化归思想与方法

2 化归的基本思想 数学家 G 伯利亚在怎样解题中说过：数学解题是命题的连 续交换。可见，解题的过程是通过对问题的转化才完成的。化归思 想方法是数学中较为一般和基本的数学思想方法。化归思想方法简 称“化归”即转化归结的意思。它是把数学中有待解决或难解决的 问题（问题 A） ，通过某种转化或手段，归结到某个（或某些）已经 解决或者比较容易解决的问题（问题 B） 且通过 B 的解决能够得 到原问题 A 的解决用框图（图 3）可直观的表示为： 从图中就可以看出，化归思想方法包含着三个基本要素：化归 对象；化归目标；化归策略。化归对象是对什么问题进行化归（原 问题 A） ，它是以往没有解决过的问题，具有繁难、生疏、抽象的特 点，没有现成的公式、定理或解决方案；化归目标是要化归到何处 (问题 B)，它就是 “已经解决过的问题”或转化到“有现成解决方 案的问题” ；要把化归对象转化到化归目标上来，中间需要一定的数 学方法和手段，这个实现转化的方法和手段，就是化归策略。例如： 解方程 5x-4=2x+11 化归对象：5x-4=2x+11 x=? 化归目标是把一个 复杂的方程化归为一个更为简单的方程 3x=15 x=5 化归的策略就是 运用了移项的方法。 3 寻找化归方向的指导思想 化归思想是数学解题的基本思想，解决问题实际上就是把问题 通过转化归结为可以解决的问题。为了更好的寻找化归的方向，下 面介绍寻找化归方向常用的几种指导思想。 3.1、简单化思想 简单化是指将原问题中比较复杂的形式、关系结构，将其化归 为比较简单的形式、关系结构。这里所说的简单不仅包括问题结构 形式简单，还包括问题处理方式、方法上的简单。有些复杂的数学 问题直接用常规的解法，解题的过程繁琐，通过对问题的深入观察 和研究，将其化归为简单的问题。复杂问题简单化是数学解题中运 用最普遍的思考方法， 例、 计算 2 分析：这个式子直接看无从下手。但是利用整体替换的方法， 可将这个复杂的问题化归为简单的一元二次方程的求解。 解:设 = x =2+2x2 =2+ 即 - -2=0 =-1(舍去) ， =212x =22 3.2、和谐化思想 和谐化思想就是当我们面临每一道数学题时，都要设法对问题 的条件或结论进行变形，使其数或行的表现形式更加适当和均称各 量之间配合得更加和谐，使其推演有利于运用某种数学方法或其方 法符合人们的思维规律，以便和谐地利用已有的知识，经验或解题 模式，顺利地解出原题 例、已知 5sin =sin(2 + ).求证tan32 分析：从角的关系入手，首先考虑结论中的两个角是 、 而已知条件中的两个角可以用 、 来表示，然后再利用和差 和正余弦公式即可 证明：5sin =sin(2 + ) 5sin( + )- =sin( )+ 5sin( + )cos -5cos ( )sin = sin( )cos + cos ( )sin 即 4sin( )cos = cos ( )sin tan32 3.3、具体化思想 具体化思想就是将抽象的问题向较具体的问题转化，以使其中 的数量关系更易把握，例如我们可以将抽象的式用具体的形来表示， 将抽象的语言描述用具体的形或式来表示，以使问题中的各种概念 以及概念之间的相互关系具体明确 例、四个不同颜色的小球，放入编号为1、2、3、4的四个盒子 中，则恰好有一个空盒的放法共有几种。 分析：把问题具体化，看作四个不同的小球分三堆，在把它看 成3个元素占四个位置排列，分成1、1、2有 种，排列数为 ，则24C34A 有 =144种4C3A 3.4、规范化思想 规范化思想是说将待解问题在形式上向该类问题的规范的形式 化归，规范的形式是指已建立起来的数学模式，解题方式、方法。 因为数学从某种意义来说是关于模式的科学。 例、 解方程- +8=22x 分析：对于这样的形式首先要转化为规范的形式 20axbc 来进行解题，化为规范形式为 -2 -8=0才可用根与系数的关0a2x 系，得到 =-2， =41x2 3.5、低层次化思想 低层次化思想是说，解决数学问题时，应尽量将高维空间的待 解问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数问题， 多元问题化为少元问题解决，这是因为低层问题比高层问题更直观、 具体、简单。 例 已知 -1=0