 a）4（ a2） i， 因为 a， b 都是实数，所以由 az2 b （ a2 z） 2得).(42, 两式相加，整理得 a26 a80， 解得 a12， a24， 对应得 b11， b22 所以，所求实数为 a2， b1 或 a4， b2 （） z71， zcos isin z7cos7 isin7 1，7 2 k z z2 z41 z3 z5 z6 1cos（2 k 4 ） isin（2 k 4 ）cos（2 k 2 ） isin（2 k 2 ）cos（2 k ） isin（2 k ） 1（cos4 isin4 cos2 isin2 cos isin ） 2（cos cos2 cos4 ）1， - 18 - cos cos2 cos4 21 解法二： z2z51， z2 5 同理 z3 ， z46 z z2 z41 42z z z z1 cos2 cos cos4 2 解法二：| z|1 可看成 z 为半径为 1，圆心为（0，0）的圆. 而 z1可看成在坐标系中的点（2，2） | z z1|的最大值可以看成点（2，2）到圆上的点距离最大.由图 122 可知： |z z1|max2 1 26.（）解： 是方程 x2 x10 的根 1 （1 i）或 2 （1 i）2 当 1 （1 i）时， 12 i， 12n1 1 2)(ni )1(2),(),(),(,111 iiiiiiM 当 2 （1 i）时， 22 i 12 ,22M M )1(2),(),(),1( iiii 28.解：设 z x yi（ x、 yR） ， | z|5， x2 y225， 而（34 i） z（34 i） （ x yi）（3 x4 y）（4 x3 y） i， 又（34 i） z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， - 20 - 3 x4 y4 x3 y0，得 y7 x x ， y22 即 z（ i） ； z（17 i） 7 当 z17 i 时，有|17 i m|5 ，22 即（1 m） 27 250， 得 m=0， m=2. 当 z（17 i）时，同理可得 m0， m2 解： 该直线上的任一点 P（ x， y） ，其经变换后得到的点 Q（ x y， x y）仍在该直线3 上， x y k（ x y） b，33 即（ k1） y（ k ） x b，33 30.解：由 0 得 tan 02 由 z3cos i2sin ，得 0arg z 及 tan（arg z） tan232cosin 故 tanytan（ arg z） tan2t31tan312 2tan 2tan36 t2ta1 当且仅当 2tan （0 ）时，tn32 即 tan 时，上式取等号.26 - 22 - 所以当 arctan 时，函数 tany 取最大值26126 由 y arg z 得 y（ ） , 由于在（ ）内正切函数是递增函数，函数 y 也取最大值 arctan 2, 126 评述：本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所 学数学知识解决问题的能力.明考复数实为三角.语言简练、情景新颖，对提高考生的数学素 质要求是今后的命题方向. 复数 （1 ci）的辐角主值在0，z2) 范围内，有 arg （1 ci） arctan arctan（ 1） ，cc2 0 c1，0 11，c2 有 0arctan（ 1） ，4 0arg （1 ci） z4 32.解：设 z=a+bi（ a， bR） ，则 =a bi，代入 4z+2 =3 +iz3 得 4（ a+bi）+2（ a bi）=3 +i.3 . z= i. 213b21 |z |=| i（sin icos ）|3 = )6sin(2cosin32)cos21()sin2( 1sin（ ）1，022sin（ ）4.66 0| z |2. - 24 - 评述：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模 的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力. 34.解：由（ z2） i=1+i 得 z= +2=3 ii1 z= zcos（ ）+ isin（ ） =（3 i） （ i）= 2 i442 z+ i= i=2（ i）=2（cos +isin ）2247 arg（ z1+ i）= 47 评述：本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念. 35.解法一： zw+zw3=zw（1+ w2）=（ i） （ i） （1+ i）312 = （1+ i） 2（ i）=1)13()(iii )65sin(co 故复数 zw+zw3的模为 ，辐角主值为 .265 解法二： w= i=cos +isin4 zw+zw3=z（ w+w3）= z（cos +isin ）+（cos +isin ） 344 =z（cos +isin ）+（cos +isin ） = z（ ）43 ii22 = )21(2)31( ii )65sin(co 故复数 zw+zw3的模为 ，辐角主值为 .65 评述：本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力. 又因为| OP|=| |=1，| OQ|=|z2 3|=|z|2| |3=1z | OP|=|OQ|. 由此知 OPQ 为等腰直角三角形. 证法二： z=cos（ ）+ isin（ ）.66 z3= i 又 = .4sinco2i 4=1 - 26 - 于是 izz2433232| 由此得 OP OQ，| OP|=|OQ| 故 OPQ 为等腰直角三角形. （2）由 z1=1+mi（ m0） ， z12=z2得 z2=（1 m2）+2 mi =（1+ m2）+2 mi tan = 2 由 m0，知 m+ 2，于是1tan 01 又 （ m2+1）0，2 m0，得 43 因此所求 的取值范围为 ， ）