高中数学必修 1教案(精选多篇)

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 高中数学必修 1 教案(精选多篇) 学习周报专业辅导学习 集合 一、知识目标：内容：初步理 解集合的基本概念，常用数集，集合元 素的特 征等集合的基础知识。 重点：集合的基本概念及集合 元素的特征 难点：元素与集合的关系 注意点：注意元素与集合的关 系的理解与判断；注意集合中元 素的基本属性的理解与把握。 二、能力目标：由判断一组对 象是否能组成集合及其对象是否从属已 知集合， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 培养分析、判断的能力； 由集合的学习感受数学的简洁 美与和谐统一美。 三、教学过程： ）情景设置： 军训期间，我们经常会听到教官 在高喊：的全体同学集合！听到口令， 咱们班的全体同学便会从四面八方聚集 到教官的身边，而那些不是咱们班的学 生便会自动走开。这样一来教官的一声 “集合”就把“某些指定的对象集在一起” 了。数学中的“ 集合” 这一概念并不是教 官所用的动词意义下的概念，而是一个 名词性质的概念，同学们在教官的集合 号令下形成的整体即是数学中的集合的 涵义。 ）探求与研究： 一般地，某些指定的对象集 在一起就成为一个集合，也简称集。 问题：同学们能不能举出一些集 合的例子呢？ 为了明确地告诉大家，是哪 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 些“指定的对象 ”被集在了一起并作为一 个 整体来看待，就用大括号 将这 些指定的对象括起来，以示它作为一个 整体是一个集合，同时为了讨论 起来更方便，又常用大写的拉丁字母 a、 b、c?来表示不同的集合，如同 学们刚才所举的各例就可分别记 为? 另外，我们将集合中的“每个对 象”叫做这个集合的元素，并用小写字 母 a、 b、c?表示 同学口答课本 p5 练习中的第 1 大题 分析刚才同学们所举出的集 合例子，引出： 对某具体对象 a 与集合 a，如果 a 是集合 a 中的元素，就说 a 属于集合 a，记作 aa；如果 a 不是集合 a 的元素，就说 a 不属于集合 a，记作 a?a -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 再次分析同学们刚才所举出 的一些集合的例子，师生共同讨论得出 结论： 集合中的元素具有确定性、互异 性和无序性。 然后请同学们分别阅读课本 p5 和 p40 上相关的内容。 在数学里使用最多的集合当 然是数集，请同学们阅读课本 p4 上与 数集有 关的内容，并思考：常用的数集 有哪些？各用什么专用字母来表示？你 能分别说出各数集中的几个元素 吗？） 注意：数 0 是自然数集中的元素。 这与同学们脑子里原来的自然数就是 1、2、3、4?的概念有所不同 同学们完成课本 p5 练习第 2 大 题。 http:/.cn 学习周报专业辅导学习 注意：符号“ ” 、 “?”的书写规范 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 化 练习： 下列指定的对象，能构 成一个集合的是 很小的数 不超过 30 的非负实数 直角坐标平面内横坐标与纵 坐标相等的点 的近似值 高一年级优秀的学生 所有无理数 大于 2 的整数 正三角形全体 a、 b、 c、 d、 给出下列说法： 较小的自然数组成一个集合 集合1，-2 ， ，与集合 ，- 2， ，1 是同一个集合 某同学的数学书和物理书组 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 成一个集合 若 ar，则 a?q 已知集合x，y，z与集合 1，2， 3是同一个集合，则 x=1，y=2， z=3 其中正确说法个数是 a、1 个 b、2 个 c、 3 个 d、4 个 已知集合 a=a+2， 2，a2+3a+3 ， 且 1a，求实数 a 的值 ）回顾与总结： 1 集合的概念 2 元素的性质 3几个常用的集合符号 ）作业：p7 习题 1.1 第 1 大 题 阅读课本并理解概念 课后反思：这节课由于开学典礼 的影响，没有来得及全部上完。等待明 天继续上 然后与老教师产生一节课的差距。 总体来看，比昨天稍微好一点，语气上 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 连贯了 些，但是还没有理清自己上课的 思路，到了课堂上原本的准备有些忘记 了。 http:/.cn 1.2 余弦定理 第 1 课时 知识网络 三角形中的向量关系余弦定理 学习要求 1 掌握余弦定理及其证明； 2 体会向量的工具性； 3 能初步运用余弦定理解斜三 角形 自学评价 1余弦定理： a2?b2?c2?2bc?cosa，_ _，_. 变 形：cosa? b 2 ?c -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 2 ?a 2 ， 2bc _，_ _ . 2利用余弦定理，可以解决以 下两类解斜三角形的问题： _； _ 在?abc 中， 已知 b?3，c?1，a?600，求 a； 已知 a?4，b?5，c?6，求 a 点评: 利用余弦定理，可以解决 以下两类解斜三角形的问题：已知三边， 求三个 用心爱心角；已知两边和它们的 夹角，求第三边和其他两个角 a,b 两地之间隔着一个水塘，听 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 课随笔 择另一点 c，测 ca?182m,cb?126m,?acb?630 ， 求 a,b 两地之间的距离确到 1m） 用余弦定理证明：在?abcc 为锐 角时，a2?b2?c2 ；当 ca2?b2?c2 点评:余弦定理可以看做是勾股定 理的推广 追踪训练一 在中， 求 a； 已知 a， 若三条线段的长为 ，则用这 三条线段能组成直角三角形 能组成锐角三角形 能组成钝 角三角形 专心 不能组成三角形 在中，已知 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 a2?b2?ab?c2，试求的大小 两游艇自某地同时出发，一 艇以的速度向正北行驶， 另一艇以的速度向北偏东 的方向行驶，问：经过 ，两艇相距多远？ 在 abc 中，bc=a，ac=b，且 a，b 是方程 x2 ?23x?2?0 的两根， 2cos?a?b?1。 求角 c 的度数； 求 ab 的长； 求 abc 的面积。 用心爱心 在 abc 中，角 a、b、c 听课随笔 分别为 a，b，c ，证明： a2 ?b2 ?a?b?。 c 2? sinsinc 追踪训练二 1在abc 中，已知 b?2， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 c?1，b=450 则 a? a2b 6?2 2 c 6?2 6?22 d2 2在abc 中，已知 ab=5，ac=6，bc=31 则 a= a?2? b3 c6d4 3在abc 中，若 b?10，c?15，c=? 6 则此三角形有解。 4、 abc 中，若 a2 ?c2 ?bc?b2 ， 则 a=_. 专心 用心爱心 专心 3 第 3 课时：1.2 余弦定理 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 ： 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度 关系的探索，掌握余弦定理的两种表示 形式及证明余弦定理的向量方法，并会 运用余弦定理解决两类基本的解三角形 问题。 2.能够运用余弦定理理解解决一 些与测量和几何计算有关的实际问题 3.通过三角函数、余弦定理、向 量数量积等多处知识间联系来体现事物 之间的普遍联系与辩证统一. 二、过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理 及其推论，并通过实践演算掌握运用余 弦定理解决两类基本的解三角形问题 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处 理解三角形问题的运算能力； 2.通过三角函数、余弦定理、向 量的数量积等知识间的关系，来理解事 物之间的普遍联系与辩证统一。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 ： 重点：余弦定理的发现和证明过 程及其基本应用； 难点：向量方法证明余弦定理. ： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影 仪. ：新授课 ：1 课时 ： 一、创设情景，揭示课题 1.正弦定理的内容？ 2.由正弦定理可解决哪几类斜三 角形的问题？ 二、研探新知 1余弦定理的向量证明： 方法 1：如图，在?abc 中， ab、bc、ca 的长分别为 c、a、bac?ab?bc，? -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 ac?ac?ab?2?2ab?b c?bc?2 b?ab?2?2|ab|?|bc|cos+bc222?2? c2?2accosb?a2 即 b?c?a?2accosb； 同理可证： a?b?c?2bccosa，c?a?b?2abcosc 222222 方法 2：建立直角坐标系，则 a,b,c所以 a2?2?2?c2cos2a?c2sin2a?2bccosa?b2?b2? c2?2bccosa，同理可证 1 b2?c2?a2?2accosb，c2?a2?b2?2abcosc 注意：此法的优点在于不必对 a 是锐角、直角、钝角进行分类讨论 于是得到以下定理 余弦定理：三角形任何一边的平 方等于其他两边平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍，即 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 b2?c2?a2 a?b?c?2bccosa?cosa? 2bc222 c2?a2?b2 b?c?a?2accosb?cosb? 2ca222 a2?b2?c2 c?a?b?2abcosc?cosc? 2ab222 思考：这个式子中有几个量？从 方程的角度看已知其中三个量，可以求 出第四个量，能否由三边求出一角？ 语言叙述：三角形任何一边的平 方等于其它两边平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍。 用符号 语言表示：a2?b2?c2?2bccosa ，?等； 2. 理解定理 注意：熟悉定理的结构，注意 “平方”“夹角”“余弦”等 余弦定理的应用：已知三边， 求三个角；已知两边和它们的夹角， 求第三边和其他两个角 当夹角为 90?时，即三角形为直 角三角形时即为勾股定理 b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 16 变形：cosa?cosb?cosc? 2bc2ac2ac 思考：勾股定理指出了直角三角 形中三边平方之间的关系，余弦定理则 指出了一般三角形中三边平方之间的关 系，如何看这两个定理之间的关系？ 若?abc 中，c=900，则 cosc?0， 这时 c2?a2?b2，由此可知余弦定理是勾 股定理的推广，勾股定理是余弦定理的 特例。 三、质疑答辩，排难解惑，发展 思维 例 1 已知 b?3,c?1,a?600，求 a； 已知 a?4,b?5,c?6，14 例 1） 求 a 7，8 的三角形中，求最大角与最 小角的和 例 2 边长为 5， 例 3 在 ?abc 中，最大角 a 为最小 角 c 的 2 倍，且三边 a、b 、c 为三个连 续整数，求 a、b、c 的值 例 4 在?abc 中，a 、b 是方程 x?23x?2?0 的两根，又 2cos?1，求：角 c 的度数；求 ab 的长；?abc 的面积 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 17 四、巩固深化，反馈矫正 1在?abc 中， sina:sinb:sinc?3:5:7，那么这个三角形的 最大角是_ 2 2. 在?abc 中，?b ，则 a?_ 在?abc 中，s?a2?b2?c2 3. 4，则角 c 的度数是 _ 4. 在 ?abc 中，已知 a?7,b?8,cosc?13 14，则最大角的余弦值是_ 5.已知锐角三角形的边长分别是 1、3、a，则 a 的取值范围是 _ 6.用余弦定理证明：在?abc 中， 当 c 为锐角时， a2?b2?c2；当 c 为钝角 时，a2?b2?c2 五、归纳整理，整体认识 1.余弦定理是任何三角形边角之 间存在的共同规律，勾股定理是余弦定 理的特例； 2.余弦定理的应用范围：已知 三边求三角；已知两边及它们的夹角， 求第三边。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 18 六、承上启下，留下悬念 1书面作业 七、板书设计 八、课后记： 第 1 课时：1.1 正弦定理 ： 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度 关系的探索，掌握正弦定理的内容和推 导过程； 2.能解决一些简单的三角形度量 问题；能够运用正弦定理解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题； 3.通过三角函数、正弦定理、向 量数量积等多处知识间联系来体现事物 之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主 学习和自主探索能力 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共 同探究在任意三角形中，边与其对角的 关系，引导学生通过观察，推导，比较， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 19 由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行 定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处 理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规 律的数学思想能力，通过三角函数、正 弦定理、向量的数量积等知识间的联系 来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ： 重点：正弦定理的探索和证明及 其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对 角解三角形时判断解的个数。 ： 1. 学法：引导学生首先从直角三 角形中揭示边角关系：abc?，接着就一 般斜三角形 sinasinbsinc 进行探索，发现也有这一关系； 分别利用传统证法和向量证法对正弦定 理进行推导，让学生发现向量知识的简 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 20 捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、实物投影 仪、直尺、计算器 ：新授课 ：1 课时 ： 一、创设情景，揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是 怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成 立吗？ 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 ab,sinb?,sinc?1， cc abcabc 即 c?，c?，c? = sinasinbsincsinasinbsinc 在直角三角形中： sina? 能否推广到斜三角形？ 斜三角形中 证明一：在任意斜abc 中，先 作出三边上的高 ad、be 、 cf，则 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 21 ad?csinb，be?asinc，cf?bsina所以 s?abc?111absinc?acsinb? bcsina，每项 222 1abc ?同除以 abc 即得： 2sinasinbsinc 证明二：如图所示，ad bcaa?2r ，?2r ?cd?2r 同理 sinasindsinbsinc ? 证明三：过 a 作单位向量 j 垂直 于 ac，由 ac+cb?ab，两边同乘以单位向 量 j 得 j ? ?j?ab ，则 j?ac+j?cb?j?ab ? ? |j|?|ac|cos90?+|j|?|cb|cos=| j|?|ab|cos ac asinc?csina = -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 22 sinasinc?cbabc ?同理，若过 c 作 j 垂直于 cb 得： = sinasinbsincsincsinb 从上面的研探过程，可得以下定 理 正弦定理：在一个三角形中，各 边和它所对角的正弦的比相等，即 a sina 2.理解定理 ? b sinb ? c sin 正弦定理说明同一三角形中，边 与其对角的正弦成正比，且比例系数为 同一正数，即存在正数 k 使 a?ksina,b?ksinb,c?ksinc； abcabbcac -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 23 =等价于= ，=，=，即可得正弦 定理的 sinasinbsincsinasinbsinbsincsinasinc 变形形式： 1）a?2rsina,b?2rsinb,c?2rsinc ； abc ,sinb?,sinc? ； 2r2r2r 3）sina:sinb:sinc?a:b:c 2）sina? 利用正弦定理和三角形内角和定 理，可解决以下两类斜三角形问题： 1）两角和任意一边，求其它两边和一 角；如 a? bsina ； sinb a sinb 。 b 2）两边和其中一边对角，求另 一边的对角，进而可求其它的边和 角如 sina?一般地，已知两边和其中 一边的对角解斜三角形，有两解或一 解 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 24 a?bsinabsina?a?ba?ba?b 一解两解一解一解 abc 注意：正弦定理的叙述：在一个 三角形中。各边和它所对角的正弦比相 等，= sinasinbsinc 它适合于任何三角形。可以证明 abc ?2r = sinasinbsinc 每个等式可视为一个方程：知三 求一 一般地，已知三角形的某些边和 角，求其他的边和角的过程叫作解三角 形。 三、质疑答辩，排难解惑，发展 思维 例 1 已知在 ?abc 中， c?10,a?450,c?300,求 a,b 和 b 解： ?c?10,a?45,c?30b?180?105 由 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 25 ac ?得 sinasinc csina10?sin450bc ?2 a?由得 sinbsincsincsin300 csinb10?sin1050?20 b?20sin75?20?56?52 0 sinc4sin30 例 2 在?abc 中，b?,b?600,c?1,求 a 和 a,c bccsinb1?sin6001 解： ?,?sinc?，?b?c,b?600,?c?b,c 为锐角， sinbsincb23 ?c?300,b?900a?b2?c2?2 例 3 ?abc 中，c?6,a?450,a?2,求 b 和 b,c accsina6?sin450300 ?,?sinc?解：? ?csina?a?c,?c?60 或 120 sinasinca22csinb6sin750 ?当 c?60 时，b?75,b?3?1， 0 sincsin60 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 26 csinb6sin150 ?当 c?120 时，b?15,b?1 sincsin600 ?b?1,b?750,c?600 或 b?3?1,b?150,c?1200 例 4 试判断下列三角形解的情况： 已知 b?11,c?12,b?600 已知 a?7,b?3,a?1100 已知 b?6,c?9,b?450 四、巩固深化，反馈矫正 1.在?abc 中，三个内角之比 a:b:c?1:2:3，那么 a:b:c 等于 _ 2.在? abc 中，b?1350,c?150,a?5,则此三角形的 最大边长为_ 3.在?abc 中，已知 a?xcm,b?2cm,b?450，如果利用正弦定理 解三角形有两解，则的取值范围是 _ 4.在?abc 中，已知 b?2csinb，求?c 的度数 五、归纳整理，整体认识 1用三种方法证明了正弦定理： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 27 转化为直角三角形中的边角关系； 利用向量的数量积外接圆法 2理论 上正弦定理可解决两类问题： 两角和任意一边，求其它两边和 一角； 两边和其中一边对角，求另一边 的对角，进而可求其它的边和角 3.判断三角形的形状特征，必须 深入研究边与边的大小关系：是否两边 相等？是否三边相等？还要研究角与角 的大小关系：是否两角相等？是否三角 相等？有无直角？有无钝角？ 此类问题常用正弦定理进行代换、 转化、化简、运算，揭示出边与边，或 角与角的关系，或求出角的大小，从而 作出正确的判断六、承上启下，留下 悬念 七、板书设计 八、课后记： 第 10 课时：3.4.1 基本不等式 的证明 ： 一、知识与技能 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 28 1.探索并了解基本不等式的证明 过程，体会证明不等式的基本思想方法； 2.会用基本不等式解决简单的最 大值问题； 3.学会推导并掌握基本不等式， 理解这个基本不等式的几何意义，并掌 握定理中的不等号“”取等号的条件是： 当且仅当这两个数相等； 4.理解两个正数的算术平均数不 小于它们的几何平均数的证明以及它的 几何解释； 二、过程与方法 1.通过实例探究抽象基本不等式； 2.本节学习是学生对不等式认知 的一次飞跃。要善于引导学生从数和形 两方面深入地探究不等式的证明，从而 进一步突破难点。变式练习的设计可加 深学生对定理的理解，并为以后实际问 题的研究奠定基础。两个定理的证明要 注重严密性，老师要帮助学生分析每一 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 29 步的理论依据，培养学生良好的数学品 质 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习，体会数学来 源于生活，提高学习数学的兴趣 2.培养学生举一反三的逻辑推理 能力，并通过不等式的几何解释，丰富 学生数形结合的想象力 ： ?a?b 的证明过程； 2a?b 等号成立条件及 “当且仅当 a?b 时取等号”的数学内涵 2 ： 1.学法：先让学生观察常见的图 形，通过面积的直观比较抽象出基本不 等式。从生活中实际问题还原出数学本 质，可积极调动地学生的学习热情。定 理的证明要留给学生充分的思考空间， 让他们自主探究，通过类比得到答案 2.教学用具：直角板、圆规、投 影仪 ：新授课 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 30 ：1 课时 ： 一、创设情景，揭示课题 a? b 2 a?b2. 的几何背景： 21. 提问： 如图是在北京召开的第 24 界国 际数学家大会的会标，会标是根据中国 古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的 明暗使它看上去象一个风车，代表中国 人民热情好客。你能在这个图案中找出 一些相等关系或不等关系吗？。 二、研探新知 22 重要不等式 ：一般地，对于 任意实数 a、 b，我们有 a?b?2ab，当且 仅当 a?b 时，等号成立。 证明: a?b?2ab?,当 a?b 时，?0,当 a?b 时, ?0, 1 22222 所以 a?b?2ab -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 31 22 注意强调当且仅当 a?b 时, a?b?2ab 22 注意：等号成立的条件， “当且仅 当”指充要条件； 公式中的字母和既可以是具体的 数字，也可以是比较复杂的变量式，因 此应用范围比较广泛。 基本不等式：对任意正数 a、b ，有 a?b?当且仅当 a?b 时等号成 立。 2 a?b?当且仅当 a?b 时等号成立。 2 证法 1：可以将基本不等式 2 看作是 基本不等式 1 的推论。 由基本不等式 1， 得 2?2? ? 证法 2：a? b11? ?2?2?2? 0?a?b222 时，取“?”。 a? -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 32 b，只要证?a? b，只要证 0?a? b，只要证 0?2 a? b?a?b 时，取“?”。 2 a?b?证法 4：对于正数 a,b 有 2? 0，?a?b? ?0?a?b?2 a? b 说明： 把 a,b 的算术平均数和 几何平均数，上述不等式可叙述为：两 个正 2 证法 3 ? 数的算术平均数不小于它们的几 何平均数。 上述结论可推广至 3 个正 数。 基本不等式成立的条件是：a?0,b?0 不等式证明的三种方法：比较法、 分析法、综合法 a?b?ab 的几何解释：以 a?b 为直 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢