必修二数学第一章检测试题答案

第一章 检测试题 (时间:90 分钟 满分:120 分) 【选题明细表】 题号 知识点、方法 易 中 难 空间几何体的结构 1、2 三视图与直观图 3 4、5 空间几何体的侧面积 与表面积 6、7、13、 15 空间几何体的体积 8、9、12 10、14 综合应用 11、16 17、18 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列说法中正确的是( B ) (A)棱柱的侧面可以是三角形 (B)正方体和长方体都是特殊的四棱柱 (C)所有的几何体的表面都能展成平面图形 (D)棱柱的各条棱都相等 解析:本题考查多面体的结构特征,属容易题,应选 B. 2.如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( C ) (A)是棱台 (B)是圆台 (C)是棱锥 (D)不是棱柱 解析:图不是由棱锥截来的,所以不是棱台;图上、下两个面不 平行,所以不是圆台;图前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且 每相邻两个四边形的公共边平行,所以是棱柱;很明显是棱锥.故 选 C. 3.(2013 北京朝阳区高一检测)如图所示,OAB是水平放置的 OAB 的直观图,则OAB 的面积是( D ) (A)6 (B)3 (C)6 (D)122 2 解析:由题意可知,AOB 为AOB=90,AO=6,OB=4 的直角三角形, 故 S= 64=12. 12 故选 D. 4.如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面 的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( B ) 解析:由三视图可知几何体为倒置的圆锥,所以匀速注水时,水面高度 上升的越来越慢,故选 B. 5.(2012 皖南八校联考)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯 视图是边长为 2 的正三角形,则该三棱锥的侧视图可能为( B ) 解析:由三视图之间的关系,易知其侧视图是一个底边为 ,高为 2 的3 直角三角形.故选 B. 6.圆锥的表面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆 心角为( C ) (A)120 (B)150 (C)180 (D)240 解析:设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,侧面展开图扇形的圆心角 为 ,则根据题意得 S 表 =S 底 +S 侧 ,又圆锥的表面积是底面积的 3 倍, 可得 3r 2=r 2+rl,所以 l=2r,据弧长公式得 2r= l,即 180 2r= 2r,所以 =180, 故选 C. 180 7.(2013 山东省实验中学高一检测)若一圆锥与一球的体积相等,且 此圆锥底面半径与此球的直径相等,则此圆锥侧面积与此球的表面积 之比为( B ) (A) 2 (B) 2 (C) 2 (D)322 5 3 解析:设圆锥底面半径为 r,高为 h,则 V 球 = ( )3= r 3,V 锥 = r 2h,由 43 2 16 13 于体积相等, r 3= r 2h, 16 13 h= , 2 S 球 =4( )2=r 2,S 锥 = r 2,选 B. 2 52 8.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( A ) (A) R 3 (B) R 3 324 39 (C) R 3 (D) R 3 524 58 解析:设卷成的圆锥底面半径为 r,则 2r=R,r= ,h= ,V= r 2h= R 3.故选 A. 2 32 13 324 9.正四面体(即各棱都相等的三棱锥)的内切球球心到一个面的距离 等于这个正四面体高的( C ) (A) (B) (C) (D) 12 13 14 15 解析:球心到正四面体一个面的距离即球的半径 r,连接球心与正四 面体的四个顶点.把正四面体分成四个高为 r 的三棱锥,所以 4 Sr= Sh,r= h(其中 S 为正四面体一个面的面积,h 为正四 13 13 14 面体的高),故选 C. 10.如图,一个盛满水的三棱锥容器,不久发现三条侧棱上各有一个小 洞 D、E、F,且知 SDDA=SEEB=CFFS=21,若仍用这个容器盛水,则 最多可盛水的体积是原来的( C ) (A) (B) 2329 1927 (C) (D) 2327 3031 解析:最多可盛水的体积即为大棱锥去掉小棱锥后余下的几何体的体 积.V SDEF= SSDE h= ( SSAB ) h= VSABC(h为 F 到平面 SDE 的 13 1349 13 427 距离,h 为 C 到平面 SAB 的距离),易知选 C. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.一个横放的圆柱形水桶,桶内的水占底面周长的四分之一,那么当 桶直立时,水的高度与桶的高度的比为 . 解析:设水桶底面半径为 R,水桶高为 h,桶直立时水的高度为 x,横放 时水桶的一底面在水内的面积为( R 2- R2),此时 V 水 =( R 2- R2)h,而 14 12 14 12 直立时 V 水 =R 2x,xh=(-2)4. 答案:(-2)4. 12.(2012 年高考辽宁卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为 . 解析:该几何体的上面是一个圆柱,下面是一个长方体,所以 V=431+1 21=12+. 答案:12+ 13.侧棱与底面都垂直的三棱柱,若底面各边长之比为 17109,侧 棱长为 16 cm,侧面积为 1440 cm2,底面各边长分别为 、 、 . 解析:设底面边长分别为 17x,10x,9x. 则底面周长 l=17x+10x+9x=36x. S 柱侧 =36x16=576x=1440,解得 x=2.5. 底面三边长分别为 42.5 cm,25 cm,22.5 cm. 答案:42.5 cm 25 cm 22.5 cm 14.(2011 年高考新课标全国卷)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球面上,且 AB=6,BC=2 ,则棱锥 O-ABCD 的体积为 . 3 解析:设矩形的对角线的交点为 E,则 OE平面 ABCD,由题知截面圆 半径 r2= BD2= (AB2+BC2)=12, 14 14 由截面圆性质得 OE= =2,22 棱锥 O-ABCD 的体积为 S 矩形 ABCDOE= 62 2=8 . 13 13 3 3 答案:8 3 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分) 15.(本小题满分 12 分) 在平面四边形 ABCD 中,DAB=90,ADC=135,AB=5,CD=2 ,AD=2,求2 四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积. 解:以 AD 为旋转轴,边 DC、CB、BA 旋转一周形成的图形是一个圆台 上方挖去一个圆锥后形成的几何体. ADC=135,CD=2 ,2 DE=CE=2, BC= =5,(2+2)2+(52)2 又 AB=5, S 表面 =S 圆台下底面 +S 圆台侧面 +S 圆锥侧面 =5 2+(2+5)5+22 =(60+4 );2 2 V=V 圆台 -V 圆锥 = (2 2+25+52)4- 2 22 13 13 = . 1483 16.(本小题满分 12 分) (2013 石家庄高一月考)如果一个几何体的正视图与侧视图是全等的 长方形,边长分别是 4 cm 与 2 cm,如图所示,俯视图是一个边长为 4 cm 的正方形. (1)求该几何体的全面积. (2)求该几何体的外接球的体积. 解:(1)由题意可知,该几何体是长方体,底面是正方形,边长是 4,长 方体的高是 2,因此该几何体的全面积是 244+442=64(cm2), 即该几何体的全面积是 64 cm2. (2)由长方体与球的性质可得,长方体的体对角线是球的直径,记长方 体的体对角线为 d,球的半径是 r, d= = =6,所以球的半径为 r=3.16+16+4 36 因此球的体积 V= r 3= 27=36(cm 3), 43 43 所以外接球的体积是 36 cm 3. 17.(本小题满分 13 分) 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用), 已建的仓库的底面直径为 12 m,高 4 m.养路处拟建一个更大的圆锥 形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径 比原来大 4 m(高不变);二是高度增加 4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪个方案更经济些? 解:(1)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 m, 则仓库的体积: V1= ( )24= (m 3). 13 162 2563 如果按方案二,仓库的高变成 8 m, 则仓库的体积: V2= ( )28= (m 3). 13 122 2883 (2)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 m,半径为 8 m.圆锥的母 线长为 l= =4 ,则仓库的表面积 S1=84 =32 (m 2).82+42 5 5 5 如果按方案二,仓库的高变成 8 m.圆锥的母线长为 l= =10,则82+62 仓库的表面积 S2=610=60(m 2). (3)V 2V1,S2S1, 方案二比方案一更经济. 18.(本小题满分 13 分) 如图所示,圆台母线 AB 长为 20 cm,上、下底面半径分别为 5 cm 和 10 cm,从母线 AB 的中点 M 拉一条绳子绕圆台侧面转到 B 点,求这条 绳子长度的最小值. 解:如图所示,作出圆台的侧面展开图及其