2017年江西省全国统一考试理科数学仿真试卷（八）含答案

绝密 启用前 江西省 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 仿真卷 理科 数学（八） 本试题卷共 2 页， 23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区 域均无效。 3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 1 2017 南阳一中 复数1 2，若复数1z，212 ） A 5 B 5 C 34i D 34i 【答案】 A 【解析】 由题意可知2 2 ，所以 212 2 i 2 i 4 i 5 ，故选 A 2 2017 正定中学 已知集合 2 20P y y y ， 2 0 Q x x a x b ，若R ，则 23， ，则 （ ） A 5 B 5 C 1 D 1 【答案】 A 【解析】 2 2 0 2 1 P y y y y y y 或，而由 R 及 23， 得 13Q， ，所以 13， 是方程 2 0x a x b 的 两 根 ， 由 根 与 系 数 关 系 得1 3 1 3 2 3 5a b a b a b ， ， ，选 A 3 2017 长沙一中 下列命题中，为真命题的是（ ） A0xR，使得 0 B 1s i n 2 ( ,)s i nx x k ZC 2,2 R D若命题 p ：0xR，使得 20010 ，则 p ：0xR，都有 2 10 【答案】 D 【 解析】 根据全称命题与存在性命题的关系可知，命题 p ：0xR，使得 20010 ，则 p ：0xR，都有 2 10 ，故选 D 4 2017 广东联考 设函数 1232 e 2l o g 1 2x ， ，则 2值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【答案】 C 【解析】 032 l o g 3 1 2 e 2f f f f ，选 C 5 2017 长沙一中 如图是用模拟方法估计圆周率 值的程序框图， P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ） A2000B 42000C2000D 42000【答案】 B 【解析】 由题意得以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率的程序框图， M 是圆周内的点的次数，当 i 大于 2000 时，圆周内的点的次数 为 4M ，总试验次数为 2000 ，所以要求的概率2000M， 221 14=2 0 0 0 1 4M 所以空白框内应填入的表达式是 42000，故选 B 6 2017 抚 州 七 校 在 中， , 对 边 分 别 是 ,若2c o s c o s , 2b A a B c a b ，则 的周长为（ ） A 7 C 6 D 5 【答案】 D 【解析】 2c o s c o s , 2b A a B c a b ， 由余弦定理可得： 2 2 2 2 2 2 222b c a a c bb a cb c a c ，整理可得： 2322， 解得： 1c ，则 的周长为 5122 故选 D 7 2017 天水一中 函数 ( ) s i n ( )f x A x的图象如下图所示，为了得到( ) c o sg x A x 的图象，可以将 () ） A向右平移 12个单位长度 B向右平移 512个单位长度 C向左平移 12个单位长度 D向左平移 512个单位长度 【答案】 B 【解析】 由已知可得： 2 1, = 2 ( ) s i n ( 2 ) ( ) s i n ( ) 063A T f x x f 3 ( ) s i n ( 2 ) , ( ) c o s 2 s i n ( 2 )3 3 2f x x g x x x 将 () 723 2 1 2 将 ()12 ，故选 B 8 2017 皖南八校 某几何体三视图如图，则该几何体体积是（ ） A 4 B 43C 83D 2 【答案】 B 【解析】 几何体为一个三棱锥，如图， 2 2 2 2A B A C D O ， ， C ， 体积是 1 1 2 2 2 423 3 2 3D A B C A B ，选 B 9 2017 重庆一模 已知 的外接圆半径为 2， D 为该圆上的一点，且 A B A C A D，则 的面积的最大值为（ ） A 3 B 4 C 33 D 43 【答案】 B 【解析】 由题设 A B A C A D可知四边形 平行四边形，由圆内接四边形的性质可知 90 ，且当 C 时，四边形 面积最大，则 的面积的最大值为 2m a x 11s i n 9 0 2 2 422S A B A C ，应选答案 B 10 2017 淮北一中 若直线 :l y 将不等式组 20600, 0 ，表示的平面区域的面积分为相等的两部分，则实数 a 的值为（ ） A 711B 911C 713D 513【答案】 A 【解析】 画出可行域如下图所示，由图可知，阴影部分总面积为 14 ，要使 7，只需 1 1 47,26A C h h ，将 146h代入 60 ，解得 113x，即147611 113a O D C B A 11 2017 南 固一中 椭圆 22: 1 ( 0 )a 左右焦点分别为12F F P， ，为椭圆 223， ，其中 22c a b，则椭圆离心率 e 取值范围（ ） A 2 12，B 3232，C 3 13，D 1132，【答案】 B 【解析】 212 212 2P F P P F a ，即 222232 ，解得 32 ，即离心率 e 的取值范围是 3232，故选 B 12 2017 南白中学 设 ()()别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 0x 时，( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g x f x g x，且 ( 3) 0f ，则不等式 ( ) ( ) 0f x g x 的解集是（ ） A ( 3, 0 ) (3, ) B ( 3, 0) (0, 3) C ( , 3 ) ( 3 , ) D ( , 3 ) ( 0 , 3 ) 【答案】 D 【解析】 由题意得，令 ( ) ( )h x f x g x ，则当 0x 时， ( ) ( ) ( ) ( ) 0h x f x g x f x g x ，所以当 0x 时，函数 数，又由 ()()别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，所以 上的奇函数，所以当 0x 时，函数 ( 3 ) ( 3 ) 0 ，当 0x 时，不等式 ( ) ( ) 0f x g x 的解集是 ( , 3)x ，当 0x 时，不等式 ( ) ( ) 0f x g x 的解集是 (0,3)x ，所以不等式 ( ) ( ) 0f x g x 的解集是( , 3 ) ( 0 , 3 ) ，故选 D 第 卷 本卷包括 必考题和选考题两部分 。 第 (13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 。 第 (22)(23)题为选考题，考生根据要求作答 。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13 2017 长沙一中 设 20 1 0 s x d x ，则31()开式中的常数项为 （用数字做答） 【答案】 210 【解析】 由 22001 0 s i n 1 0 c o s | 1 0n x d x x ， 二 项 式 的 通 项 为551061 1 0 1 03 1( ) ( ) ( 1 ) rr r r r x C ，令 6r ， 则 常 数 项55666 67 1 0( 1 ) 2 1 0T C x 14 2017 长郡中学 已知边长为 2 的正方形 四个顶点在球 O 的球面上，球 O 的体积为 1 6 0 53V 球，则 成的角的余弦值为 _ 【答案】 1010【解析】 过 O 作 平面 垂足为 M ，则 M 为正方形 中心 正方形 边长为 2 ， 2 2 2A C A M， ， 34 1 6 0 5 33球，球 O 的半径 25O A r 1 0c o 15 2017 枣庄期末 设 mR ，过定点 A 的动直线 0x 和过定点 B 的动直线30m x y m 交于点 ,P x y ，则 B 的最大值是 【答案】 25 【解析】 由题 意，得 (0,0)A ，因为直线 30m x y m ，即 ( 1 ) 3 0m x y ，经过定点 (1,3)B 又直线 0x 与直线 30m x y m 始终垂直，点 P 又是两条直线的交点，所以 B ，所以 22 2| | 1 0P A P B A B 设 ( 0, )2，则1 0 s ， 1 0 c o ，所以1 0 s i P B 1 0 c o s 2 5 s i n ( )4 ，所以 B 的最大值是 25 16 2017 云 师附中 已知数列 a，且 *112 21nn n N ，则_ 【答案】 221 【 解 析 】 由112 1nn ，得11122，于是1111 1 22nn ，*nN 又1111 2a ， 数列 1是以 12为首项，12 为公比的等比数列，故 112 ， *221nn N 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 2017 怀仁一中 的三个内角 A B C， ， 依次成等差数列 （ 1）若 2s in s in s C ，试判断 的形状； （ 2）若 为钝角三角形，且 ，试求 2 1s i n 3 s i n c o 2 2C A A的取值范围 【答案】 （ 1）正三角形；（ 2） 1344， 【解析】 （ 1） 2s i n s i n s i C ， 2b ， A B C， ， 依次成等差数列， 2 B A C B ， 3B， 由余弦定理得 2 2 2 2 c o sb a c a c B ， 22a c a c a c ， ， 为正三角形 （ 2） 2 1 1 c o s 3 1s i n 3 s i n c o s s i 2 2 2 2 2C A A C A 3 1 2 3 1 3s i n c o s s i n c o s s i 3 2 4 4A A A A A 3 1 1 s i n c o s s i 2 6A A A 223A， 2 5 3 6 6A ， 1 3s i 2A ， 11 3s i 6 4A 代数式 2 3s i n 3 s i n c o 2 2C A A的取值范围是 1344， 18 （本小题满分 12 分） 2017 江师附中 某理科考生参加自主招生面试，从 7 道题中（ 4道理科题 3 道文科题）不放回地依次任取 3 道作答 （ 1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率； （ 2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为 23，答对文科题的概率均为 14，若每题答对得 10 分，否则得零分 现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分 X 的分布列与数学期望 【答案】 （ 1） 15； （ 2） 956 【解析】 （ 1）记 “ 该考生在第一次抽到理科题 ” 为 事件 A ， “ 该考生第二次和第三次均抽到文科题 ” 为事件 B ，则 447 3 5P A P A B， ，所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为 ： 1( | )5P A （ 2） X 的可能取值为 0， 10， 20， 30， 则 1 1 3 10=3 3 4 1 2 ， 2122 1 3 1 1 1 31 0 + =3 3 4 3 4 3 6P X C ， 221222 3 1 2 1 42 0 + =3 4 3 3 4 9P X C C ， 1 1 3 4 13 0 1 =1 2 3 6 9 9 所以 X 的分布列为 ： X 0 10 20 30 P 112 1336 49 19 所以， X 的数学期望 956 19 （本小题满分 12 分） 2017 重庆一中 在四边形 ，对角线 ,D 垂直相交于点 O ，且 4O A O B O D ， 3将 沿 到 的位置，使得二面角 E 的大小为 90 （如图）已知 Q 为 中点，点 P 在线段 ，且2 （ 1）证明：直线 P Q A D E 平 面 ； （ 2）求直线 平面 成角 的正弦值 【答案】 （ 1）证明见解析；（ 2）34343 【解析】 由题 90 ，故 ,B 两垂直，从而可建立如图直角坐标系O ，则 0,4,0B ， 0,0,3E ， 0, 4, 0D ， 4,0,0A （ 1）由题知 42，故 4P ，又 4, 4, 0 ，故 1,1, 0 ，从而 3,1,0P ，又 30, 0, 2Q，故 33 , 1, 2 ，设平面 法向量为 ,n x y z ，易得 4, 4, 0， 0, 4, 3 ，由 00n E 得 4 4 0430，取 3x 得 3, 3, 4n ，因 0n ，故直线 P Q A D E 平 面 ； （ 2）由（ 1）可知 3, 3, 4n 为平面 法向量，又 0, 8, 0 ， 故 2 4 3s i n c o s , 3 4343 4 8n B D 20 （本小题满分 12 分） 2017 雅礼中学 如图，椭圆 221 10a ： （ ）的离心率为 32， x 轴被曲线 22C y x b：截得的线段长等于1 （ 1）求1 （ 2）设2C与 y 轴的交点为 M ，过坐标原点 O 的直线 l 与2 、 B ，直线 B 分别与 1C 相交于 D ， E （ i）证明： E ； （ ， 的面积分别是1S，2S问：是否存在直线 l ，使得121723 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 【答案】 （ 1） 2 2 14x y；（ 2）（ i）证明见解析；（ 32 32 【解析】 （ 1）由题得 22312 ，从而 2，又 2 ， 解得 2a ， 1b ，故1 2 14x y （ 2）（ i）由题得，直线 l 的斜率存在，设为 k ，则直线 l 的方程为 y ， 由2y x b得 2 10x 设11A x y（ ， ），22B x y（ ， ），则1x，2 于是12x x k，12 1，又点 M 的坐标为 01（ ， ） ， 所以 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21 2 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 1M A M By y k x k x k x x k x x x x x x 故 B ，即 E （ 直线 直线 y k x 由 1211y k ，解得 01或 121 1 则点 A 的坐标为 2111 ， ） 又直线 斜率为11k ，同理可得点 B 的坐标为21111 ， 于是 2211 1 1 21 111 1 1 1| | | | 1 | | 1 | |2 2 2 | | A M B k kk k k 由 12214 4 0y k 得 22111 4 8 0k x k x （ ） 解得 01或，12121218144114 ，则点 D 的坐标为 211228 4 1( , )1 4 1 4 又直线 斜率为11k 同理可得点 E 的坐标为 2112284( , )44 于是 2112 22113 2 1 | |1 | | | |2 ( 1 4 ) ( 4 ) D M （ ） 故21 1 2211 4 1 7( 4 1 7 )6 4 3 2S ，解得 21 4k 或 21 14k 又由点 A ， B 的坐标得，21 211111111 所以 32k 故满足条件的直 线 l 存在，且有两条，其方程为 32 32 21 （本小题满分 12 分） 2017 重庆一模 已知函数 x x a x b a b R，有两个不同的零点12 （ 1）求 （ 2）证明：1221答案】 （ 1） m a x1 l n 1f x f a ，无最小值；（ 2）见解析 【解析】 （ 1） 1f x ， 0 ， 内必不单调，故 0a ，此时 10f x ， 0a，上单增， 1a，上单减， m a x1 l n 1f x f a ，无最小值； （ 2）由题知 112200l n x a x bl n x a x b ，两式相减得 1 122l n 0x a x ，即1212ln ， 故要证12 21xx a，即证 212122 12 ，即证 2122 1 1 22 1 2 2 1l n 2x xx x x x x ， 不妨设12令 1201x ， ，则只需证 2 1tt t ， 设 2 1l n 2g t t ，则 212 l l n 1 tt tg t tt t t ， 设 12 t t ，则 221 0 ， 01， 上单减， 10h t h， 01， 上单增， 10g t g，即 2 1 在 01t ， 时恒成立，原不等式得证 请考生在 22、 23 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分。 22 （本小题满分 10 分） 2017 长沙一中 选修 4标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为312132 （ t 为参数 )，以坐